普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学试题文科解析版.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学试题文科解析版普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数 z 满足 z(1+ i) = 2i （ i 为虚数单位），则| z |=（ ）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】：设 Z=a+bi则(a+bi)( 1+i)=2i (a-b)( a+b)i=2i a-b=0 a+b=2 解得 a=1 b=1Z=1+1i Z = 1 + 1i =R2.设全集为 R ，集合 A = x | x2 - 9 0, B = x | -

2、1 x 5 ，则 A (C B) = ( )A.(-3, 0)B.(-3, -1)C.(-3, -1D.(-3, 3)【答案】C【解析】A = x | -3 x 3, B = x | -1 x 5，所以 A (CR B) = x - 3 x -13掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于（ ）A.1 18【答案】BB.19C.16D.112【解析】点数之和为 5 的基本事件有：（1,4（）4,1）（2,3（）3,2），所以概率为4 36 =a 2x , x 04. 已知函数 f (x) = 2- x , x cb2 的充要条件是a cC.命题“对任意 x R ，有 x2 0 ”的否定是“

3、存在 x R ，有 x2 0 ”D. l 是一条直线，,是两个不同的平面，若l , l ，则/ /【答案】D【解析】当a 0时，A 是正确的；当b = 0时，B 是错误的；命题“对任意 x R ，有 x2 0 ” 的否定是“存在 x R ，有 x2 -1,3i = 1+ 2 = 3, S = - lg 3 + lg 3 = - lg 5 -1,5i = 3 + 2 = 5, S = - lg 5 + lg 5 = - lg 7 -17i = 5 + 2 = 7, S = - lg 7 + lg 7 = - lg 9 -19i = 7 + 2 = 9, S = - lg 9 + lg 911=

4、- lg11-1所以输出i = 9x2 y29.过双曲线C： -a2 b2= 1的右顶点作 x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于 A .若以C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）x2 y2A.1x2 y2B.1x2 y2C.1x2 y2D.14 127 9 8 812 4【答案】A【解析】以C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过坐标原点O 则 c=4.且 CA = 4.设右顶点为B (a, 0)，C (a, b)， Q ABC为Rt , BA2 + BC 2 = AC 2 ,(4 - a )2 + b2 = 16, 又2 2 22 2

5、 x2 y2Q a + b = c= 16 。得16 - 8a = 0, a = 2, a= 4, b= 12, 所以双曲线方程-4 12= 1。10.在同一直角坐标系中，函数 y = ax2 - x + a 与y = a2 x3 - 2ax2 + x + a(a R) 的图像不可2能的是（ ）【答案】B【解析】当a = 0 时，D 符合；当a 0时，函数 y = ax2 - x + a 的对称轴为 x =2y = a2 x3 - 2ax2 + x + a ，求导得 y = 3a2 x2 - 4ax +1 = (3ax -1)(ax -1)，令1，对函数2a 1 1 1 1 1y = 0 ,

6、x1 = 3a , x2 = a .所以对称轴 x = 2a 介于两个极值点 x1 = 3a , x2 = a ，之间，所以 B是错误的。所以选择 B。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.若曲线 y = x ln x上点P 处的切线平行于直线 2x - y +1 = 0,则点P 的坐标是 .【答案】(e,e)【解析】 y = 1 ln x + x = ln x +1x切线斜率 K=2 则ln x0 +1 = 2 ， ln x0 = 1， x0 = e f (x0 ) = e所以 P(e,e) 1 12.已知单位向量e1 , e2的夹角为,且cos= 3 , 若

7、向量a = 3e1 - 2e2 ,则| a |= .【答案】3【解析】 2= 2(3e1 - 2e2 )(3e1 )(2e2 )12e1 e2 = 9 + 4 -12 cos= 9解得 a = 313.在等差数列an 中，a1 = 7 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n = 8时 Sn 取最大值，则 d 的取值范围 .7【答案】 -1 d 0 ，当且仅当n = 8时 Sn 取最大值，可知 d 0, a9 0 7所以， a = 7 + 8d 0 ，易得 -1 d b 0 )的左右焦点为 F1，F2 ，作 F2 作 x 轴的垂线与C 交于A，B 两点， F1B 与 y 轴交于点

8、D ，若 AD F1B ，则椭圆C 的离心率等于 .【答案】32b2【解析】 因为 AB 为椭圆的通径，所以 AB = ，则由椭圆的定义可知：aAF1= 2a - b ，a2b2 b2 b2 2 c又因为 AD F1B ，则 AF1 = AB ，即 a= 2a -a，得 = ，又离心率e = ，结合a2 3 aa2 = b2 + c2得到： e =315.x，y R ，若 x + y + x -1 + y -1 2 ，则 x + y 的取值范围为 .【答案】0 x + y 2【解析】 x + x -1 1y + y -1 1要 使 x + x -1 + y + y -1 2只 能 x + x

9、-1 + y + y -1 = 2x + x -1 = 1 y + y -1 = 10 x 1 0 y 1 0 x + y 2三、解答题：本大题共 6 小题，学 科网共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = (a + 2 cos2 x)cos(2x +)为奇函数，且 f = 0 ，其中4 a R， (0，).（1）求a，的值； 2 （2）若 f = -， ， ，求sin+ 的值. 4 5 2 3 【解析】解;(1) f = (a +1)cos + = - (a +1)sin= 0 Q (0，), sin 0, a +1 =

10、0, a = -12 分Q 函数 f (x) = (a + 2 cos2 x)cos(2x +)为奇函数 f (0) = (a + 2)cos= cos= 04 分= 5 分2(2)有（1）得 f (x) = (-1+ 2 cos2 x)cos 2x + = - cos 2xgsin 2x = - 1 sin 4x 2 2 7 分 1 2 4Q f 4 = - 2 sin= - 5 sin= 8 分5 3Q ， ，cos= - 10 分 4 1 3sin + 3 = sincos 3 + cossin 3 = - 2 = 10 5 2 512 分17.（本小题满分 12 分）已知数列an 的前

11、 n 项和 Sn =3n2 - n2，n N * .（1）求数列an 的通项公式；（2）证明：对任意 n 1，都有 m N * ，使得a ，a ，a成等比数列.1 n m解析：（1）当 n = 1 时 a = S = 1当 n 2 时1 1an = Sn - Sn -1 =3n2 - n -23(n -1)2 - n +12= 3n - 21检验 当 n = 1 时a = 1 an = 3n - 2（2）使 a1，an，am 成等比数列. 则 a 2 = a an 1 m(3n - 2)2 =3m - 2即满足3m = (3n - 2)2 + 2= 9n2 -12n + 6所以 m = 3n2

12、 - 4n + 2则对任意 n 1，都有3n2 - 4n + 2 N *所以对任意 n 1，都有 m N * ，使得 a ，a ，a成等比数列.1 n m18.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = (4x2 + 4ax + a2 )，其中a 0得0 x 25所以当 a = -4 时， f (x) 的单调递增区间为 0, 2 和(2，+)（2) f (x) = (2x + a )2f (x) = 2(2x + a)2x + a 2+ =(2x + a)(10x + a)2令 f (x) = 0，得 x = - a , x = - a 1 2 2 10Q a x2 0所以，在区间 0,

13、 - a , - a , + 上， f (x) 0， f (x) 的单调递增； 10 2 在区间 - a ,- a 上， f (x) 0， f (x) 的单调递减； 10 2 又易知 f (x) = (2x + a )2 0 ，且 f - a = 0 2 当- a 1时，即 -2 a 0时， f (x) 在区间1,4上的最小值为 f (1)，由2f (1) = 4 + 4a + a2 =8，得 a = -2 2 ,均不符合题意。af - a = 0当1 - 4 时，即-8 a 4时，即a -8时， f (x) 在区间1,4上的最小值可能为 x = 1或 x = 4 处取到，而f (1) 8，f

14、 (4) = 2(64 +16a + a2 ) = 8，得 a = -10 或 a = -6（舍去），当 a = -10 时，f (x) 在区间1,4上单调递减， f (x) 在区间1,4上的最小值 f (4) = 8符合题意，综上， a = -1019.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 BC, A1B BB1 .（1）求证： ；（2）若 AB = 2, AC =3, BC =，问 AA1 为何值时，三棱柱ABC - A1B1C1 体积最大，并求此最大值。19.（1）证明：三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 BC BB1 BC ， 又 B

15、B1 A1B且 BC A1B = C BB1 面BCA1，又 BB1CC1CC1 面BCA1，又 AC1 面BCA1，所以A1C CC1.(4 分)（2）设 AA1= x，在 Rt A1BB1 中， AB=A B -BB 2 =同理， A1C= = ,在 A1BC 中A B2 + A C 2 - BC 2 x2cos BA1C= 1 1 = - ，sin BA1C =2 A1B A1C(4 - x2 )(3 - x2 )，（6 分）1所以 S A B A C sin BA C1，（7 分）21从而三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积V = S l = SA BC AA1 = (8 分)2因

16、 x = =（10 分）故当 x=7时 即AA1 = 7 时 体积 V 取到最大值（12 分）7试题分析：本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系，属于容易题，大部分考生可以轻松解决，第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题，有一定的综合性，属于中档题，解决该类问题关键在于合适的引入变量，建立函数模型，另外在计算过程中应谨慎小心，避免粗心。20.（本小题满分 13 分 ）如图，已知抛物线C : x2 = 4 y ，过点 M (0, 2)任作一直线与C 相交于 A, B 两点，过点 B 作y 轴的平行线与直线 AO相交于点 D （ O为坐标原点）.（1）证明：动点 D

17、在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含 x轴）与直线 y = 2 相交于点 N1 ，与（1）中的定直线相2 1交于点 N2 ，证明： | MN|2 - | MN|2 为定值，并求此定值.20（1）解：根据题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x2 =4y ，得 x2 =（4 kx+2），即 x2 -4kx-8=0 ，设 A（x ，y ），B（x ，y ），则有： x x =-8，（2 分）1 1 2 2 1 2x=x2直线 AO 的方程为 y= y1 x ；BD 的方程为 x=x ，解得交点 D 的坐标为 y xx 2 y= 1 21 x1（4 分），注意到 x x =-8 及

18、 x 2 =4y ，则有 y= y1 x1 x2 = -8y1 =-2，（5 分） 1 2 1 11 4y1因此 D 点在定直线 y=-2 上（ x 2 ）（6 分）（2）依据题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y=ax+b (a 0)代入 x2 =4y 得 x2 =（4 ax+b）,即 x2 -4ax-4b=0 ，由 =0 得16a2 +16b = 0,化简整理得b = -a2 ，（8 分）故切线 l 的方程可写为 y = ax - a2 .分别令 y=2、y=-2 得2N , N 的坐标为 N ( 2 + a, 2), N (- + a, -2) ，（11 分）

19、1 2 1 a 2 a则 MN2 - MN2 = ( 2 - a)2 + 42 - ( 2 + a)2 = 8,a a即 MN2 - MN1 为定值 8.（13 分）试题分析：本题考查了直线与抛物线的位置关系，对学生的分析和转化能力要求较高，解决该类问题应抓住问题的实质，充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。21.（本小题满分 14 分）将连续正整数1, 2, , n(n N*) 从小到大排列构成一个数123 n ， F (n)为这个数的位数（如 n = 12时，此数为123456789101112 ，共有 15 个数字， f (12) = 15），现从这个数中随机取一个数字， p(n) 为

20、恰好取到 0 的概率.（1）求 p(100)；（2）当n 2014时，求 F (n)的表达式；（3）令 g(n) 为这个数字 0 的个数， f (n) 为这个数中数字 9 的个数，h(n) =S = n | h(n) = 1, n 100, n N*，求当n S 时 p(n) 的最大值.f (n) - g(n)，21.解：（1）当 n=100 时，这个数中总共有 192 个数字，其中数字 0 的个数为 11，所以恰好取11到 0 的概率为 p（100）=192;（2 分）n,1 n 9,2n - 9,10 n 99,(2) F (n) = 3n -108,100 n 999,4n -1107,

21、1000 n 2014.（5 分）（3）当 n=b（1 b 9，b N + ）,g(n)=0；当 n=10k+b (1 k 9, 0 b 9, k N +, b N )时，g(n)=k;0,1 n 9,n=100 时 g(n)=11，即 g(n) = k, n = 10k + b,1 k 9, 0 b 9, k N+,b N , （8 分）11, n = 1000,1 n 8,k, n = 10k + b,1 k 9, 0 b 9, k N b N ,n - 80,89 n 98,同理有 f (n) = 20, n = 99,100+, （10 分）由 h（n）=f（n）-g（n）=1，可知

22、n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90所以当 n 100 时，S= 9,19, 29,39, 49, 59, 69, 79,89, 90当 n=9 时，p（9）=0，（11 分）当 n=90，p（90）=g (90) 1=F (90) 19g(n) k k当 n=10k+9（1 k 8, k N+, ）时，p（n）= F (n) = 2n - 9 = 20k + 9 （13 分）由 y=k20k + 9关于 k 单调递增，故当当 n=10k+9（1 k 8, k N+,）时，P（n）的最大值为 p（89）=81698，又1691 1 ,所以最大植为19 19.（14 分）试题分析：本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力，本题的命题新颖，对学生能力要求较高，难度较大，解决本题的关键首先在于审清题意，搞清楚 F (n) 、p（n）的含义，这样就可以解决前两问，同时为第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深入，考查学生综合分析问题 的能力。本题由易到难，层层深入，是一道难得的好题.