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1、25 平行线的判定2.5 平行线的判定【知识精华点击】课标要求1.掌握平行线的判定公理及判定定理；2.能运用平行线的判定公理及判定定理、平行公理的推理判定两条直线是否平行.本节重点是平行线的判定公理及判定定理难点：综合运用上述知识进行计算和证明.教材详解判定方法1：(1)内容：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。(2)简称：同位角相等，两直线平行。(3)推理格式：如图2.5-1，1=5(已知)，ab(同位角相等，两直线平行).判定方法2：(1)内容：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。(2)简称：内错角相等，两直线平行。(3)推理格式：如图2

2、.5-1，3=5(已知)，ab(内错角相等，两直线平行).判定方法3：(1)内容：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。(2)简称：同旁内角互补，两直线平行(3)推理格式：如图2.5-1，4+5=180(已知)，ab(同旁内角互补，两直线平行).判定方法4：平行公理推论如图2.5-2，ac,bc,（已知）ab.（平行于同一条直线的两条直线平行）【名师优质讲堂】例题精析例1 如图2.5-3，2=31，且1+3=90，试说明AB/CD。图2.5-3分析 观察图形，从标出的3个角可知：1与3是同位角，若能说明1=3，则可根据“同位角相等，两直线平行”，说明AB/CD。由图可

3、知，1与2互为邻补角，由邻补角定义知1+2=180，已知2=31，故1可求。又由1+3=90，可求3。解 1+2=180，（邻补角定义）2=31（已知）1+31=180（等量代换）可得1=451+3=90（已知）3=451=3AB/CD（同位角相等，两直线平行）说明 平行线的一个判定公理和两个判定定理是我们判定两条直线平行的主要依据，本题在得出1=3之后，由1+2=180，可得2+3=180，再由平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”完成推理，这是判定AB/CD的第二种方法；还可在算出1+2=180后，利用1的对顶角等于3，再由平行线判定定理“内错角相等，两直线平行”完成推理，这是判定AB

4、/CD的第三种方法。【变式1】如图2.5-4，已知1=2，DE平分BDC，DE交AB于点E，试说明AB/CD。图2.5-4分析 要判定AB/CD，先要寻找与AB、CD都相交的第三条直线，这里有两条：BD和DE。其中与已知条件中1、2都有直接联系的直线是DE。联系平行线判定定理，可知EDC（1的内错角）、FDG（1的同位角）、以及EDF（1的同旁内角）应是我们关注的对象。想一想，选择哪个角作为我们解题的突破口比较好呢？解 DE平分BDC（已知）2=EDC（角平分线定义）1=2（已知）EDC=1（等量代换）AB/CD（内错角相等，两直线平行）【变式2】如图2.5-5，已知AC、BC分别平分QAB、

5、ABN，且1与2互余，试说明PQ/MN。图2.5-5分析 要说明PQ/MN，关键在于确定“第三条直线”，该题中较为明显的直线是AB。在“三线八角”中，与已知条件1、2有明显联系的是QAB、ABN，这是一对同旁内角，至此，解题途径已经明朗。解 AC、BC分别平分QAB、ABNQAB=21，ABN=221+2=9021+22=180QAB+ABN=180PQ/MN（同旁内角互补，两直线平行）说明 “同位角、内错角、同旁内角”是判定两条直线平行时涉及的基本元素，其关键是确定“第三条直线”，这条直线一旦确定，“同位角、内错角、同旁内角”随之而定。剩下的问题是根据题设条件选择运用哪一个判定定理。在很多情

6、况下，题中的已知条件不是直接说明结论的条件，因此必须根据这些已知条件，结合学过的几何公理、定义等，得出新的可供推理的条件，并设法沟通这些条件，使其成为判断直线平行的直接条件。弄清了“由什么，得什么”，“根据什么，推出什么”，一步一步便能找到说理的思路。灵活地选择判定直线平行的方法，离不开对图形的仔细观察和对已知条件的“充分发掘”。例2 如图2.5-6所示,已知直线a,b,c,d,e,且1=2,3+4=180,则a与c平行吗?为什么? 分析 由已知不难判定ab，bc，故可判定ac.解 平行. 理由如下：1=2,ab（内错角相等，两直线平行）,又3+4=180,bc（同旁内角互补，两直线平行）,a

7、c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.说明 有时虽然已知条件中与角有关的信息比较多，但却很难（或根本不能）由角的关系来判定所给两直线是否平行，这时可尝试选择运用平行公理推论判定.【变式】如图2.5-7，已知BED=B+D，试说明AB与CD的位置关系.分析 由已知条件无法直接判断，故需要添加辅助线，构造能运用课本上介绍的方法的条件，这里选择过E点作直线EF，将问题转化为例2的情形.解 过E作BEF=B，则ABEF（内错角相等，两直线平行）.BED=BEF+DEF=B+D，DEF=D（等式性质）,CDEF（内错角相等，两直线平行）.ABCD（如果两条直线都与第三条直线平行

8、，那么这两条直线也互相平行）.例3 某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）A第一次左拐30，第二次右拐30B第一次右拐50，第二次左拐130 C第一次右拐50，第二次右拐130 D第一次向左拐50，第二次向左拐120 分析 两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案解 如图2.5-8所示（实线为行驶路线）：图2.5-8只有A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定故选A说明 本题考查平行线的判定，正确画出示意图是解决问题的关键

9、【变式1】如图2.5-9，不能判断ADBC的条件是（）A.1=2 B.ADC+C=180 C.EAD=ABC D.3=4 图2.5-9分析 欲证ADBC，在图中发现AD、BC被三条直线所截，其中3和4是被BD所截的内错角，ADC和C是被CD所截的同旁内角，EAD和ABC是被AB所截的同位角，根据平行线的判定性质只要3=4、EAD=ABC、ADC+C=180成立可以判定ADBCA不能判定ADBC.解 故选A【变式2】如图2.5-10，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）图2.5-10A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行C同旁内角互补，两直线平行 D两直线平行，同

10、位角相等解 1=2，ab（同位角相等，两直线平行）故选A例4 如图2.5-11所示，由已知条件推出结论正确的是（）A由1=5，可以推出ABCD B由3=7，可以推出ADBCC由2=6，可以推出ADBC D由4=8，可以推出ADBC 图2.5-11 图2.5-12分析 由1=5，可以推出ADBC，故A错误；由3=7，可以推出ABCD，故B错误；由2=6，可以推出ABCD，故C错误；由4=8，可以推出ADBC，故D正确解 选D说明 解决这类问题的关键是弄清所给两角是否是两直线被第三条直线所截的同位角或内错角或同旁内角。【变式】如图2.5-12，3=4，则下列条件中不能推出ABCD的是（）A1与2互

11、余 B1=2 C1=3且2=4 DBMCN解 若1=2，又已知3=4，则DCB=ABC，则ABCD；若1=3且2=4，又已知3=4，所以DCB=ABC，则ABCD；若BMCN，则1=2因为3=4，所以DCB=ABC，则ABCD只有1与2互余无法判定ABCD故选A为什么错1.张冠李戴错误例5 如图2.5-13，已知1=3，则图中平行的直线是 图2.5-13错解 填“ABCD”。分析 错解误认为1、3是直线AB，CD被直线AC所截的内错角，所以得到错解“ABCD”，实际上1、3是直线AD，BC被直线AC所截的内错角，所以应该是ADBC.正解 填“ADBC”。2.认错三线八角例6 如图2.5-14，

12、能判断EGCH的条件是（）AFEB=ECD BGEC=ECHCBEC+ECD=180 DAEG=DCH图2.5-14错解 选D.分析 要判定EGCH，显然截线是CF，故所得内错角是GEC与ECH，而不是AEG与DCH，其实AEG与DCH根本就不是三线八角。正解 选B探究平台例7 如图2.5-15，ABBE于B，CDDF于D，要使ABCD，还需补充什么条件?请你写出所需条件.分析要使ABCD，只要使BCGE，因ABBE于B，从而B90，故只需CGE90；考虑到CDDF于D，故D90，从而CGED即可；又由CGED可知BEDF.解答案不惟一.如，CGED，或BEDF.等等.说明本题是属于条件探索型

13、的问题，即要得到某一结论，但还缺少条件，要求补充完整，往往所补充的条件不惟一的题.【变式1】在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3l8，若l1l2，l2l3，l3l4，l4l5以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A平行 B垂直 C平行或垂直 D无法确定分析 如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知l1与l8的位置关系是平行解 l2l3，l3l4，l4l5，l5l6，l6l7，l7l8，l2l4，l4l6，l6l8，l2l8l1l2，l1l8故选A【变式2】在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么

14、另一边互相（）A平行 B垂直 C共线 D平行或共线解 如图2.5-16所示：图2.5-16不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线故选D【智能分级演练】知识达标1.选择题(1) 图2.5-17中有直线L截两直线L1，L2后所形成的八个角由下列哪一个选项中的条件可判断L1L2（）A.2+4=180 B.3+8=180 C.5+6=180 D.7+8=180 图2.5-17 图2.5-18 图2.5-19(2) 如图2.5-18，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BCAD的是（）A3=4 BA+ADC=180 C1=2 DA=5(3) 如图2

15、.5-19，已知1=70，要使ABCD，则须具备另一个条件（）A2=70 B2=100 C2=110 D3=110(4) 如图2.5-20，能判定EBAC的条件是（）A.C=ABE B.A=EBD C.C=ABC D.A=ABE 图2.5-20 图2.5-21 图2.5-22 (5) 如图2.5-21，以下条件能判定GECH的是（）A.FEB=ECD B.AEG=DCH C.GEC=HCF D.HCE=AEG(6) 如图2.5-22，下列条件不能判定直线ab的是（）A.1=2 B.1=3 C.1+4=180 D.2+4=180(7) 如图2.5-23，1=2，则下列结论一定成立的是（）AABC

16、D BADBC CB=D D3=4 图2.5-23 图2.5-24 图2.5-25(8) 如图2.5-24，不能作为判断ABCD的条件是（）A.FEB=ECD B.AEC=ECD C.BEC+ECD=180 D.AEG=DCH(9) 如图2.5-25，在下列结论给出的条件中，不能判定ABDF的是（）A2+A=180 BA=3 C1=4 D1=A (10) 同一平面内的四条直线若满足ab，bc，cd，则下列式子成立的是（）Aad Bbd Cad Dbc (11) 下列命题中，不正确的是（）A如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这

17、两条直线平行C两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(12) 如图2.5-26，下列说法中，正确的是（）A因为A+D=180，所以ADBC B因为C+D=180，所以ABCDC因为A+D=180，所以ABCD D因为A+C=180，所以ABCD 图2.5-26 图2.5-27 图2.5-28(13) 如图2.5-27所示，能说明ABDE的有（）1=D；CFB+D=180；B=D；BFD=DA1个 B2个 C3个 D4个(14) 如图2.5-28，直线EF分别交CD、AB于M、N，且EMD=65，MNB=115，则下列结论正确

18、的是（）AA=C BE=F CAEFC DABDC(15) 在下图中，1=2，能判断ABCD的是（） A B C D2.填空题(1) 如图2.5-29所示，已知C=100，若增加一个条件，使得ABCD，试写出符合要求的一个条件 。 图2.5-29 图2.5-30 图2.5-31(2) 如图2.5-30所示，请写出能判定CEAB的一个条件 。(3) 如图2.5-31，1=60，2=60，则直线a与b的位置关系是 。(4) 如图2.5-32，请在括号内填上正确的理由：因为DAC=C（已知），所以ADBC 。(5) 我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图2.5-33，在这一过程中，所用到的判断两直线平

19、行的方法是 。 图2.5-32 图2.5-33 图2.5-34(6) 如图2.5-34：已知2=3，则 。(7) 如图2.5-35，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角ABC=120，BCD=60这个零件合格吗？ （填“合格”或“不合格”） 图2.5-35 图2.5-36 图2.5-37 图2.5-38 (8) 如图2.5-36所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 。(9) 如图2.5-37，木工利用直角尺在木板上画出两条直线，则直线AB CD(10) 如图2.5-38，装修工人向墙上钉木条若2=100，要使木条b与a平行，则1的度

20、数等于 。3.如图2.5-39，已知1=2，AF平分EAQ，BC平分ABN，怎样说明PQ/MN？ 图2.5-39 图2.5-40 图2.5-414.如图2.5-40，已知1=2，AF平分PAB，BC平分ABN，怎样说明PQ/MN？5.利用图2.5-39和图2.5-40中的“1=2”这一条件，还能判定哪两条直线平行？为什么？6. 已知，如图2.5-41，1和D互余，CFDF，问AB与CD平行吗？为什么？7. 如图2.5-42，已知CDAD，DAAB，12.则DF与AE平行吗？为什么？8. 已知，如图2.5-43，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GHCD于点H，2=30，1=6

21、0求证：ABCD9.如图2.5-44：在下列括号中填写推理理由l=135（ ）3=135（ ）又2=45（ ）2+3=45+135=180,ab（ ）10. 如图2.5-45，CAAD，垂足为A，C=50，BAD=40，求证：ABCD图2.5-45能力挑战11.学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图2.5-46（1）（4），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行图2.5-46A B C D12. 如图2.5-47，将三个相同的三角尺不重

22、叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有（）A4组 B3组 C2组 D1组 图2.5-47 图2.5-4813. 如图2.5-48所示，已知直线BF、CD相交于点O，D=40，下面判定两条直线平行正确的是（）A当C=40时，ABCD B当A=40时，ACDEC当E=120时，CDEF D当BOC=140时，BFDE14. 如图2.5-49是一条街道的两个拐角，ABC与BCD均为140，则街道AB与CD的关系是 ，这是因为 图2.5-49 图2.5-50 图2.5-5115.如图2.5-50，因为 （只要求写出一个条件），所以ABCD16. 如

23、图2.5-51，ABBD，CDMN，垂足分别是B、D点，FDC=EBA（1）判断CD与AB的位置关系；（2）BE与DF平行吗？为什么？17. 如图2.5-52：1=2能判断ABDF吗？为什么？若不能判断ABDF，你认为还需要再添加一个什么样的条件？并请说明理由 图2.5-52 图2.5-53 图2.5-5418. 如图2.5-53，BAF=46，ACE=136，CECD问CDAB吗？为什么？自主创新19.如图2.5-54，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km（1）在图中标出A，B，C，D的位置

24、，并求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DCAB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DCAB20小颖用七巧板拼了一个小猪（如图2.5-55）：（1）请你在图中找出一组互相平行的线段并标上字母，然后再用平行符号表示出来；（2）请你在图中找出一组互相垂直的线段并标上字母，然后再用垂直符号表示出来；（3）请你在图中找出一个钝角并标出字母，然后用角的符号表示出来图2.5-55答案与提示1. (1) B 提示：3+8=180，而4

25、+8=180，3=4，L1L2（内错角相等，两直线平行）(2) C 提示：1=2，BCAD（内错角相等，两直线平行）(3) C 提示：1=70，要使ABCD，则只要2=180-70=110（同旁内角互补两直线平行）(4) D 提示：A和B中的角不是三线八角中的角；C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行D中内错角A=ABE，则EBAC(5) C 提示：FEB=ECD，AEG=DCH，HCE=AEG错误，因为它们不是GE、CH被截得的同位角或内错角；GEC=HCF正确，因为它们是GE、CH被截得的内错角(6) C 提示：A,1=2，ab（内错角相等，两直线平行）；B,1=3，ab（同位角

26、相等，两直线平行）；C,1+4=180与a，b的位置无关；D、2+4=180，ab（同旁内角互补，两直线平行）(7) B 提示：1=2，ADBC（内错角相等，两直线平行）(8) D 提示： A正确，FEB=ECD，ABCD（同位角相等，两直线平行）B正确，AEC=ECD，ABCD（内错角相等，两直线平行）C正确，BEC+ECD=180，ABCD（同旁内角互补，两直线平行）(9) D 提示：A,2+A=180，ABDF（同旁内角互补，两直线平行）；B,A=3，ABDF（同位角相等，两直线平行）；C,1=4，ABDF（内错角相等，两直线平行）(10) C 提示：ab，bc，ac，cd，ad(11)

27、 C 提示：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，符合平行线的判定， A正确；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，符合平行线的判定，B正确；两条直线被第三条直线所截，位置不确定，不能准确判定这两条直线平行，C错误；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，符合平行线的判定，D正确(12) C 提示：因为A+D=180，由同旁内角互补，两直线平行，所以ABCD，A错误；因为C+D=180，由同旁内角互补，两直线平行，所以ADBC，B错误；C正确；A与C不能构成三线八角，无法判定两直线平行，D错误(13) C 提示：1=D，ABDE（同位角相等，两直线平行）；CFB=AFD（对顶角相等），又CFB+D=180，AFD+D=180，ABDE（同旁内角互补，两直线平行）；中的B和D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件；BFD=D，ABDE（内错角相等，两直线平行）；所以都能说明ABDE(14) D 提示： EMD=65，MNB=115，CMN=EMD=65，CMN+MNB=180，ABDC(15) D 提示：选项A、B、C中的1与2都不是直线AB、CD形成的同位角，所以不能判断A