奶制品的生产与销售模型.docx

1、奶制品的生产与销售模型数学建模作业奶制品的生产与销售模型奶制品的生产与销售模型摘要随着社会的发展， 人们的生活水平逐渐提高， 对奶制品的要 求也不断提高，因此，企业生产越来越注重对人们需求的供给， 合理分配资源，获取最大利润。根据本题的基本信息， 提出奶制品的生产与销售模型， 这个 优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划， 即每天用多少桶牛奶生产 A1,用多少桶牛奶生产 A2 （也可以时 每天生产多少公斤 A1,多少公斤A2）,但存在着几个问题的制约， 采用最小二乘的模型求解方法，按照题目所给，将决策变量、目 标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来， 就可得到模型最 优解，解

2、决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。 关键字： 生产要求 最优解 最小二乘法1问题重述问题一 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1、A2 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用 12小时加工成3公斤Ai，或者在 设备乙上用8小时加工成4公斤A。根据市场需求，生产的A1、A2 能全部售出，且每公斤 A1 获利 24 元，每公斤 A2 获利16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式 工人总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100公斤A，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一 个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下 3 个附加问题：1）若用 35元可以

3、购买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间， 付给临时工人 的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤 A的获利增加到30元， 应否改变生产计划？问题二 为增加工厂的获利， 开发了奶制品的深加工技 术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公 斤高级奶制品B1,也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶 制品B2,每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。 试为该厂制订一个生产销售计划，是每天的净利润最大，并 讨论以下问题：1 ）若投资 30 元可以增加供应 1 桶牛奶，投资 3 元可以 增加 1 小时劳动

4、时间， 应否作这些投资？若每天投资 150元， 可赚回多少？2）每公斤高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动， 对制订的生产销售计划有无影响？若每公斤 B1 的获利下降 10%，计划应该变化吗？2问题分析问题一 这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决 策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产 A1，用多少桶牛奶生产A2 （也可以时每天生产多少公斤 A1，多少公斤 A2）,决策受到 3 个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、甲类设备的 加工能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用 数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。问题二 要求制订生产销售计划，决策变量可以像

5、例 1 那样， 取作每天用多少桶牛奶生产 A1、A2,再添上用多少公斤A1加工 B1,用多少斤A2加工B2,但是由于问题要分析 B1、B2的获利 对生产销售计划的影响，所以决策变量取作 A1, A2, B1，B2每天的销售量更方便。目标函数是工厂每天的净利润 A1、 A2、 B1、 B2 的获利之和扣除深加工费用。约束条件基本不变， 只是要添上A1, A2深加工时间的约束。再与例 1类似的假定下 用线性规划模型解决这个问题。3基本假设1.A1,A2 两种奶制品每公斤的获利是与他们各自产量无关的常 数，每桶牛奶加工出 A1,A2 的数量和所需的时间是与它们各 自的产量无关的常数；2.A1,A2

6、每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数， 每桶牛 奶加工出 A1,A2 的数量和所需的时间是与他们相互间产量无 关的常数；3.加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意实数。4模型的变量与符号说明问题一符号符号说明X1每天用来生产A1的牛奶桶数X2每天用来生产A2的牛奶桶数z每天的获利问题二符号符号说明X1每天销售A1的公斤数X2每天销售A2的公斤数X3每天销售B1的公斤数X4每天销售B2的公斤数X5每天用A1加工B1的A1公斤数X6每天用A2加工B2的A2公斤数z每天的净利润五模型的建立与求解5.1模型的建立与求解问题一 由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：设每天用x1桶牛

7、奶生产A1,用x2桶牛奶生产A2;每天获 利为z元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1,获利24*3x1 , x2桶牛 奶可生产 4x2 公斤 A2,获利 16*4x2 , z=72x1+64x2;我们的目标是求出当 x1,x2 满足下列约束条件时 z 的最大值， 及 相应的 x1,x2 的取值。约束条件为：1.原料供应：生产 A1, A2的总加工时间不得超过每天正式工人 总的劳动时间，即 12x1+8x2=480 小时;2.劳动时间：生产 A1，A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的 供应，即 x1+x2=50 桶;3.设备能力： A1 的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x=0， x2=0

8、.由此得基本模型：Max z=72x1+64x2S tx1+x2=5012x1+8x2=4803x1=0,x2=0.用LINDO软件求解，可得到如下输出:LP OPTIMUM FOUND AT STEPOBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 3360.000X1 20.000000X2 30.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANG

9、ED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000上面结果的第 3,5,6 行

10、明确地告诉我们， 这个现行规划的最 优解为 x1=20,x2=30, 最优值为 z=3360, 即用 20 桶牛奶生产 A1,30 桶牛奶生产A2,可获最大利润3360元。问题二 由上述问题分析可建立奶制品生产销售计划的模型并 进行求解：设每天销售Xi公斤A , X2公斤A , X3公斤Bi , X4公斤B2，用X5公斤A1加工Bi , X6公斤A加工B2。设：z 24X1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6其中Z表示的是每天净利润，我们的目标是求出当x1,x2,x3,x4,x5,x6 满足下列约束条件时z的最大值，及相应的x1,x2,x3,x4,x5,x6 的取值。约束条件为：1.

11、原料供应：A1每天生产X1+X5公斤，用牛奶(X1+X5) /3桶，A2每天生产X2+X6公斤，用牛奶(X2+X6) /4桶，者之和不得超过每天的供应量50桶；即2.劳动时间：每天生产 Ai, A2的时间分别为4 (X1+X5)和2(X2+X6)，加工Bi, B2的时间分别为2x5和2x6,二者之和不得超过总的劳动时间480小时；即4(Xi X5) NX2 X6) 2x5 2x6 4803.设备能力：Ai的产量xi+x5不得超过甲类设备每天的加工能力i00公斤；即Xi X5 ioo4.非负约束：xi,x2, ,x6 均为非负.即 Xi, X2, X3, X4, X5-X6 05.附加约束：i公

12、斤Ai加工成0.8公斤Bi,故x3=0.8x5,类似地 x4=0.75x6.即 x3 0.8X5,x4 0. 75x6由此得基本模型:1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCED COSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005

13、)0.00000044.0000006)0.00000032.000000Xi, X2, X3, X4, X5-X6 0用LINDO软件求解，可得到如下输出:LP OPTIMUM FOUND AT STEPNO. ITERATIONS=RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX124.0000001.680000INFINITYX216.0000008.1500002.100000X344.00000019.

14、7500023.166667X432.0000002.026667INFINITYX5-3.00000015.8000002.533334X6-3.0000001.520000INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE2600.000000120.000000280.0000003480.000000253.33332880.0000004100.000000INFINITY76.00000050.000000INFINITY19.20000160.000000INFINITY0.00

15、0000最优解为 x1=0,x2=168,x3=19.2,x4=0,x5=24,x6=0 ，最优值 为z=3460.8.即每天生产销售168公斤A2和19.2公斤B1 （不出 售A1, B2）,可获净利润3460.8元.为此，需用8桶牛奶加工成 A1,42桶加工成A2,并将得到的24公斤A1全部加工成B1.5.3 模型检验 根据多项式的曲线拟合原理，其本身就体现了最小二乘法， 在拟合多项式最高次数的选择上， 我们更是多次试验， 择优而选 择，使其更加逼近以前的数据，所以说，从最小二乘法原理方面 检验，它的误差是在a =0.05之内的，模型可行。六 模型评价与推广本模型的优点 :1. 本模型的优

16、点 :1.在进行奶制品的生产与销售模型中， 采用最小二乘的方法在奶制品生产问 题上，合理建立模型，保证了模型的准确性和正确性。2.在数据处理上， 采用简单的数据处理， 解决了实际的奶制品的生产与销售 模型。3.在此题求解过程中，假设多个变量，考虑到多个因素的存在，运用了多种 可能的模型，使得问题的求解的合理性大为提高。不足点 : 本模型采用多项式进行曲线拟合 ,但并没有论证它的优越性 , 而且也有可能出 现多种最优解，也没有考虑是否有更好的拟合函数模型推广：企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部 设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划

17、，在车间级则要根据产品生产计划、工 艺流程、 资源约束及费用参数等， 以最小成本为目标制订生 产作业计划。 从时间层次看， 若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化， 可制订 单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。这个模型可以推广到诸多经济领域。经济市场中，各种经济 指数在短时间内多呈现出波动性，然而在整个宏观时间区域上， 却可以认为这些经济指数是按照一定规律变化的。 所以， 我们可 以采用同样的方法， 对各种经济指数进行宏观的分析。 首先将影 响数据的因数进行分类， 然后逐渐对各个因素进行分析， 采用最 小二乘法拟合找出其随时间变化的函数关系， 接着，对所需要预 测的问题进行综

18、合的预测，进而求解经济市场中的该类问题。七 参考文献1 姜启源等，数学模型，第三版，高等教育出版社2 刘卫国等， Matlab 程序设计与应用（第二版） ，北京：高等 教育出版社附录一用LINDO软件求解问题一：加工奶制品的生产计划的程序如下max 72x1+64x2st2)x1+x2503)12x1+8x24804)3x1100end附录二用LINDO软件求解问题二：奶制品的生产销售计划的程序如下max 24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6st4x1+3x2+4x5+3x6=6004x1+2x2+6x5+4x6=480x1+x5=100x3-0.8x5=0x4-0.75x6=0end