0007算法笔记分治法最接近点对问题.docx

1、0007算法笔记分治法最接近点对问题问题场景：在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体.在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息.例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待,则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点,使得在n个点的所有点对中,该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对. 1、一维最接近点对问题算法思路： 这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n1

2、个点的距离算出，找出达到最小距离的两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n2）的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到,该问题的计算时间下界为（nlogn）。这个下界引导我们去找问题的一个(nlogn）算法.采用分治法思想，考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2,每个子集中约有n/2个点，然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对.如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决.但是，如果这2个点

3、分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对.因此,依此思路，合并步骤耗时为O(n2)。整个算法所需计算时间T（n)应满足:T（n）=2T(n/2)+O（n2）。它的解为T(n）=O(n2），即与合并步骤的耗时同阶,这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法,我们看到问题出在合并步骤耗时太多.这启发我们把注意力放在合并步骤上。 设S中的n个点为x轴上的n个实数x1，x2，。,xn.最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2，。.,xn排好序，然后,用一次线性扫描就

4、可以找出最接近点对.这种方法主要计算时间花在排序上,在排序算法已经证明,时间复杂度为O（nlogn）。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形.假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2，使得S1=xSxm；S2=xS|xm.这样一来,对于所有pS1和qS2有pq.递归地在S1和S2上找出其最接近点对p1,p2和q1,q2,并设d=minp1p2|，|q1-q2,S中的最接近点对或者是p1，p2，或者是q1,q2，或者是某个p3,q3，其中p3S1且q3S2。如图所示。 如果S的最接近点对是p3,q3，即p

5、3q3d，则p3和q3两者与m的距离不超过d,即p3mm.然而，这样选取分割点m，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最坏情况下,S1=1，|S2|=n1，由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n）应满足递归方程: T(n）=T（n1)+O（n） 它的解是T（n)=O(n2）。这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。即通过适当选择分割点m，使S1和S2中有大致相等个数的点。自然地，我们会想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点.在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n）时间内确定一个平衡的分割点m. 本程序确定平衡点采用m=max

6、(S）+min（S)/2方法.如果需要利用中位数作分割点，看结合笔者博文0005算法笔记线性时间选择改写。 一维最接近临近点对问题程序清单如下：cppview plaincopy1./2d101一维最邻近点对问题2.#includestdafx。h”3.#includectime4.#includeiostream5.usingnamespacestd;6.7.constintL=100；8./点对结构体9.structPair10.11.floatd;/点对距离12.floatd1,d2；/点对坐标13.；14.floatRandom（);15.intinput（floats)；/构造S16

7、.floatMax（floats，intp,intq);17.floatMin（floats,intp，intq）；18.templateclassType19.voidSwap(Typex，Type&y);20.templateclassType21.intPartition（Types，Typex，intl，intr）;22.PairCpair（floats，intl，intr）;23.24.intmain（）25.26.srand（unsigned）time(NULL）；27.intm；28.floatsL;29.Paird;30.m=input(s）；31.d=Cpair（s，0,m1

8、)；32.coutendl”最近点对坐标为：（d1：”d.d1”，d2：”d.d2”);33.coutendl这两点距离为：d。dendl；34.return0;35.36.37.38.floatRandom()39.40.floatresult=rand()%10000;41.returnresult0。01；42.43.44.intinput（floats)45.46.intlength；47.cout”输入点的数目:”；48.cinlength；49.cout点集在X轴上坐标为：;50.for(inti=0；ilength；i+）51.52.si=Random（）；53.coutsi”；

9、54.55.56.returnlength;57.58.59.60.floatMax(floats,intl，intr)/返回s中的最大值61.62.floats_max=sl；63.for（inti=l+1;i=r；i+）64.if(s_maxsi)65.s_max=si；66.returns_max;67.68.69.floatMin(floats,intl，intr）/返回s中的最小值70.71.floats_min=sl；72.for(inti=l+1；i=r;i+)73.if（s_minsi）74.s_min=si；75.returns_min;76.77.78.templatecl

10、assType79.voidSwap(Type&x,Typey）80.81.Typetemp=x；82.x=y；83.y=temp;84.85.86.templateclassType87.intPartition（Types，Typex，intl，intr）88.89.inti=l-1，j=r+1;90.91.while（true)92.93.while（s+ixix)；95.if(i=j）96.97.break；98.99.Swap（si，sj)；100.101.returnj；102.103.104./返回s中的具有最近距离的点对及其距离105.PairCpair（floats，intl

11、，intr）106.107.Pairmin_d=99999,0，0;/最短距离108.109.if（rl1)returnmin_d；110.floatm1=Max（s，l,r),m2=Min（s,l，r)；111.112.floatm=(m1+m2）/2；/找出点集中的中位数113.114./将点集中的各元素按与m的大小关系分组115.intj=Partition（s,m,l,r);116.117.Paird1=Cpair（s，l,j），d2=Cpair(s，j+1,r)；/递归118.floatp=Max（s,l，j），q=Min(s,j+1，r）;119.120./返回s中的具有最近距离的

12、点对及其距离121.if（d1。dd2.d）122.123.if(（q-p）d1。d）124.125.min_d。d=（q-p);126.min_d。d1=q;127.min_d。d2=p;128.returnmin_d；129.130.elsereturnd1;131.132.else133.134.if（(q-p）d2。d）135.136.min_d。d=（qp）;137.min_d.d1=q；138.min_d。d2=p;139.returnmin_d；140.141.elsereturnd2;142.143.程序运行结果如下: 该算法的分割步骤和合并步骤总共耗时O（n）。因此，算法耗费

13、的计算时间T(n）满足递归方程： 解此递归方程可得T(n）=O(nlogn). 2、二维最接近点对问题 将以上过程推广到二维最接近点对问题,设S中的点为平面上的点，它们都有2个坐标值x和y。为了将平面上点集S线性分割为大小大致相等的2个子集S1和S2,我们选取一垂直线l：x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1=pS|pxm和S2=pSpxm.从而使S1和S2分别位于直线l的左侧和右侧，且S=S1S2.由于m是S中各点x坐标值的中位数,因此S1和S2中的点数大致相等。递归地在S1和S2上解最接近点对问题，我们分别得到S1和S2中的最小距离d1和d2.现设d=mi

14、n（d1，d2).若S的最接近点对(p，q)之间的距离d（p，q）d则p和q必分属于S1和S2。不妨设pS1,qS2.那么p和q距直线l的距离均小于d。因此，我们若用P1和P2分别表示直线l的左边和右边的宽为d的2个垂直长条,则pS1，qS2，如图所示: 距直线l的距离小于d的所有点 在一维的情形,距分割点距离为d的2个区间（md,m（m,m+d中最多各有S中一个点。因而这2点成为唯一的末检查过的最接近点对候选者。二维的情形则要复杂些,此时，P1中所有点与P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏情况下有n2/4对这样的候选者。但是P1和P2中的点具有以下的稀疏性质，它使我们不必检查

15、所有这n2/4对候选者.考虑P1中任意一点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有d（p,q)d.满足这个条件的P2中的点有多少个呢?容易看出这样的点一定落在一个d2d的矩形R中,如下图所示：包含点q的dX2d矩形R 由d的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上,我们可以将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分,由此导出6个(d/2）（2d/3)的矩形。如左图所示:矩阵R中点的稀疏性 若矩形R中有多于6个S中的点,则由鸽舍原理易知至少有一个2的小矩形中有2个以上S中的点。设u，v是这样2个点,它们位于同一小矩形中

16、，则：因此d（u,v)5d/6d .这与d的意义相矛盾.也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。图4（b)是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6n/2=3n对候选者，而不是n2/4对候选者。这是否就意味着我们可以在O(n)时间内完成分治法的合并步骤呢？现在还不能作出这个结论,因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点,但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起

17、构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中,所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知,这种投影点最多只有6个。因此,若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序，则对P1中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者,对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点.程序清单如下:cppview plaincopy1./2d102二维最邻近点对问题2.includestdafx。h3.includetime.h4.includeiostream5.#includecmath6.7.usingnamespacestd;8.constint

18、M=50；9.10./用类PointX和PointY表示依x坐标和y坐标排好序的点11.classPointX12.public:13.intoperator=（PointXa）const14.return（x=a。x);15.intID；/点编号16.floatx，y；/点坐标17.；18.19.classPointY20.public：21.intoperator=（PointYa）const22.return（y=a.y）；23.intp；/同一点在数组x中的坐标24.floatx,y;/点坐标25.；26.27.floatRandom(）；28.template35.voidCopy（

19、Typea,Typeb，intleft，intright)；36.37.templateclassType38.voidMerge（Typec，Typed，intl,intm，intr）；39.40.templateclassType41.voidMergeSort(Typea，Typeb,intleft,intright）；42.43.intmain()44.45.srand（unsigned)time（NULL)）;46.intlength；47.48.cout请输入点对数:”；49.cinlength;50.51.PointXXM；52.cout”随机生成的二维点对为：endl；53.5

20、4.for(inti=0；ilength；i+）55.56.Xi。ID=i；57.Xi.x=Random(）；58.Xi.y=Random（)；59.cout”（Xi。x”，”Xi.y”）;60.61.62.PointXa；63.PointXb;64.floatd；65.66.Cpair2（X，length，a，b,d）;67.68.coutendl；69.cout”最邻近点对为：（”a。x,”a.y”）和（”b。x,”b.y）”endl；70.cout”最邻近距离为：”dendl；71.72.return0；73.74.75.floatRandom（）76.77.floatresult=ra

21、nd()%10000；78.returnresult0。01；79.80.81./平面上任意两点u和v之间的距离可计算如下82.templateclassType83.inlinefloatdis（constType&u,constTypev）84.85.floatdx=u。xv.x；86.floatdy=u。yv。y;87.returnsqrt（dx*dx+dydy)；88.89.90.boolCpair2（PointXX,intn，PointXa,PointX&b，float&d）91.92.if(n2)returnfalse;93.94.PointXtmpX=newPointXn;95.MergeSort（X,tmpX,0,n-1）;96.97.PointYY=newPointYn;98.for（inti=0；in；i+)/将数组X中的点复制到数组Y中99.100.Yi。p=i;101.Yi.x=Xi.x；102.Yi。y=Xi.y；103.104.105.PointY*tmpY=newPointYn;106.MergeSort(Y,tmpY，0，n1）;107.108.PointY*Z=newPointYn;109.closest(X,Y，Z,0,n-1，a,b，d）;110.111.deleteY；112.deleteZ;113.deletetmpX；114.del