二次函数新定义问题可编辑修改word版.docx

1、二次函数新定义问题可编辑修改word版专题训练(四) 与二次函数相关的新定义问题类型之一 应用型：阅读理解建模应用图 4ZT112017巴中如图 4ZT1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点 A，B，C，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为 yx22x3，则半圆圆心 M 点的坐标为 .2一个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”如果二次函数 yx2bx4 是“偶函数”，该函数的图象与 x 轴交于点 A 和点 B，顶点为 P，那么ABP 的面积是 32017余杭区一模如果两个二次函数的图象关于 y 轴对称，

2、我们就称这两个二次函数互为“关于 y 轴对称二次函数”，如图 4ZT2 所示，二次函数 y1x22x2 与 y2x22x 2 是“关于 y 轴对称二次函数”(1)直接写出两条图中“关于 y 轴对称二次函数”图象所具有的特点(2)二次函数 y2(x2)21 的“关于 y 轴对称二次函数”表达式为 ；二次函数 ya(xh)2k 的“关于 y 轴对称二次函数”表达式为 (3)平面直角坐标系中，记“关于 y 轴对称二次函数”的图象与 y 轴的交点为 A，它们的两个顶点分别为 B，C，且 BC6，顺次连结点 A，B，O，C 得到一个面积为 24 的菱形， 求“关于 y 轴对称二次函数”的表达式图 4ZT

3、2类型之二 探究型：阅读理解尝试探究4若抛物线 yax2bxc 过定点 M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式小敏写出了一个答案：y2x23x4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 yx22bxc1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式请你解答52017衢州定义：如图 4ZT3，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上(点 P 与 A，B 两点不重合)，若ABP 的三边满足 AP2BP2AB2， 则称点 P 为抛物线 ya

4、x2bxc(a0)的勾股点(1)直接写出抛物线 yx21 的勾股点的坐标；(2)如图，已知抛物线 C：yax2bx(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P(1，物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式；3)是抛(3)在(2)的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 SABQSABP 的点 Q(异于点 P)的坐标图 4ZT362017嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线 yaxc 称为抛物线 yax2bxc 的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线 yx22 的生成线是直线 yx2，生成点是(0，2)和(1，1)(1)若抛物线 ymx25x2 的生成线

5、是直线 y3xn，求 m 与 n 的值(2)已知抛物线 yx23x3 如图 4ZT4 所示，若它的一个生成点是(m，m3)求 m 的值若抛物线 yx2pxq 是由抛物线 yx23x3 平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线 yx23x3 的生成点为点 A，B，抛物线 yx2pxq 的生成点为点 C， D，则 ABCD.求 p 与 q 的值图 4ZT472017随州在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa 为抛物线yax2bxc(a，b， c 为常数，a0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形”

6、2 3 4 3已知抛物线 y 3 x2 3 x2左侧)，与 x 轴负半轴交于点 C.3与其“梦想直线”交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 (2)如图 4ZT5，M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N，若AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N 的坐标(3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F， 使得以点 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E，F 的坐标； 若不存在，请说明

7、理由图 4ZT5类型之三 概括型：阅读理解概括拓展82017郴州设 a，b 是任意两个实数，用 maxa，b表示 a，b 两数中较大者，例如：max1，11，max1，22，max4，34，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max5，2 ，max0，3 ；(2)若 max3x1，x1x1，求 x 的取值范围；(3)求函数 yx22x4 与 yx2 的图象的交点坐标，函数 yx22x4 的图象如图 4ZT6 所示，请你在图中作出函数 yx2 的图象，并根据图象直接写出 maxx 2，x22x4的最小值图 4ZT6详解详析1(1，0) 解析 解 x22x30 得 x11，x23，所以抛物线与 x

8、 轴交于点 A(1，0)， B(3，0)，所以 AB4，所以点 M 的坐标为(1，0)28 解析 二次函数 yx2bx4 是“偶函数”，b2 10，b0，函数表达式为 yx24，令 y0，则 x240，解得 x12，x22，A(2，0)，B(2，0)，AB2(2)4. 令 x0，则 y4，点 P 的坐标为(0，4)，1ABP 的面积 448.23.解：(1)顶点关于 y 轴对称，对称轴关于 y 轴对称(答案不唯一) (2)y2(x2)21 ya(xh)2k(3)(答案不唯一)如图，由 BC6，顺次连结点 A，B，O，C 得到一个面积为 24 的菱形， 得 OA8，点 A 的坐标为(0，8)，点

9、 B 的坐标为(3，4)设左侧抛物线的函数表达式为 ya(x 3)24，将点 A 的坐标代入，得9a48，4解得 a ，94 4故 y (x3)24，其“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为 y (x3)24.9 9根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，4 4 “关于 y 轴对称二次函数”的表达式为 y (x3)24 和 y (x3)24.9 94.解：(1)答案不唯一，合理即可(2)因为抛物线的函数表达式可化为 y(x22bxb2)b2c1(xb)2b2c 1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b，b2c1)因为抛物线过定点 M(1，1)，将其代入函数表达式可得12bc11，解得 c12b，则

10、顶点纵坐标 b2c1b212b1(b1)21，所以当 b1 时，b2c1 的值最小为 1，此时 c12b1211.故抛物线的函数表达式为 yx22x.5解：(1)抛物线 yx21 的勾股点的坐标为(0，1)(2)抛物线 yax2bx 过原点，即点 A(0，0) 如图，过点 P 作 PGx 轴于点 G.点 P 的坐标为(1， 3)，AG1，PG3，PAAG2PG212（ 3）22，PAG60，AB2PA4，点 B 的坐标为(4，0)设抛物线 C 的函数表达式为 yax(x4)，将 P(1，33)代入得 a 3 ，3 3y 3 x(x4) 3 x2 x.(3)当点 Q 在 x 轴上方时，由 SAB

11、QSABP 知点 Q 的纵坐标为 3，3则有 3 x2 x 3，解得 x13，x21，点 Q 的坐标为(3， 3)；当点 Q 在 x 轴下方时，由 SABQSABP 知点 Q 的纵坐标为 3，3则有 3 x2 x 3，解得 x12 7，x22 7，点 Q 的坐标为(27，3)或(27，3)综上，满足条件的点 Q 有 3 个，其坐标为(3，3)或(27，3)或(27，3)6解：(1)抛物线 ymx25x2 的生成线是直线 y3xn，m3，n2，n2.(2)抛物线 yx23x3 的一个生成点是(m，m3)，m3m23m3，整理，得 m24m0，解得 m0 或 4.抛物线 yx2pxq 是由抛物线

12、yx23x3 平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，q3.抛物线 yx23x3 与它生成线 yx3 的生成点为(0，3)，(4，7)，AB2(40)2(73)232.抛物线 yx2px3 与它生成线 yx3 的生成点为(0，3)，(1p，4p)，CD2(1p0)2(4p3)22(1p)2.ABCD，2(1p)232，p5 或3.抛物线 yx2px3 与抛物线 yx23x3 不重合，p3 不合题意，应舍去，p5.2 3 2 37解：(1)y 3 x 3(2，23) (1，0)(2)抛物线与 x 轴负半轴交于点 C，C(3，0)过点 A 作 AGy 轴，垂足为 G.当点 N 在 y

13、轴上时，AMN 为“梦想三角形”设 N(0，n)，A(2，23)，C(3，0)，AC13，ANAC13.在 RtAGN 中，AG2GN2AN2，AG2，GN|n2 3|，4(n2 3)213，解得 n233 或 n233.设 M(m，0)，当 n233 时，在 RtMNO 中，(233)2m2(m3)2，解得 m22 3；当 n233 时，在 RtMNO 中，(233)2m2(m3)2，解得 m22 3.3m1，m22 3不合题意，舍去m223，此时 n233，N(0，2 33)；当点 M 在 y 轴上时，AMN 为“梦想三角形”，此时点 M 与点 O 重合，在 RtAGM 中，AG2，GM2 3，AG ，AMG30，GM 3AMCAMNNMB60.过点 N 作 NPx 轴于点 P，在 RtNMP 中，MNCM3，3 3 3(3 3 3)综上所述，点 N 的坐标为(0，2 33)或(3 3 3 .，24 3 2 3(3)E1 1， 3 ，F1 0， 3 ；4 3 10 32 1 3 2 4， 3 .8解：(1)5 3(2)由题意可得 3x1x1，解得 x0.(3)由题意得yx2， )yx22x4，x12， x23，解得 y14， ) y21，)交点坐标为(2，4)和(3，1)所作的函数 yx2 的图象如图所示由图象可知：当 x3 时，maxx2，x22x4有最小值1.