初中数学习题课教学的研究.docx

1、初中数学习题课教学的研究初中数学习题课教学的研究杨竞 北京十二中初中二部 一、课型特征、目的习题课是初中数学学习的一种重要课型。习题课是新知课之后，教师有目的、有计划地指导学生运用已学过的知识解决一系列问题的教学活动。该课型应体现学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以使用，找出解决当前问题的方法，并加以比较，择优。其目的是巩固知识、学会解题，发展思维。（1）通过习题课可以使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识，逐步形成完善合理的认知结构。（2）习题课的目标之一是使学生学会解题，学生在解题中

2、容易出现审题入手难、解题遗漏多等问题，解题准确和否和解题习惯密切相关，如能给予学生一定的解题思维程序，对学生学习如何解题有一定帮助。习题课的教学是对所学过的、所解决的习题作一回顾和提高，不仅巩固使用所学知识，而且还应该是知识的升华和提高，更是方法的提炼和总结以及数学思想方法、思维能力的培养和训练，同时也要培养学生良好的解题习惯。（3）由于数学知识严密的逻辑性和高度的概括性，在例、习题中,还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里，也存在着可发掘的因素，而这些往往并不是学生们所能领会的。因此，就需要设计一些习题课，教师引导、点拨，学生进行观察、归纳、类比、抽象，学会解题，能够准确地判断、决策

3、并简洁严谨地表达，给学生以施展才华、发展思维，锻炼能力的机会。因此，上好习题课，对于总结归纳基本知识点和基本方法，提高学生分析和解决问题的能力具有决定性意义。二、习题课的分类根据教学时间段落的不同，我们就可以明确习题课的主题和类型了，习题课的一般类型有：单元习题课、章节习题课、总复习习题课。在一个单元章节结束时，针对本单元、本章节的学习过程，针对学生对知识理解的错误及运用知识解决问题时普遍存在的问题而设的带有提高性质的习题课。根据教学任务的不同，习题课的一般类型有：概念强化习题课、方法归纳习题课（专题习题课）、纠错习题课、试卷分析习题课等等。概念强化习题课：是在新概念、新规律建立时，为准确认识

4、新知识的内涵、条件、范围及基本运用方法而设的习题课，这种习题课不一定单独进行，可以是和讲授新课结合在一起，也可以单独讲授。方法归纳习题课（专题习题课）：是学完数学知识系统中占有重要地位的知识，或是对数学思维的形成及对今后的学习有着重大影响而难度又较大的知识后，为帮助学生提高认识及减轻学习困难、提高某些能力和方法的运用水平而设置的习题课。三、如何备好习题课（理念、目标、内容（选题）、教法）（一）备教师我们都知道，课堂上的主要对象有教师、学生和教学内容。而传统意义上的备课只是备教材，但是我觉得要想备好课、上好课，首先要备教师。什么是备教师？教师怎么自己备自己呢？从以下两点解释一下：更新、反思。更新

5、就是更新观念。传统的数学习题课通常采用“知识点的回顾典型例题讲解巩固练习归纳小结”的讲授型教学模式。这种习题课模式的优点是：体现了知识的系统性和框架结构、突出复习重点、题目练习容量大、密度高、节奏快、便于操作，达到教学目标用时较少。因此，长期以来广大教师乐于采用这种复习模式。但这种复习模式中，学生经常属于被动接受知识的地位，教师讲什么，学生就只能听什么，教师认为哪里需要重点讲，哪里需要突破难点就花大力气突破。但是它忽略了学生才是学习的主体的事实，导致在习题课中，学生缺乏学习的主动性、缺乏自主学习、合作研究的机会，缺乏及时有效的反馈，使习题课流于仅仅是知识点的简单罗列和大量的例题的呈现，使习题课

6、的功效大打折扣。要提高习题课的有效性，我们教师必须要更新观念。学生的地位和作用：新课标理念下的数学习题课一定要突出学生知识的意义建构。根据建构主义理论，学生的学习是学生主体基于已有的知识和经验由学生自己主动、积极建构的过程。 这种建构不可由他人替代，学习者不是被动的刺激接受者，而是信息加工的主体、是意义的主动建构者。教师的地位和作用：教师不应是知识的传授者和灌输者，而应作为学生自主探究、合作交流、反思提高的指导者和合作者。 教学过程：新课标理念下的数学习题课的教学过程，必须突出学生是学习的主体，关注学生的自主探索和思考，重视对学生思维、能力、发展性和创造性的培养，强调学生亲历体验并参和研究过程

7、，学生获得对知识理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展。 这些新的理念不仅武装了我们的头脑，更重要的是我们要把它落实在教学实践中。那么备教师的第二点是反思。 反思教学中的得和失，反思学生学习效果的成因等等。 这样的反思对备好和上好一节课习题课起到重要的作用。 举例：在有理数乘法的教学中，我们常会遇到这样的一道题目：。新课教学时教师引导学生思考如何运算简便，学生结合小学学习的经验可以想到将拆成两个数，如或者，经过两种方法的对比，就本题而言选用比较简便。那么为什么在作业中还是出现了错误呢？错例1： 错例2:发现都是符号写错了。 老师和学生都会分析错因，学生会按照老师的要求重新

8、做一下这道题，并许诺下次仔细检查。学生和教师分析对比：错误现象分析原因措施学生符号错误马虎这次重做一遍；许诺下次仔细检查教师符号错误运算步骤不当先确定符号，然后转化成学生在已经学会的知识解决学生经常在此出错，就应该引发教师进行反思：为什么错？和我的教学有什么关系？我怎样改变教学方法或者解题方法会对学生有帮助？解法对比：反思：对比两种解法，在新课的教学中可能更重视了对的分析，并且用-25去乘30和也没有错误；但是忽视了有理数运算的步骤，应该先确定符号，再计算绝对值。 并且方法2更符合学生的认知基础，他们在小学对这样的乘法运算做的比较好，我们应该加以利用。 经过认真反思，想出比较好的解决办法后进入

9、课堂进行教学，针对性和有效性一定会大大提高。（二）确定教学目标和新课一样，教师需要备教材、备学生。尤其是我们教师要清楚自己所教的学生的情况，他们哪里会了掌握的很好就不需要再重复，哪里不会或者已经发生了混淆的地方就是我们上课要解决的问题，某种重要方法运用的不够灵活，它就是我们要加强练习的。如此根据学生的具体情况而制定的教学目标可能和同备课组的其他老师不一样，但是它一定要适合您所教的学生的。习题课的目标就是要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些数学思想，形成什么技能，这些都要有明确的目标。举例：总复习之专题习题课-求代数式的值。在初三总复习的教学中制定教学目标

10、的依据比其他年级增加了测试说明。如：对求代数式的值的要求是：“能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值（C级）”，属于较高要求。我们来看几道近年的中考题和模拟试题：（2008北京）已知x-3y=0, 求的值。（2009北京）已知, 求的值。（2010铜仁）已知, 求的值。（2010模拟）已知，求的值。在初一和初二的教学中，没有达到这个要求，因此需要专题训练。“通过代数式的适当变形”就是对代数式进行化简，涉及的知识主要有整式运算、分式运算、二次根式的运算等，这些都是要求学生熟练掌握的，在本节课要加以巩固，因此教学目标定为：熟练进行整式运算、分式运算以及二

11、次根式的运算。“合理选用知识和方法”主要是代入求值的方法，有的题目是直接代入，有时题目是将条件或者等价条件整体代入求值，对于整体代入是解决一些问题的重要方法，是本节课的重点，但是学生对其不很熟悉，属于需要扩展的知识，因此教学目标定为：掌握用整体代入求代数式的值的方法，体验换元思想。如此，依据测试说明、根据学生的认知情况，对教材内容进行整合、加深和扩展是有依据的，保证教学的科学性和实效性。（三）精心选择题目著名数学家波利亚也曾说过“掌握数学就是意味着擅于解题”。 习题课作为一种重要的教学补偿手段，精选一些和教材内容相联系的习题展开分析和讨论，提高学生运用所学知识分析和解决较为复杂的具有灵活性和综

12、合性问题的能力。一节习题课的质量的高低很大程度上取决于教师对习题的选择。例题的安排要有非常强的示范性。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通解通法，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的数学思想，这样才能体现例题的典型性。教学过程中，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。 习题的配备要有阶梯性。习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新使用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级和级之间的“

13、缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心。当然适当安排综合提高型和创新使用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高。需要注意的是,习题课中不仅要求学生得到正确的计算结果,更要重视计算过程,注重思维训练,让学生有所“悟”。 习题的设计必须有一定的关联，比如，可以是同一个知识点的层层深化，也可以是一个知识点和不同知识在不同背景下的组合。关于变式练习和题组练习：我认为这两种练习的形式都非常好。伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。在习题课的教学中，如果我们灵活地改变题目的条件或结论，巧妙地把一个题

14、目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学生易于掌握使用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径，从而达到举一反三的目的。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能，培养学生创新能力。 对例题和习题的安排，数量要适中。不要搞题海战术，但巩固基本知识、方法和技能培养的必要的题目还是要有的，要让每个题目具有代表性、典型性、示范性，并注意体现方法和规律，这样才能达到举一反三、事半功倍之效。举例：初三的教学内容，直线和圆的位置关系，在新课之后发现学生面对切线的证明还是觉得比较困难。于是我设计

15、了一节习题课圆的切线的证明。下面我就这节课具体谈一下习题课的备课问题。首先是确定教学目标。圆的切线的证明是中考的一个重要考点，除了阅读研究新课标我还认真学习了2010年中考数学学科测试说明，测试说明对圆的切线的相关要求是一下几点，其中和本节课相关的是：B级要求“能判断直线和圆的位置关系”。 接着我分析了学生情况，对于圆的切线证明的两种主要方法：（1）已知圆心到直线的距离，利用d和r的关系进行判定（学生掌握较好）；（2）已知半径（联结半径），需要证明垂直关系进而使用定理进行判定（学生不能灵活运用）。 究其原因，主要是证明垂直关系时遇到困难。 基于以上分析，结合学生的认识基础，我确定了本节课的教学

16、目标是：【教学目标】1能灵活运用圆的切线的判定和性质解决相关的证明和计算；2在分析问题、解决问题的过程中探究解题的方法并逐步建立面对中考的自信心；3体会转化的数学思想。【教学重点】圆的切线的判定和性质的使用。【教学难点】灵活运用切线的判定和性质来分析问题和解决问题。接着便是例、习题的配备。课本例、习题均是经过专家多次筛选后的精品，教材丰富的内涵，是编拟中测试题的源泉。有的试题直接取自教材；有的试题是教材例题、习题的改变、延伸和拓展；有的试题是教材的几个题目、几种方法的组合。课本习题蕴含着无穷的魅力。所以，我建议老师们在题目的配备中，要优先考虑课本中例题和习题，或进行适当改编，编制一题多解、一题

17、多变、一题多用、多题一法的习题，提高学生灵活运用知识的能力。我经过大量的做题，发现课本（北京市义务教育课程改革实验教材第18册）中的一道习题和近年的中考题有着密切的关系，于是我决定将其选择为例题，然后根据其特点配备了3类题目。我们先一起看一下课本的的习题：（是这样的一道题）课本第18册圆下 P13。 B组 第4题 如图，在RtABC中，C=90，AD是BAC的平分线。以AB上一点O为圆心，AD为弦作O。 （1）求证：BC为O的切线； （2）若AC= 3，tan B=，求O的半径。 这道题对于学生来说是有一定的难度的，一方面证明圆的切线是某些学生的弱项，另一方面本题中的圆是未知的，需要学生作出。

18、于是引导学生根据题目中的已知条件“以AB上一点O为圆心，AD为弦作O”先要作出圆O。作AD的垂直平分线交AB于点O，然后以点O为圆心，OA的长为半径作圆得到满足题意的圆O。如何证明BC为O的切线呢？学生容易想到联结OD，只需证明ODBC。 垂直关系的证明是解决圆的切线的证明的关键，也是本节课的重点。 我们知道，结合题目中已知条件“C=90”，可以将问题接着转化为证明“3+ADC=90” 或者“ODAC” 。学生对于证明两角互余相对来说容易想到，由学生口述思路，然后全班总结得出证明垂直的一种有效的方法是证明“两角的互余关系”。然后请学生独立练习，本题是巩固刚才的方法。 课本的这道习题还有另外的证

19、明方法，就是“ODAC”。 学生不易想到，于是我引导他们一起回顾初二的一道习题：课本第15册等腰三角形 P110。A组 第4题已知：如图，在ABC中，1=2，DEBA。求证：ADE为等腰三角形。学生解决这个问题会比较顺利。变式1：已知：如图，在ABC中，1=2，AE=DE。求证： DEBA。变式2：已知：如图，在ABC中，AE=DE，DEBA。求证：1=2。这个图形在三角形和四边形的学习中是常见的基本图形。学生对这个图形和结论都比较熟悉。在复习了基本图形后，学生从复杂图形中分离出基本图形就能解决这个问题了。或者从条件看有等腰三角形、有角平分线那么可能会出现平行线。如果这个图形和圆进行组合，那么

20、等腰三角形可能会变成隐含条件，在圆中，两条半径就是等腰三角形的两腰。前面已经对课本的一道习题进行了一题多解，培养了学生的分析能力和发散思维。下面是这道题的不同变式（选用的是今年的中考题和模拟试题，以加强针对性，同时有助于学生建立迎考信心），通过多题一解培养学生的识图能力和分析问题、解决问题的能力。1(2008年宣武二模试题)如图，已知点O为RtABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆和BC相切于点D，和AB相交于点E，和AC相交于点F试判断AD是否平分BAC并说明理由 本题和课本题目的区别是题设和结论互换了，证明难度不大。2(2009年丰台二模试题)如图，ABC中，AB10，BC8，A

21、C6，AD是BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作O(1)求证：BC是O的切线；(2)求O的半径我们看一下本题和课本题目的联系，本题中直接给出圆，但是需要通过勾股定理的逆定理来判定“C=90”。 也就是说，证明了“C=90”就转化成已经解决的课本习题了。3(海淀二模)如图AB是O的直径，CB是O的弦，D是的中点，过点D作直线和BC垂直，交BC延长线于E点，且交BA的延长线于F点(1)求证：EF是O的切线；(2)若tanB，BE6，求O的半径分析：本题中由于“E=90”，只需证明ODBE。 已知中的“D是的中点”可知弧AD等于弧CD，因此所对的圆周角1=2，再由半径相等推出1=3，所

22、以3=2，故ODBE。 本题还有其他证明方法，上课时要给予正确的评价。4 (东城二模)如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线的一点，AECD交DC的延长线于E，CFAB于F，且CECF(1)求证：DE是O的切线；(2)若AB6，BD3，求AE和BC的长分析：根据已知条件“AECD，CFAB，且CECF”利用角平分线性质定理的逆定理可得AC平分EAB。后面易证。学生通过多题一解的变式练习已经能够解决此类型的问题，可能会信心大增，同时会觉得这么简单啊，图形都是一样的，那么就换点不一样的看看。如：5(2009年顺义二模)已知：如图，ABC中，AC=BC，CDAC交AB于点D，点

23、O在BC上，O经过B、D两点，且和BC交于点E(1)试判断CD和O的位置关系，并加以证明；(2)若AC=16, , 求O的半径分析：在联结OD之后发现如果ODAC，那么ODCD。 而ODAC通过角的关系容易得到。 再比如2010年海淀一模的第20题，虽然图形不同但是证明的整体思路是一致的。 最后我安排了两道反馈检测题，分别是08和09年北京市的中考题。为什么选择这两道题呢？一方面是考察学生的掌握情况，另一方面是让学生感受中考题不可怕，是有方法可循的。08年的题是第一种方法（互余）的使用，09年的题是第二种方法（平行）的使用。由此可见，教材上的例习题很重要，我们不应“丢了西瓜去捡芝麻”，忽视教材

24、上的习题去搞大量的课外习题。 即使我们老师在题海中畅游，也是要有方向的，这个方向便是课程标准和教材，这样才能取得良好的预期效果。总结：教师在教学中有目的、有计划地精心编制习题，可避免低水平的重复，使学生拓宽学习领域，也可使每个学生都在原有的基础上得到发展，让学生获得成功的体验以及学好数学的信心，能收到良好的教学效果，从而提高课堂教学效率。（四）教学方法习题课的教学方法没有固定的要求，要根据学情和教学目标、内容而定。 但是单一的传授式或者就题教题都会使使 学生产生对数学的厌烦情绪，更不用说提高学生的思维能力了。因此，在习题课中，要让学生自练、自悟、自得，教师只是不失时机的点评才是上策。要让学生自

25、悟出数学规律、数学思想方法，自得出解题技能。要实现上述目标，要灵活选择师生互动性强、学生参和度高的教学方法。四、如何上好习题课在精心准备好一节课后，课堂教学是关键。我们知道课堂的主人是学生，现代教育观评价一节课的好坏不光是看教师教的怎么样，更关注学生学会了什么，会学了什么。因此教学更应该以学生为本，注重以下的四个原则。（一）主体性原则习题课教学过程要充分体现学生为主体，教师为主导的思想。教师要精讲。“精讲”不等于讲得越少越好，教师的讲要讲到点子上，要充分展现解题的思路、方法和规律，要解惑、释疑，疏导学生在思考、解决问题中碰到的疑难，要讲清解题的规范要求。教材已经详尽叙述的简单运算过程，教师可以

26、略讲甚至不讲，让学生看书或自行解决。这就要求教师在备课前及时了解学生学习中遇到的难点及疑点内容，有时还需要主动发现问题，这样才能在上课时有的放矢，讲解更能击中要害，学生能会的就不要讲，学生能代老师讲的尽量让学生讲。学生要精练。有诀窍说“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的。学生除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，暴露思维受阻的原因，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。使学生在不断克服困难中学会解题以培养学生自主学习的能力。 举例：纠错习题课纠错习题课的模式可以选用：传统的纠错方法是教师将错例在

27、黑板上抄写下来或者印发试卷，然后教师再一一指明错在哪里，怎么错的，今后如何注意等问题。是一种主观的教学，缺少学生的参和就缺少了思想性，更谈不上思维的碰撞。现在利用现代信息技术展示错例的方式更加多样化也更加便捷了。如，用实物投影展示，或者将错题用照相机拍摄下来展示照片。利用照片的优势是信息量大，同时照片上没有学生的姓名信息，更好地保护了学生的自尊心。展示错例，由学生指出是哪里出错了、分析错因，最好提出自己的解决办法，然后独立完成教师事先准备好的和之配套的题目进行练习。之后第二轮展示，可以用投影的方法展示学生练习的过程和结果，可以是教师选择有代表性的练习进行展示，也可以由学生毛遂自荐进行展示，还可

28、以是本小组推荐某名同学进行展示，当然在全班范围内用邀请和被邀请的方式展示效果也不错，这些展示方法经常轮换使用，不仅可以让学生觉得课堂学习的形式常变常新，更重要的是可以促进学生认真地听讲、善于发现问题以及严谨书写，从而提高了学习效率。最后，引导学生反思小结，提出自己的解题策略，形成方法，提高解题能力和解决问题的能力。“学案导学”教学模式，学案导学是学生根据教师提供的预习题先预习，在学生预习的基础上生和生、师和生再进行交流讨论的一种教学模式。我听过一位老师的习题课，是关于一元一次方程单元概念的复习习题课。这位老师用的也是学案导学，同时她将教师设计学案，变为给定范围、明确目标有学生自己制定学案，更加

29、充分地调动了学生的积极性和主动性。具体做法是：老师在平时的教学中，要求每位学生将错题整理在一个本子上，成为错题集，在一元一次方程的解法之后，教师组织学生对所学知识进行整理，将平时易错的题目分类整理。范围：代数式、整式根据所给代数式解释代数式的实际意义指出整式的系数、次数、项数根据同类项的意义求单项式的指数中字母的取值；合并同类项化简求值等式和方程给几个方程，判断哪些是一元一次方程；所给方程是一元一次方程，求未知数指数中字母的取值。 验证一个数是不是所给方程的解；说明所给数是方程的解，求方程中所给字母的值。学生根据自己和自己小组中同学经常出错的题目进行分析，找出错误原因，并提出合理的建议。在课上

30、，教师展示知识结构图后，请学生代表充当小老师的角色，将知识分成4块进行讲解，学生提出问题，不同小组的学生进行解答，当学生之间的意见发生分歧时，教师给予建议，学生继续讨论，最后教师进行点拨和点评。然后教师出示一组“过关检测”来检测反馈学生的掌握情况。当学生的准备没有达到本节课教师预想的水平时，教师在学生讲述之后补充例题，引导学生进行分析，解决问题。这样的一节课，学生是课堂的主人，教师是合作者和引领者，既保证了基础知识的落实，又使学生学会了如何解题，更重要的学生会学习了。（二）启发性原则贯彻这一原则要做到以下三点：1提出具有启发性的问题。提出和学生认识上产生矛盾的问题，形成一条由问题（或问题组）构

31、成的教学主线，使学生进入有意义自主学习的心理过程。提出和学生认识上产生矛盾的问题，促使学生出现认知的需要，即产生浓厚的兴趣。这时学生注意力集中，情绪饱满，想象横生，我们可以把这种状态称为“教学的最佳心理状态”或“智慧发展的最佳状态”。教学中促进发展的最佳水平，就是在“教学的最佳心理状态”里实现的。举例：概念强化习题课四边形习题课教师通过作业等反馈信息了解到学生对四边形这一章繁多的概念发生了混淆，没有形成知识体系。因此，在习题课上，针对这些问题回顾概念形成的过程，通过变式设问来加深对概念的理解。针对学生概念模糊预先设计如下“问题链”：顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是什么图形？用来巩固三角形中位线的定义、定理以及平行四边形的判定等知识。如果把“顺次连结任意四边形各边中点所得四边形”定义为这个四边形的“中点四边形”，试分别说出平形四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的中点四边形是什么图形。以等