江苏省南京市届18高三数学考前综合训练题及答案.docx

1、江苏省南京市届18高三数学考前综合训练题及答案南京市2015届高三数学考前综合训练题一、填空题1数列an为等比数列，其前n项的乘积为Tn，若T2T8，则T10 【答案】1【提示】法一：由T2T8得a3a4a81，则(a3a8)31，a3a81从而T10a1a2a10(a1a10)5(a3a8)51；法二：(特殊化思想)，取an1，则T101【说明】本题考查等比数列的运算性质可一般化：an为正项等比数列，其前n项的乘积为Tn，若TmTn，则Tmn1；可类比：an为等差数列，其前n项的和为Sn，若SmSn，则Smn0(其中m，nN*，mn)2已知点P为圆C：x2y24x4y40上的动点，点P到某直

2、线l的最大距离为5若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB，切点为B，则AB的最小值是_【答案】 【提示】由P到直线l的最大距离为5，得圆心C到直线l的距离为3，从而直线l与圆C相离过A引圆C的切线长AB 【说明】点直线与圆的相关问题常转化为圆心与点直线问题3已知直线l：x2ym0上存在点M满足与两点A(2，0)，B(2，0)连线的斜率kMA与kMB之积为，则实数m的值是_ 【答案】4，4【提示】点M的轨迹为1(x2)把直线l：x2ym代入椭圆方程得，16y212my(3m212)0根据条件，上面方程有非零解，得0，解得4m4【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想

3、4已知数列an为正项等差数列，满足1(其中kN*且k2)，则ak的最小值为_【答案】【提示】因为an为正项等差数列，则ak()(5)(52)(当且仅当1，且，即a13，a2k16时取“”号)【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合5 以C为钝角的ABC中，BC3，12，当角A最大时，ABC面积为_【答案】3【提示】过A作ADBC，垂足为D，则|cosBBDBC3BD12，所以BD4，又BC3，所以CD1设ADy(y0)，则tanBAC，且仅当y，即y2时取“”，由正切函数的单调性知此时BAC也最大【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法基底法和坐标法中选择，本题

4、用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想6计算：4sin20tan20 【答案】【提示】原式4sin20【说明】切化弦向特殊角转化向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路7设是锐角，且cos()，则sin(2)的值为 【答案】【提示】因为是锐角，所以，因为cos()，所以sin()sin2()2sin()cos()，cos2()12sin2()sin(2)sin2()sin2()coscos2()sin【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间

5、的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角8等比数列an中，首项a12，公比q3，anan1am720(m，nN*，mn)，则mn 【答案】9【提示】因为an23n1，则anan1am3n1(3mn11)72032245，则，解得n3，m6，则mn9【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）9已知函数f (x)，若任意实数b，总存在实数x0，使得f (x0)b，则实数a的取值范围是 【答案】5a4【提示】“任意实数b，总存在实数x0，使得f (x0)b”等价于函数f (x)的值域为R在平面直角坐标系xOy中，分别作出函数yx4及yx22x的图像，观察图像

6、可知5a4【说明】本题要注意条件的等价转化一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展10已知函数f (x)ax33x21，若f (x)存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是 【答案】（，2）【提示】解法一：若a0，解得x，不合题意若a0，则f (1)a20，f (0)10，所以f (x)存在负的零点，不合题意若a0，则f (x)3ax(x)，可得f ()1为极小值，则满足10，解得a2或a2此时，取得a2综上，a的取值范围是（，2）解法二：f (x)0，即ax33x21，分离参数a，同样可得a2【说明】考查零

7、点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质11设函数f(x)lnx，（mR），若对任意ba0，1恒成立，则m的取值范围是 【答案】，）【提示】对任意的ba0，1恒成立，等价于f(b)bf(a)a恒成立函数h(x)f(x)xlnxx在(0，)是单调减函数，即h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x)2（x0）恒成立，解得：m所以m的取值范围是，） 【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程

8、的意识，体现数形结合思想 二、解答题1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知tanA设向量x(3a，cosA)，y(2c ，cosC)，且xy（1）若b，求c2a2的值；（2）求B的值解：（1）因为xy，所以3acosC2ccosA用余弦定理代入，化简可得：b25(c2a2)因为b，所以c2a21（2）因为3acosC2ccosA，由正弦定理得：3sinAcosC2sinCcosA，即3tanA2tanC因为tanA，所以tanC，从而tanBtan(AC)1因为B(0，)，所以B【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式能够根据题目的要求正确实现边角互化2三角形

9、ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S（1）若2S，求A的取值范围；（2）若tanAtanBtanC123，且c1，求b解：（1）由题意知，bccosA，SbcsinA，所以bccosAbcsinA，即cosAsinA，（或也可根据cosA的正负，转化为关于tanA的不等式）即sinAcosA0，2sin(A)0因为A为三角形内角，则A(，)，所以0A，从而A，)（2）设tanAm，tanB2m，tanC3m，由题意知，m0因为tanCtan(AB) ，则3m ，解得m1，则tanB2，tanC3，从而sinB，sinC，所以，则AC【说明】本题第（1）问考查数量积三角形面

10、积公式两角和差公式及简单的三角不等式第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A，B，C满足的一个恒等式(tanAtanBtanCtanAtanBtanC)还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37tan23tan37tan23等问题 3某高速公路收费站出口处依次有编号为12345的五个收费窗口（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少?（2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：排队车辆数012345概率0.10.160.30.30.10.04该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少?该收费窗口处至少

11、有3辆车排队等侯的概率是多少?解：（1）记事件A为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i，j，k)表示编号分别为i，j，k的三个收费窗口开放则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共10个基本事件；而事件A包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，共6个基本事件因此P(A)答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为（2）记事件Bi为“该收费窗口处有i辆车排队等侯”，其

12、中i0，1，2，3，4，5 则由题意知，上述6个事件为互斥事件记事件C为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”，事件D为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”则P(C)P(B0B1B2) P(B0)P(B1)P(B2)0.10.160.30.56，P(D)P(B3B4B5) P(B3)P(B4)P(B5)0.30.10.040.44（另解：由题意知事件C，D为对立事件，则P(D)P()1P(C)0.44）答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述4如图，四边形ABCD中，AB2，AD1，三角

13、形BCD为正三角形（1）当BAD时，设x y，求x，y的值； （2）设BAD，则当为多少时，四边形ABCD的面积S最大，并求出最大值解：（1）在ABD中，由于AB2，AD1，BAD，易得BD，ABD，ADB，ABC，ADC下面提供三种解法：法一：如图，过点C作CE/AD交AB于点E，在BCE中，BC，ABC，BEC，则CE2，BE1，则AE1，所以2，即法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图直角坐标系则D(，)，B(2，0)，C(2，)，则(2，)，(2，0)，从而(，)，则，解得法三：因为x2y4xy，又()24，则4xy4因为xy2xy，又()211cos，则xy 从而，解得（2）在ABD中，由余弦定理知，BD，则SABDsin，SBDCBD2(54cos)，则S sin cos2sin()，(0，)，所以Smax2，此时，即