完整版Mathematica常微分方程拉氏变换与级数实验.docx

1、完整版Mathematica常微分方程拉氏变换与级数实验13.5常微分方程、拉氏变换与级数实验学习目标1.会用Mathematica求解微分方程（组）；2.能用Mathematica求微分方程(组）的数值解；3.会利用Mathematica进行拉氏变换与逆变换;4.能进行幂级数和傅里叶级数的展开.一、常微分方程（组) Mathematica能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外，Mathematica求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本节中，使用Lapl

2、ace变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了. 求准确解的函数调用格式如下： DSolveeqn，yx，x 求方程eqn的通解y（x)，其中自变量是x。 DSolveeqn，yx0= =y0，yx,x 求满足初始条件y（x0）= y0的特解y（x）。 DSolveeqn1,eqn2,y1x，y2x，x 求方程组的通解. DSolveequ1，y1x0= =y10，y1x，y2x,，x 求方程组的特解。 说明：应当特别注意,方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚.例1解下列常微分方程（组)： （1)

3、,（2）, （3） , (4）的通解及满足初始条件y(0）=0，z（0）=1的特解。 解：In1：=DSolveyx= =2yx/(x+1)+（x+1）（5/2）, yx，x Out1= In2：=DSolveyx= =（1+yx2）/（x+x3）yx)，yx，x Out2=， In3：=DSolveyx= =zx，zx= = yx， yx，zx，x Out3=yxC1Cosx+ C2Sinx， zxC2Cosx C1Sinx In4:=DSolveyx= =zx,zx= = yx，y0= =0,z0= =1， yx，zx，x Out4=yxSinx,zxCosx 提示：认真观察上例，可以从中

4、学习输入格式,未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错!导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数，这与习惯相同。自变量、未知量、初始值的表示法与普通变量相同。 说明：输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂，这与教科书的习惯不同。当求显式解遇到问题时，会给出提示。通解中的任意常数用C1，C2，表示。例2求解下列微分方程： (1)，（2）,（3)。解：In1:=DSolve+3yx +3yx + yx = =（x - 5）Expx, yx，x Out1= In2：=Simplify Out2= In3：=DSolvex2 + yx2 = = 1

5、,yx，x Out3=， In4：=DSolveSqrtyx = = x yx,yx，x Out4= 说明:由以上可以看出对方程的类型并无限制,但是输出的答案未必符合习惯，例如第一个方程的答案需要化简，有时即使化简后也未必与教材上的答案一致.例3求微分方程的通解。 解：In1:=DSolveyx+2x yx= = x E（-x2），yx，x Out1=yx 这就是所给微分方程的通解.式中的C1是通解中的任意常数. 上述命令也可以输入为：DSolveDyx + 2x yx= =x E（ - x2)，yx,x。例4求微分方程xy+ y - ex = 0在初始条件y|x=1 = 2e下的特解。 解：

6、In1：=DSolvexyx+yx-Ex= =0，y1= =2E，yx，x Out1= yx二、常微分方程（组）的数值解 函数NDSolve用于求给定初值条件或边界条件的常微分方程（组）的近似解，其调用格式如下： NDSolveeqns，y1,y2，x,xmin,xmax 求常微分方程（组）的近似解。 其中微分方程和初值条件的表示法如同DSolve，未知函数仍有带自变量和不带自变量两种形式，通常使用后一种更方便.初值点x0可以取在区间xmin，xmax上的任何一点处，得到插值函数InterpolatingFunctiondomain，table类型的近似解,近似解的定义域domain一般为do

7、main，table，也有可能缩小。例5求常微分方程y= x2 + y2，满足初始条件y（0)= 0的数值解。解：In1：=s1=NDSolveyx= =x2+yx2，y0= =0， y,x，-2，2 Out1=yInterpolatingFunction-2.，2.， In2：= y=y / 。 s11 Out2=InterpolatingFunction-2.，2.,， yInterpolatingFunction15。，15.， In2：= x=x / 。 s11，1 y=y / 。 s11，2 Out2=InterpolatingFunction-15.，15., Out3=Inter

8、polatingFunction-15。,15.， In4：=ParametricPlotxt，yt,t，-15，15， AspectRatioAutomatic图13-44 解的相轨线 Out3= -Graphics- 说明:上例是求一个著名方程组的近似解,其中In2也可以改用一个赋值式x，y=x，y / 。 Flattens1，一次得到两个函数。通过求数值解容易得到它的相图，In4绘制了解的相轨线如图1344所示，图中表明原点是奇点，极限环的形状也已经得到。 为了应付复杂的情况,需要设置可选参数: WorkingPrecision 参见数值积分部分的介绍。 AccuracyGoal 计算结

9、果的绝对误差。 PrecisionGoal 计算结果的相对误差。 MaxSteps 最大步数。 StartingStepSize 初始步长. 以上可选参数的默认值都为Automatic，其中AccuracyGoal和PrecisionGoal的默认值比WorkingPrecision小10,当解趋于0时应将AccuracyGoal取成Infinity。对于常微分方程，最大步长默认值为1000。这个函数也可以解偏微分方程，最大步长默认值为200.例7解下列微分方程(组)：（1），满足初始条件y（0）=1的特解；（2），满足初始条件x（0)=z(0)=0，y（0)=1的特解。 解：In1：=NDS

10、olveyx= =I/4yx,y0= =1，y，x，1， AccuracyGoal20，PrecisionGoal20，WorkingPrecision25 Out1=yInterpolatingFunction 0，1.000000000000000000000000000， In2：=y1 / . Out2=0.968912424710644784118519 + 0。2474039592545229296234109 In3：=NDSolvext= = -3（xt yt）， yt = = xt zt+36。5xt yt, zt = = xt yt zt， x0 = = z0 = = 0，

11、y0= =1， x，y，z,t，0,20，MaxSteps3000 Out3=xInterpolatingFunction0.，20。, ， yInterpolatingFunction0。，20。，, zInterpolatingFunction0。，20。， ， In4：=ParametricPlot3DEvaluatext，yt，zt / 。 ， t,0，20，PlotPoints 1000图13-45 3维相轨线 Out3= Graphics3D说明：以上范例中In1取高精度，而且是复系数方程。In2是求解在x=1时的近似值，求精确解能得到准确值，读者可以求的近似值与Out2的结果比较

12、，验证近似解的精确度确实很高。In3在求解时增大步数，成功地得到了由In4绘制的如图13-45所示的解的相轨线。In4所示的绘图语句与前面例子中的不同，现在只要会模仿使用它们就行了,要想弄清原理请参阅相关Mathematica书籍。三、拉氏变换 Mathematica可以进行拉普拉斯变换，其变换使用的函数调用格式如下： LaplaceTransformf，t，s 求函数f（t）的Laplace变换，返回自变量为s的函数。 InverseLaplaceTransformF，s，t 求函数F（s）的Laplace逆变换，返回自变量为t的函数. 其中函数f（t）和F（s)也可以是函数表，这样可一次变

13、换多个函数。例8求函数t 4和et sint的拉氏变换。 解:In1：=LaplaceTransformt4，t,s Out1= In2:=LaplaceTransformExpt Sint，t，s Out2= In3：=InverseLaplaceTransform1，s，t Out3=t4 In4：=InverseLaplaceTransform2，s，t Out4= In5：=FullSimplify% Out5=et Sint例9求函数f（t)= t3 eat的拉氏变换。 解：In1:= LaplaceTransformt3 Expa t,t，s Out1= 以上只是直接进行拉氏变换和

14、逆变换的例子.以下使用拉氏变换解常微分方程,解法原理见本书理论篇，这里完全实现了计算机求解。例10用拉氏变换解微分方程： + 3x+ 3x+ x = 1满足条件x(0） = x(0） = x(0) = 0的解。解：In1：=f1=LaplaceTransform t +3xt+ 3xt+xt， t，s Out1=LaplaceTransformxt，t,s + s3LaplaceTransformxt,t，s + 3（sLaplaceTransformxt，t，s x0） s2x0 + 3(s2LaplaceTransformxt,t，s - s x0 x0） s x0 x0 In2:=s1=

15、LaplaceTransform1,t，s Out2= In3：= x0= x0= x0=0； Solvef1= =s1，LaplaceTransformxt，t，s Out4= In5：=InverseLaplaceTransform，s，t Out5= 说明：上例中的LaplaceTransformxt，t，s就是教材中的X(s），In3解出X（s)，其余过程与教科书完全相同。现在可以将一切计算留给计算机，学生只要弄清解法原理及过程。 技巧:充分利用复制、粘贴功能,可以加快输入速度,避免键入错误。上例中In5就可以从Out4中将表达式复制过来。例11 求微分方程组： 满足条件x（0）=3，

16、x（0)=2，y（0）=0的特解.解：In1：=f1=LaplaceTransform xt - 2xt - yt + 2yt，xt + yt 2xt， t,s； In2：=s1=LaplaceTransform0,- 2Expt,t，s； In3：= x0=3; x0= 2;y0=0； Solvef1= =s1，LaplaceTransformxt，t，s， LaplaceTransformyt,t，s； In5:=InverseLaplaceTransform Flatten LaplaceTransformxt，t,s， LaplaceTransformyt，t，s / 。 ，s，t O

17、ut5=5 et 3et + 2e2t，e-t( 1 + et）2(1 + 2 et) In6：=Simplify Out6= 5 - et - 3et + 2e2t，e-t 3et + 2e2t 说明:在上例中，不显示任何中间结果，语句比较简练。其中，In1和In2分别对方程组的左边和右边进行拉氏变换,In3解出X(s）和Y（s）.In5比较难懂,可以参看前面的例题,这里是从Out3中自动将解X（s）和Y（s)提取出来,再进行拉氏逆变换。Out5是x（t），y(t），Out6将答案化简。本例已经将求解过程一般化,只需改变方程组和初值的数据，就可以解其它方程组了。四、级数1求和与求积 求有限或

18、无穷和、积的函数是： Sumf，i，imin，imax 求，其中imin可以是，imax可以是（即+)，但是必须满足iminimax。基本输入模板中也有求和专用的符号,使用模板输入更方便。 Sumf，i，imin，imax，j，jmin,jmax， 求多重和，也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。 Productf,i，imin，imax 求，基本输入模板中也有求积符号。 Productf，i，imin，imax，j，jmin，jmax， 求多重积 ，也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。例12求下列级数的和与积： （1），（2） ，（3） ，(4) . 解：In1：=Su

19、mk2，k,1，n Out1= In2:= Out2= In3：= Sum：div：Sum does not converge. Out3= In4:= Out4= 说明：上例中第三个级数发散,Mathematica给出提示，并在不能给出结果时将输入的式子作为输出。 NSum和NProduct得到数值解。2将函数展开为幂级数将函数展开为幂级数的函数调用格式如下： Seriesf，x,x0，n 将函数f（x）在x0 处展成幂级数直到n次项为止。 Seriesf，x，x0,n，y，y0，m 将函数f(x，y）先对y后对x展开.例13展开下列函数为幂级数：（1） y=tgx，（2) ， （3）y =

20、 f（x)，（4）y = exy。 解:In1：=SeriesTanx，x，0，9 Out1= In2：=SeriesSinx /x，x，0，9 Out2= In3:=Seriesfx,x，1,7 Out3= In4:=SeriesExpx y，x,0，3，y,0,2 Out4= 说明：上例中In3表明也可以展开抽象的函数。 对已经展开的幂级数进行操作的两个函数是： Normalexpr 将幂级数expr去掉余项转换成多项式。 SeriesCoefficientexpr,n 找出幂级数expr的n次项系数。例14将y = arcsinx展开为幂级数，只取前9项并去掉余项。 解：In1:=Ser

21、iesArcSinx，x，0，9 Out1= In2：=Normal Out2= In3：=SeriesCoefficient%1，5 Out3=3傅里叶级数 求傅里叶级数就是求出傅里叶系数，傅里叶系数是一个积分表达式，所以利用积分函数Integrate就可以实现.例如，设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为,脉冲幅度为E，周期为T,这种信号在一个周期，内的表达式为 求其傅里叶级数时,可以先求出傅利叶系数。为了和Mathematica中的常数E相区分，以下用Ee表示脉冲幅度,用tao表示脉冲宽度，根据傅利叶系数的积分表达式，输入以下语句：a0= 2/T IntegrateEe, t，tao/2，tao

22、/2an_ =2/T IntegrateEe Cos2n Pi t/T， t,-tao/2,tao/2bn_ =2/T IntegrateEe Sin2n Pi t/T， t,-tao/2，tao/2 可得到下面三个输出，即分别是a0，an与bn，即 a0=，an =与bn=0 从而可写出给定的傅利叶级数为： 习题13.51求下列一阶微分方程的通解或特解。（1）y 3xy = 2x； (2）xy+ y ex = 0,y|x=a=b。2求下列二阶微分方程的通解或特解。 （1）y- 2y+5y = 5x+2； （2）y+ 2y+2y = e -x，y（0）= y(0) = 0。3用拉氏变换解微分方程组： 4展开下列函数为x幂级数，并求其收敛区间。；（2）y = cos2x；（3）y =(1 x)ln（1 x）5将函数