近世代数基础课后答案docx.docx

1、近世代数基础课后答案docx第一章基本概念 1 集 合1.BczA9但F不是/的真子集，这个情况什么时候才 能出现？解 由题设以及真子集的定义得，力的每一个元都属 于B,因此AczB.于是由BuA AczB得A-B 所以上述情况在AB时才能出现.2.假定 4uB, = ?解 (i由于ZuB,所以力的每一个元都属于即兄的每一个元都是虫和3的共同元，因而由交集的定义得A.AB但显然有yin BuA所以虫门R = A(ii) 由并集的定义，A)B的每一元素都属于/和 号之一)但AuB,所以的每一元素都属于B另一方面BczAB,所以= 2 映 射! A= 1, 2,，100 找一个Ax A到川的映射解

2、用（6 6）表示Ax A的任意元素，这里Q和b都 属于力按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Pt （a, b） a就是这样的一个，因为。替/x力的任何元亲（a,坊规定 了一个唯一的象。，而门读者应该白己再找几个Ax A到力的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下，是不是力的每一 个元都是Ax A的一个元的象？瞬 在上面给出的映射之下，虫的每一个元素都是 Ax A的一个元的象，因为3, b）中的a可以是力的任一 元素.你自己找到的映射的情况如何？有没冇出现/的元素不 都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射. 3代数运算1.虫二所有不等于零的偶数找一个集合D,使得 普通除法是月x虫到D的代数

3、运算.是不是找得到一个以上 的这样的D?解一个不等于零的偶数除一个不筹于零的偶数所得结 果总是一个不等于零的有理数 .T所以取D = 所有不等于零的有理数 普通除去就是一个Ax A到D的代数运算。可以找得到一个以上的满足耍求的D.读者可以自己找 几个.2. b, c.规定虫的两个不同的代数运算解 (i我们用运算表来给出力的一个代数运算：oa b caa a aba a aca a a按照这个表9通过。，对于/的任何两个元素都可以得出一 个唯一确定的结果a来，而Q仍属于所以。是力的一个 代数运算.这个代数运算也可以用以下方式來加以描述o: (x, y) a =xoy 对一切, yA(15) 同理

4、O： (工，V) =xoy 对一切 , yA也是虫的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代 数运算读者还应自己给出几个虫的代数运算. 4.结合律1- A = 所有不等于零的实数 o是普通除法:aob =这个代数运算适合不适合结合律？ 解这个代数运算。不适合结合律例如,当0 = 4 b = c= 2时 (aob) oc = (4o2) o2 =豆o2 = y = 1所以当a, b和c取上述值时(ao6) o?丰 ao (boc)2.力=所有实数.代数运算ot (a, fe) a + 26 = aob适合不适合结合律？解 读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算 不适合结合律.3.4 =

5、 a, 6, c .由表a b c Ia a b cb b c ac c Q b给出的代数运算适合不适合结合律？解 所给代数运算。适合结合律.为了得出这个结论，需要对元素bf c的27（=3种排列（元素允许重复出现）加以验证但是利用元素a的特性，可以把验证简 化.仔细考察运算表，我们发现以下规律*对集合X的任意 元素兀来说，都有aox = xoa - x由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读 者可以自己验证.还剩下Q不出现的排列.这样的排列共有 8(=23)种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自 己验证.(bob) ob = cob = abo (bob) = boc = a

6、所以 (bob) ob = bo (bob)(bob) oc = coc = bbo (boc) = boa = 6所以 (bob) cc = bo boc)(hoc) ob = aob - bbo (cob) = boa - b所以 (boc) ob - bo (cob)(boc) OC = QQC = cbo (coc) = bob = c所以 (boc) oc = bo (coc) 5.交换律K / = 所有实数人。是普通减法*1)(aiO6i)(sObj eKsO乂)= 6001 &2)+a2O(6l(+)62)=(5a?) O (&ifr2)=(2i(72) Oxt+XaGi) Qb

7、zk (aiO6i). (azQb L) () (a 2) (azQbz)、 7 . 一映射.变换11是一个虫到2的满射首先，0替每一工规定了一个唯一确定的象0（对,而o所以。是一个乂到7的映射其次，在 之下，刁的每一元万都是力中一个元，即万本身的象，所以 0是一个M到刁的满射.读者可以证明：都是乂到必的满射._3.假定是虫与万间的一个映射，。是力的一个0工0(0门=? (。)=?若0是N的一个一一变换，这两个问题的回答又该是什 解 当是.4与万间的一个一一映射时，0T(a)= a 未必有意义.若足/的一个变换，那么0-3 0 ( a ) J = a ( a ) = a读者可以做一做以下补充习

8、题.(i ) A- 所有二0的整数万=所有0的整数证明0 : x x + 1 对一切咒是H与yl间的一个 映射.(ii) A = 所有20的实数A= 所有N 0的实数 利用(i)题找一个虫与刁间的-一映射. 8 同 态1 力=所有实数咒 虫門代数运算是普通乘法.以下映射是不是Z到力的一个子集万的同态满射？ x x b ) x -*2 x c ) x -*x2x x取万二所有=0的实数几则ACZA,Q)d)解 a)而1:是力到N的一个同态满射因为，对任一实数咒，|戈|是一 个唯一确里的20的实数，所以0是虫到万的一个映射, 若是豆7,那么iEA,而(可工|另二金所以01是虫到万的一个满射；对任意

9、, y eA9 1 Uy) = lx| = xy =(P1(x)(Pl(y) 所以0!是/到灭的一个同态满射.6) 当取遍一切实数值时，2“也取遍一切实数值. 读者容易证明是虫到H的一个满射，但02不是力到虫的一个同态满射. 因为：取虫的数2和3,那么2 (23) =2(6) =12*2 (2厂(3)c)取7= .所有NO的实数几 那么万u虫读者可 以自己证明38 X -x2 =3 ( X) X E A是虫到万的一个同态满射.d)当兀取遍一切实数值时，-也取遍一切实数 值容易证明41 X - X =(p4(X) 久 /是乂到力的-个满射，偵不是一个同态满射 _ 2-假定力和万妙于代数运算。和孑

10、来说迥态，而万和 万对于企数运算5和厶来说同态证明，力和肓对于代数运 算。和3说同态解由题设存在/到万的一个同态满射 _1： a 厂 =O(a) EA并且对于力的任意洌个元素。和b来说 i (%) =ao & = ! (a) o 3(b) 同样存在万孕万的一个同态满射 _ 2： Q7Q = 02 (a) aGA, aE A并且对于万的汪总两个些 2和5来说02 (a o 6) a o 5 = P2 ( a ) o(Pz ( 6 )如下圮义x aT20i(a)Z) a A那么是力到3?的一个同态满射因为：(i)_由于0】和是同态满射，所以对于任何aA9 ( q)是万的八个唯一确定的元素，遁。2a

11、门是万的 一个唯一确定的元素，因而是加到黃的一个映射（H）素p L a）= i由于同一原因，对于任何盲令肓，存在一个元 使2 (万)=石并且存在一个元素Q 虫,使 几因此在之下，(。门= 2(a) = a而0是/到的一个满射.(iii) 由于同一原因，对于/的任何两个元索Q和b & aob)= 2 1 =纟匸 I ( a ) uP j ( 6 ) J-2CL()Jo2Li c 6 ctqPa: Qfc b a c f b对于代数运算。来说，0i和4是力的自同构，其余4 个都不是.这是因为，若是一个力的自同构，那么对虫的 任何元素和，将有(1 ) 6 (xoy) =4( c) =0； ( ) o

12、4 y) c因而(2 ) c) = c反过来，若(2)成立，那么(1)也成立2.A -(所有有理数 找一个虫的对于普通加法来 说的自同构.(映射一乂除外) -解 设上是任一有理数，且任丰Q, kl.那么5是力的一个对于加法来说的自同构，并且显然不是映射 災是虫的一个变换，读者可以自已证明。令兀 和，是力的任意两个元素，那么工+ $f r + y) = k(x + y) kx ky (x) + (y) 所以是“4的一个自同构读者可以试证，X只有以下对于加法来说的自同构任是#0的有理数_ 3. 所有有理数 的代数运算是普通加法.万=所有#0的有理数门 万的住数运算是普通乘法.证 明，对于给的代数运

13、算来说，与刁间没有同构映射存在.(先决定0在一个同构映射下的象.)解 设是虫与虫间对于所给代数运算的一个同构映 射，而0(0) - Oe那么由于是同构映射，育(P(O) =p(0 + 0) =0(0) (0) =a但同构映射是单射，所以得于是有 但石CTJ,所以a = 0 ,因而a1=0,即 = 1 这样0(0) =1 (1 )由于0是满射，另的元- 1必是/的某一元a的象 ( a) =： - 1由是得0(2 a) (aa) - ( a) CP() = (- 1 ) 2 = 1 于是由0是单射，得2a=0,即。=0,而0(0) = -1, 与(1)矛盾.这说明，在力与万间对所给代数运算来说不

14、存在同构对应.渎者可以用以下方法得出本题的另一证明 设。(a ) = 2 考虑0 (；+号) 10. 等价关系与集合的分类1.4二所有实数 力的元间的关系以及二是不 是等价关系？解 不是等价关系这个关系不满足反射律z 不成立.二也不是等价关系，它不满足对称律，例如，32 , 但2 3不成立.2有人说，假如一个关系/?适合对称律和推移律，那 么它也适合反射律.他的推论方法足因为7?适合对称律a 7? b b R a因为尺适合推移律a R b , b R a = a R a这个推论方法有什么错误？解 这个推论方法的错误在于，对于“等价关系”定义 的陈述没有准确地理解a R b = b R Q的意思

15、是：由Q R b可得b R J 假如对于某一元素，找 不到任何元素b,使得a R b成立，那么就得不出bR o, 因而也就得不出a R a.例如x令力是藥数集，如下定义虫 的元间的关系7?：Q F b 当且仅当ab0.R显然满足对称律和推移律，但R不满足反射律，因为0 /? 0不戍立.3.仿照例3规定整数间的关系Q 三 h ( 5 )证明你所规定的是一个等价关系，并且找出模- 5的剩余 类。解 可以完全仿照例3来做.第二章群论1群的定义1全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解 不是，因为習通减法不适合结合律.例如3 - (2 - 1) = 3 - 1 = 2 (3 - 2) - 1

16、= 1 - I = o(2 7) #(3 2)12.举一个有两个元的群的例.解令G = 匕，a , G的乘法由下表给出! c a 一e e a首先，容易验证，这个代数运算满足结合律1 (*)名= %(*) X, y9 zQQ因为，由于。Q = a e = a,若是元素e在(丄)中出现， 那么(1)成立 (参考第一章， 4 ,习题3.)若是不 在(1 )中出现，那么有 其次，G有左单位元，就是) e有左逆元，就是a有左逆元，就是所以G耀一个群.读者可以考虑一下，以上挂算表是如何作出的.3.证明，我们也可以用条件I, II以及下面的条件 IT, V，来做群的定义=Nr G里至少存在一个右逆元q,能

17、让ae = a对于G的任何元。都戒立W 对于G的每一个元a ,在G里至少存在一个右逆 元a,能让aa1 = e解 这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件 I, I, IV, V来做群定义的证明，但读者一定要自己写- 下2.单位元、逆元、消去律1若群G的每一个元都适合方程护二勺那么G是交 换群.解令Q和b是G的任意两个元.由题设(a6) (a6) = (a6) 2 = e另一方面(ob) (6a) = abz a = aea = a2 e于是有(ab) (ab) = (ab) (ba) e利用消去律，得ab = ba所以G是交换群.2.卷一个莆隈鏈离无于讷元芮个数一定是偶 数.解 令G是一个

18、宥限时皱G有元a而a的阶n2.考我们有a (o、)n = e e (a !)= (a l)M = e设正整数而(a)E = ,那么同上可得沪与并是 a的阶的假设矛盾.这样，加也是a的阶，易见ala. 否则a2 = aa1 = e与n2的假设矛盾.这样，我们就有一对不同的阶大于2 的元a和a.设G还有元几bi, 并且b的阶大于2那么b的阶也大于2,并且b丰b.我们也有丰a. 否则e = b_b = aa1 = b_ 】a_ 1消去6“得b -a*1 ,与假设矛盾.同样可证这 样，除Q和旷】外，又有一对不同的阶大于2的元和犷】.由于G足有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现， 所以G里这种元的个数

19、一定是偶数3.假定G是一个阶是偶数的有限群.在O里阶等于2的元的个数一定是奇数.G只有一个阶是1的元，就是单位元.于是由于G的阶是 偶数，得G里阶等于2的元的个数是奇数.4.一个有限群的每一个元的阶都有限解 令G是一个有限群而。是G的任一元素，那么6 ci2 9 a3, y 5 不能都不相等.因此存在正整数二iWi,使a = M用 ar乘两边，得 (1 ) . (jLi = $这样，存在正整数:便(1)成立.因此也存在最小的 正整数，使犷二内 这就是说，元。的阶是 4.群的同态假定在两个群G和石的一个同态映射之下，a-N a与 匚的阶是不是一定相同？解 不一定.例如，令G是本章 1中例2所给出

20、的群 而0是该节中例1所给出的群.那么读者容易证明 (Pl 舁i g 兄是G的任意元是G到0的一个同态映射.但G的每一个元士 0都是无限 阶的，而g的阶是1 5变换群1.假定r是集合力的一个非 变换.厂会不会有一个左逆元广】便得rr = C?解 可能有例如令虫=所有正整数,则r 1 1. n-n -1 nl显然是/的一个非变换.而虫的变换 r1 +1 n(A就能使厂 = 18房 间 看假定.4是所有实数作成的集合。证明，所有虫的可 以写成x-axrb a和6是有理数，a护0形式的变换作成一个变换群.这个群龛不是一个交换群？ 解令G是由一切上述变换作成的集合考察G的任何 两个元素2 x-ox +

21、 b 。和 b 是有埋数，a=0兀 x-*cx4-d C和d炬有理数，(7=0那么(ax + 6)z = c (ox-b b) + d=(ca) x + (cb + d)这里c Q和cb + J都是有理数，并且c a = 0.所以t久仍屈于G 结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立. 单位变换E i属于G容易验证，疋在G中有逆，即因此G作成一个变换群.但G不足一个交换群.令Tj : 力6+ 12： -*2 龙那么X(XT1) T2 =(工 + 1)匕2 = 2x+ 2r2r1: =(2工)G = 2r 十 13.假定S是一个集合厦的所有变换作成的集合.我们 暂时仍用符号r : aaf =

22、t( a)来说明一个变换r证明，我们可以用 72： a ( a) =r)r2 ( a)来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个 乘法来说，还是S的单位元解 令6和一是S的任雹两个元而。是力的任意一个 元那么5(Q)和5匚珂(。)都是Z的唯一确定的元.因 此如上规定的仍是S的一个唯一确定的元而我们得到了 一个S的乘法.令心也是S的一个任意元，那么C(t-1t2)t3J 汀3( a)I =rjr2s( ) 所以(r1r2)r3=rJ(r2r3)而乘法适合结合律.令厂是S的任意元.由于对一切。力，都有)=a, 所以“(a ) = fr ( )-r(a)r ( q ) = te (a)=r

23、(a)即et = t = t而e仍是S的单位元.4.证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换.解设G是由某一集合力的变换组成的一个变换群，而 是6的单位元任取G的一个元和力的一个元a.由于aer = （ae） * = ar由于7是力的一个 变换，所以厅=。而是&的恒等变换.5.证明，实数域上一切有逆的 X猝矩阵对于矩阵乘 法来说，作成一个群.解这个题的解法很容易，这里从略. 6.置换群1 找出所有S3的不能和（；：；交换的元.解 S3有6个元$其中的3. 证明f（i ）两个不相连的循环置换可以交换,（ii ）（匚订W =（U九i珀）.解 （i）看S“的两个不相连的循环程换。和我们 考察乘积使数字

24、1, 2,，h如何变动.有三种情况.（Q） 数字，在。中出现，并且7把d变成心这时 由于cj和了不相连，不在丁中出现，因而r使,不变，所 以仍把F变成j （b） 数字上在厂中出现，并且疋把b变成2.这时 上不在Q中出现，因而o使上不变，所UX仍把七变成（c） 数字力不在cr和了中出现.这时7匸使税不动如上考察2池数宇1, 2,，归如何变动，显然得到同样的结果.因此（ii） 由于（W讥=（1,所以（珀i 2彳订7 = （?1讥）4 证明一个k -循环置换的阶是k 解.一个匕-循环觀换兀=（八论讥）的一次方，二次 方，*2次方分别吧讥变成（2,订，9 G-同理於把2 变成订，把和变成心因此沪=（1

25、）.由上面的分析， 若是Kk,那么次律（1）.这就证明了，冗的阶是上.5.证明S”的每一个元都可以写成（1 2）, （ 1 3）,，（1 n）这n - 1个A循环置换中的若干个的乘积.解由于每个置换都可以写成不相连的循环殖换的乘 积，所以只须证明，一个循环労换可以写成若干个（1门形 的置换的乘积设兀是一个花-循坏直换我们分两个情形 加以讨论.(a) . 1在中出现，这时可以写成容易验算(1 = ( 1 H)( 1 H)( 1 ：r*-i)(b ) 1不在兀中出现，这时7T =(匚订讥)=(1沐匚2让)(1 H)=(1 it) (1 ：2)(1 u) ( 1 i) 7.循环群1.证明，一个循坏群

26、一定是交换群.解 设循环群G = (g)那么G的任何两个元都可以写 成旷和a (tn , t?是整数)的形式.但(ran = am + n = a,H，1=所以G是一个交换群2 假赴群的元。的阶足n 证明/的阶是寻，这里d = (r, Q是:r和的藪大公因子解由于d|r, r =ds,所以(ar ) d = (adi) := (a11)J = e现在证明，子就是/的阶设/的阶为那么fe6e = (aF ) = (ar) = (ar)kg (ar)r 1 = (ar)但r, k而七是a1的阶，所以rx = 0而于是得艮号.（参看本节定理的第二种情形）为了证明匕备只须反过来证明k.由Q样=而姦是a的阶，同上有nrk9因而务 寺“