八年级数学轴对称复习.docx

1、八年级数学轴对称复习第十二章 轴对称复习教案 专题一：轴对称一、 知识要点：1轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形.这条直线叫对称轴.（2）轴对称：把一个图形沿着某一直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴.（3）图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.关于某条直线对称的两个图形全等.（4）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（5）图形对称轴的作法：要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的

2、一对对应点，然后连结它们，得到一条线段，再作出这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴.2线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 二、题目特点：和本专题有关的题目主要涉及以下几个方面：（1）判别轴对称图形或对称轴的条数；（2）根据轴对称图形的性质作对称轴；（3）用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理.三、解题切入点：熟练掌握轴对称图形概念、性质以及线段垂直平分线的性质是解决有关问题的关键.例1

3、 下列图形是轴对称图形的是 （ ）.（A） （B） （C） （D）分析：要选择哪个图案是轴对称图形，主要根据轴对称图形的特征：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合.观察所给的四个图案，能沿某直线折叠重合的只有最后一个图形.解：选（D）.例2 如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离相等？ 图1 图2分析：本题是一道与线段垂直平分线性质应用有关的题目.解决问题的关键从实际问题中构建数学模型.如图2，将A、B两个居民区看作两个点，将街道看作直线l，则本题实际上是在直线l上求作一点，这点到点A、B的距离相等.作线段AB的垂直平分线即可解

4、决问题.解：如图2，（1）连结AB，（2）作线段AB的垂直平分线MN交直线l与点P，则点P就是所求作的奶站的位置.例3 如图3，ABC中，BAC=120，若DE、FG分别垂直平分AB、AC，AEF的周长为10cm，求EAF的度数及BC的长. 图3分析:本题主要考查线段垂直平分线性质的应用.要求BC的长,根据已知可得EA=EB,FA=FC,这样BC的长实际就是AE+EF+AF.要求EAF的度数,则只要求到BAE+CAF的度数即可解决问题.解：因为BAC=120，所以B+C=60，因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，B=BAE，因为FG垂直平分AC，所以AF=CF，C=CAF，所以AE+EF+A

5、F=BE+EF+CF=BC=10cm，EAF=BAC-(BAE+CAF)=120-(B+C)=60.专项练习1:1. 下列图形中，轴对称图形的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.下列哪个选项的左边图形与右边的图形成轴对称图形（ ） (A ) (B) (C) (D)3. 万众瞩目的2006年世界杯足球赛在德国举行，足球场平面示意图如图4所示，它是轴对称图形，其对称轴条数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 图4 图54. 下列两个图案中，其中一个是另一个关于某直线对称的对称图形的是（ ） （A） （B） （C） （ D）5.如图5是我国传统木房结构中一种常见

6、的图案，窗户(长方形)常用各种图案装饰，这个图案有_条对称轴6.下列图案中，有且只有三条对称轴的是_(填上序号) 7. 如图6,在AOB的内部有一点P,点M、N分别是点P关于0A、0B的对称点，MN分别交OA、OB于C、D点，若PCD的周长为30cm，则线段MN的长为_. 图6 图7 图8 图98.如图7,ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E,交AC于F,A=50,AB+BC=16cm,则BCF的周长为_9. 如图8，ABC中，AB=AC，A=50，AB的垂直平分线交AC于D，求DBC的度数.10.如图9，在RtABC中，C=90，DB平分ABC交AC于点D，DE的垂直

7、平分斜边AB于E.(1)请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等？(2)如果BC=6,AC=8,则BDC的周长为多少？答案：1.B 2.B 3.B 4.D 5.2条; 6.; 7.30; 8.16cm; 9. 因为AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，所以ABC=C=65，A=ABD=50，所以DBC=65-50=15.10. (1)AE=EB(根据DE是AB的垂直平分线),AD=DB(根据线段平分线上的点到线段两个端点的距离相等).DE=DC(根据角平分线上的点到角的两边的距离相等).(2)因为BD=AD,所以BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=6+8=14.即

8、BDC的周长为14.专题二: 轴对称变换一、 知识要点: 1轴对称变换：（1）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.由轴对称变换得到的图形与原图形形状、大小完全相同；新图上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）作一个平面图形的对称图形，先作一些点的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形.对于线段、三角形、四边形等由直线、线段或射线组成的图形，只要作出原图形上的关键点的对应点，然后连接这些对应点，即可得到相应的对称图形.（3）利用轴对称变换设计图案，主要是借助平移等有关知识.2以坐标轴为对称轴作对称图形（1）点P(

9、x,y)关于x轴对称的对称点为P1(x,-y),点P(x,y)关于y轴对称点的坐标为P2(-x,y);也就是:若两点关于x轴对称,那么它们的横坐标相同,纵坐标互为相反数;若两点关于y轴对称,那么它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数. (2)作一个图形关于坐标轴对称的图形,一般先作图形上关键点关于坐标轴的对称点,然后连接对称点即可.二、题型特点：和轴对称变换的主要题型有：（1）作一个平面图形（如三角形，四边形等）关于已知直线的对称图形；（2）求已知点关于坐标轴对称的对称点的坐标；（3）根据轴对称变换设计图案；（4）根据轴对称变换解决实际生活中问题.三、解题切入点：作一个平面图形的轴对称图形，关键是

10、确定原图形上的关键点，只要作出这些关键点的对称点，然后按原图形的顺序连接即可；求一个点关于坐标轴对称点的坐标，关键是熟练掌握对称点之间的坐标特征；根据轴对称变换解决实际问题，需要从实际问题中构建出数学模型.例1 如图1,以直线AE为对称轴,画出该图形的另一部分.分析:要画出图形的另一部分, 首先要找到图形上的关键点A，B，C，D，E，由于点A，D，E在对称轴上，所以它们的对称点与本身重合，这样只要根据对称的性质作出关键点B、C关于直线AE的对称点，然后用线段连结相应的对称点即可得到图形的另一部分.解：作图过程如下：（1）分别作出点B、C关于直线AE的对称点F，H,如图2；（2）连结AF、FD、

11、DH、HE，得到所求的图形,如图3.图1 图2 图3 例2 用四块如图4所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形.请你在图4、图4、图4中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同). 图4分析：本题是一道与轴对称图形有关的拼图问题，要拼轴对称图案，则需要理解轴对称图形的特征：要某直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合.另外还需要掌握平移等有关知识.设计图案问题一般具有开放性，可以根据自己想象设计出美丽的图案.解：下面给出3种不同答案，供参考.如图5. 图5例3如图6，（1）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标；（2）将ABC向右平移6个单位，作出

12、平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴. 图6 图7分析：（1）在直角坐标系内作ABC关于y轴的对称图形，可先确定关键点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的坐标，描出这些点的坐标，然后顺次连结即可.（2）要作ABC向右平移6个单位的后的A2B2C2，首先要作出A、B、C三点向右平移6个单位的对应点，然后顺次连接即可；（3）要观察A1B1C1和A2B2C2是否关于某直线对称，可连接A1A2，B1B2，C1C2，看它们的垂直平分线是否是同一条直线，如果是，则A1B1C1和A2B2C2就

13、关于这条直线对称，否则，不关于某条直线对称.解： （1）如图7所示,A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1);（2）如图7所示,A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1);（3）A1B1C1与A2B2C2关于直线轴对称.专项练习:1.在直角坐标系中,点P(-2,-4)关于y轴的对称点的坐标是( ). (A)(-2,4) (B)(2,-4) (C)(2,4) (D)(-4,-2) 2.点M(1,2)关于x轴对称点的坐标为 ( ).(A) (-1,2) (B)(-1,-2) (C)(1,-2) (D)(2,-1)3.点P(3,-2)关于直线x=4对称点的坐标是( ).(A) (5,-3)

14、 (B)(-2,5) (C) (5,-2) (D) (-3,4)4.已知直线l和l同旁的两点A、B，在直线l上求一点P，使PA+PB最小，那么正确的是（ ）.（A）作点A关于直线l的对称点A，连结AB与直线l的交点即为点P（B）直线AB与直线l的交点为P点（C）若直线AB/l，则直线l上的任意点即可为点P （D）过线段AB的中点，向直线a引垂线，垂足即为点P.5.点M(3a-b,4)与点N(9,2a+b)关于x轴对称,则a=_,b=_.6点A的坐标是(-2,3),点B与点A关于直线x=1对称,点C与点B关于直线y=-2对称,则点C的坐标为_.7.如图8,由5个小正方形组成的图形,请你三种不同的

15、方法,分别添画一个小正方形,使它成为轴对称图形. 图88.如图9,作出ABC关于直线l的对称三角形ABC. 图9 图109. 已知四边形ABCD各顶点为A(1,2), B( 1,4), C(3,5), D (3,3),作四边形ABCD关于直线x=-1的对称图形.10. 如图10，是一个810的正方形格纸，ABC中A点坐标为(2 ，1 ).ABC和ABC满足什么几何变换(直接写答案)？作ABC关于x轴对称图形ABC；求A、B、C三点坐标(直接写答案)答案:1.B 2.C 3.C 4.A 5.1,-6; 6.(4,-7); 7.如图. 7题 8题8.如图.9.如图. 9题 10题10.（1）ABC

16、和ABC满足轴对称变换；（2）如图2所示.（3） A(2，-1)、B(1，-2)、C(3，-3). 专题三：等腰三角形一、知识要点：1 等腰三角形（1）有两边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相重合. （3）等腰三角形的判别方法：直接根据定义；等角对等边.2 等边三角形（1）三边都相等的三角形叫做等边三角形.是轴对称图形，有三条对称轴.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角都是60.（3）等边三角形的判别方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等

17、边三角形.二、题目特点：和等腰三角形有关的题目主要有两类：（1）计算题.如求等腰三角形的腰长，周长、角度等；（2）说理题.如证明一个三角形是等腰(或等边)三角形;(3)实际应用题.如根据实际问题构造等腰三角形解决问题.三、解题切入点：解决和等腰三角形有关的计算问题，要把握等腰三角形的性质，注意分类思想在等腰三角形中的应用.解决证明问题主要依据等腰(或等边)三角形的性质和判定方法,有的问题还需要作恰当的辅助线.例1 如图1是某房屋顶框架的示意图，其中，AB=AC，ADBC，BAC=120，求B、C和BAD的度数.分析：由AB=AC，可知ABC是等腰三角形，等腰三角形的底边上的高，顶角的平分线重合

18、，根据ADBC，可得AD平分BAC，进一步可以求到各角的度数.解：在ABC中，因为AB=AC，所以B=C，因为BAC+B+C=180，BAC=120，所以B=C=(180-120)=30,因为ADBC,所以BAD=BAC=60. 图1例2 如图,2一艘轮船在近海处由南向北航行,点C是灯塔,轮船在A处测得在其北偏西38的方向上,轮船又又A向北航行30海里到B,测得灯塔在其北偏西76的方向上.(1) 求ACB的度数;(2) 轮船在B处时,到灯塔C的距离是多少?分析:本题是一道实际问题,解决问题的关键是根据实际问题画出几何图形,通过分析图形中角度之间的关系,借助等腰三角形的知识解决.解:因为NAC=

19、38,NBC=76,所以NBC=ACB+NAC,所以ACB=NBC-NAC=76-38=38. (2)因为ACB=NAC=38, 所以AB=AC, 图2因为AB=30海里,所以BC=30海里,即点B到灯塔C的距离是30海里. 例3如图3，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB，且DEF也是等边三角形除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的.分析:本题是一道猜想型探索题.要探索图形中存在哪些相等的线段,可根据等边三角形的性质,通过寻找三角形全等进行探索.解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE ， 事实上，因为ABC与DE

20、F都是等边三角形， 所以A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD ， 又因为CED+AEF=120，CDE+CED=120， 所以AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， 所以AEFBFDCDE（AAS）， 所以AE=BF=CD，AF=BD=CE . 专项练习3: 图31. ABC中,AB=AC,它的两边分别是2厘米和4厘米,则它的周长是（ ）(A)8厘米 (B)10厘米 (C)8厘米或10厘米 (D)不确定2如图4,在ABC中,已知B和C的平分线相交于点F,过点F作DF/BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为（ ）(A)9 (B)8 (C

21、)7 (D) 6 图4 图5 图6 3如图5,ABC为等边三角形,AD为BD边上的高,E为AC边上的一点,且AE=AD,则EDC=_度.4. 如图6,在ABC中,D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则BAC的度数是_.5分别以等腰三角形的腰与底边向三角形外作正三角形，其周长为24和36，求等腰三角形的周长.6如图7,在ABC中,已知AB=AC,BD、CE是两条角平分线，BD、CE相交于点O，OBC是等腰三角形吗？为什么？ 图7 图87如图8，在RtABC中，A=30，C=90，BC=10，点D是斜边AB的中点，DEAC，交AC于E.求DE的长. 8如图9，在ABC中，BP、CP分别

22、是ABC和ACB的平分线，且PD/AB，PE/AC，求PED的周长.9如图10,已知ABC中,AB=AC,AF是BC边的中线,D是BA延长线上一点,E在AC上,且AD=AE.求证：DEBC. 图 9 图10 图11 10.如图11，已知AB=AD，BAD=60，BCD=120，延长B到E，使CE=CD，连结DE.求证：BC+DC=AC.答案:1.B 2.A 3. 15; 4.120; 5. 由等边三角形的周长为24，36可得等腰三角形的底、腰长可能是8、12.当腰为12，底边为8时，周长为12+12+8=32，当腰长为8，底边为12时，周长为8+8+12=28.所以等腰三角形的周长为32或28

23、.6. OBC是等腰三角形.理由：在ABC中，因为AB=AC，所以ABC=ACB，又BD是ABC的平分线，所以OBC=ABC，又CE是ABC的平分线，所以OCB=ACB，所以OCB=OBC，所以OB=OC，即OBC是等腰三角形.7. 在RtABC中，因为A=30，BC=10，所以AB=20，因为D为AB中点，所以AD=10，在RtADE中，因为A=30，AD=10，所以DE=5.8. 因为BP是ABC的平分线，CP是ACB的平分线，所以ABP=CBP，ACP=BCP，因为PD/AB，所以ABP=BPD，所以PBC=BPD，所以BD=PD,同理PE=EC.所以PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm.9.因为AB=AC,BF=CF,所以BAF=CAF,AFBC,因为AD=AE,所以ADE=BAC,所以BAF=D,所以DE/AF,所以DEBC.10.连结BD，因为AB=AD，BAD=60，所以ABD为等边三角形，因为CD=CE，DCE=60，所以CDE为等边三角形，因为ADB=CDE=60，所以ADB+BDC=CDE+BDC，即ADC=BDE，又AD=BD，CD=ED，所以ADCBDE，所以AC=BE，又BE=BC+CE=BC+CD，所以AC=BC+CD.