三角函数大全.docx

1、三角函数大全三角函数大全 作者： 日期： 三角函数大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。公式分类 三角关系 一个特殊公式 坡度公式 锐角三角函数 一般公式 二倍角公式 三倍角公式 三倍角公式 半角公式 万能公式 其他 四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式 八倍角公式 九倍角公式 十倍角公式 N倍角公式 半角公式 两角和公式 三角和公式

2、和差化积 积化和差 双曲函数诱导公式 万能公式 其它公式内容规律 一些重要的定理 正弦定理 余弦定理展开公式分类 三角关系 一个特殊公式 坡度公式 锐角三角函数 一般公式 二倍角公式 三倍角公式 三倍角公式 半角公式 万能公式 其他 四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式 八倍角公式 九倍角公式 十倍角公式 N倍角公式 半角公式 两角和公式 三角和公式 和差化积 积化和差 双曲函数诱导公式 万能公式 其它公式内容规律 一些重要的定理 正弦定理 余弦定理展开编辑本段公式分类三角关系倒数关系：tan cot=1sin csc=1cossec=1商的关系：sin/cos=tan=sec/cs

3、c平方关系： 一个特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）1坡度公式我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.锐角三角函数正弦：sin=的对边/ 的斜边余弦：cos=的邻边/的斜边正切：tan=的对边/的邻边余切

4、：cot=的邻边/的对边一般公式sin30=二分之一sin45=二分之根号二sin60=二分之根号三cos30=二分之根号三cos45=二分之根号二cos60=二分之一tan30=三分之根号三tan45=1tan60=根号三2二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦正切tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A）三倍角公式三倍角公式sin3=4sinsin（/3+）sin（/3-）cos3=4coscos（/3+）cos（/3-）tan3a = tan a tan（/3+a） tan（/3-a)三倍角公式推导sin（3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina

5、=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60-a)/2*2sin（60-a)/2cos（60+a)/2=4sinasin（60+a)sin（60-a)cos3a=4cos

6、3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30）(cosa+cos30）=4cosa*2cos(a+30）/2cos(a-30）/2*-2sin(a+30）/2sin(a-30）/2=-4cosasin(a+30）sin(a-30）=-4cosasin90-（60-a)sin-90+（60+a)=-4cosacos（60-a)-cos（60+a)=4cosacos（60-a)cos（60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan（60-a)tan（60+a)现列出公式如下：sin2=2sincos tan2=2ta

7、n/（1-tan2（） cos2=cos2（）-sin2（）=2cos2（）-1=1-2sin2（）可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3=3sin-4sin3 =4sinsin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos=4coscos（/3+）cos（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a tan（/3+a） tan（/3-a)半角公式sin2（/2）=（1-cos）/2 cos2（/2）=（1+cos）/2 tan2（/2）=（1-cos）/（1+cos） ta

8、n（/2）=sin/（1+cos）=（1-cos）/sin万能公式sin=2tan（/2）/1+tan2（/2） cos=1-tan2（/2）/1+tan2（/2） tan=2tan（/2）/1-tan2（/2）其他sin+sin（+2/n)+sin（+2*2/n)+sin（+2*3/n)+sin+2*(n-1）/n=0 cos+cos（+2/n)+cos（+2*2/n)+cos（+2*3/n)+cos+2*(n-1）/n=0 以及 sin2（）+sin2（-2/3）+sin2（+2/3）=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=

9、-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1） cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4） tan4A=（4*tanA-4*tanA3）/（1-6*tanA2+tanA4）五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2） cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+

10、1） tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角公式sin7A=-(sinA*（56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1） cos8A=1+（160*cosA

11、4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2） tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8）九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3） cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3） tan9A=tanA*（9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*

12、tanA6+9*tanA8）十倍角公式sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4） cos10A = (-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1） tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N倍角公式根据棣美弗定理，（cos+ i sin）n

13、= cos(n）+ i sin(n） 为方便描述，令sin=s，cos=c 考虑n为正整数的情形：cos(n）+ i sin(n） = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n- 4）*(i s)4 + . +C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . =；比较两边的实部与虚部 实部：cos(n）=C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n-4）*(i s)4 + . i*虚部

14、：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . 对所有的自然数n：cos(n）：公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cos）表示。sin(n）：当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sin）表示。当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cos）的一次方无法消掉。例. c3=c*c2=c*（1-s2

15、），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）半角公式tan(A/2）=（1-cosA)/sinA=sinA/（1+cosA)sin2(A/2）=1-cos(A)/2cos2(A/2）=1+cos(A)/2半角公式两角和公式两角和公式cos（+）=coscos-sinsincos（-）=coscos+sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos -cossintan（+）=(tan+tan）/（1-tantan）tan（-）=(tan-tan）/（1+tantan）cot(A+B) = (cotAcotB-1）/(cotB+cotA)cot(A-B) = (c

16、otAcotB+1）/(cotB-cotA)三角和公式sin（+）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos（+）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan（+）=(tan+tan+tan-tantantan）/（1-tantan-tantan-tantan）和差化积sin+sin =2sin（+）/2 cos（-）/2 和差化积公式sin-sin=2cos（+3）/2 sin（-）/2cos+cos=2cos（+）/2cos（-）/2cos-cos= -2sin（+）/2sin（-）/2tanA+tanB

17、=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B）（1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B）（1+tanAtanB)积化和差sinsin=-cos（+）-cos（-） /2coscos=cos（+）+cos（-）/2sincos=sin（+）+sin（-）/2cossin=sin（+）-sin（-）/2双曲函数sh a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan

18、（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2-）= -sincos（2-）=

19、costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -coscos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan（以上kZ)Asin（t+）+ Bsin（t+）

20、 =(A+2ABcos（-） sint + arcsin (Asin+Bsin） / A2 +B2 +2ABcos（-）表示根号，包括中的内容编辑本段诱导公式三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式二：sin(/2-) = coscos(/2-) = sin公式三：sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin公式四：sin(-) = sincos(-) = -cos公式五：sin(+) = -sincos(+) = -cos公式六：tanA= sinA/cosAtan（/2+）=cottan（/2）=cot

21、tan（）=tantan（+）=tan诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式万能公式sin=2tan（/2）/1+(tan（/2）2cos=1-(tan（/2）2/1+(tan（/2）2tan=2tan（/2）/1-(tan（/2）2其它公式三角函数其它公式（sin）2+(cos）2=1（平方和公式）1+(tan）2=(sec）21+(cot）2=(csc）2证明下面两式，只需将一式，左右同除（sin）2，第二个除（cos）2即可对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=-Ctan(A+B)=tan（

22、-C)（tanA+tanB)/（1-tanAtanB)=(tan-tanC)/（1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证，当x+y+z=n（nZ）时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1cot(A/2）+cot(B/2）+cot(C/2）=cot(A/2）cot(B/2）cot(C/2）（cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBc

23、osC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)（seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2幂级数展开式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1）(k-1）*(x（2k-1）/（2k-1）！+ x Rcos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1）k*(x（2k)/（2k)!+ x Rarcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/（2*4）*x5/5 + （|x|1）arccos x = - (x + 1/2*x3/3 + 1*3/（2*4）*x5/5 + ） (|x|1）arctan x = x -

24、x3/3 + x5/5 - (x1）无限公式sinx=x（1-x2/2）（1-x2/42）（1-x2/92）cosx=（1-4x2/2）（1-4x2/92）（1-4x2/252）tanx=8x1/（2-4x2）+1/（92-4x2）+1/（252-4x2）+secx=41/（2-4x2）-1/（92-4x2）+1/（252-4x2）-+（sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8（1/4）tan/4+（1/8）tan/8+（1/16）tan/16+=1/arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1）和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+sinn

25、x=sin(nx/2）sin(n+1）x/2）/sin(x/2）cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1）x/2）sin(nx/2）/sin(x/2）tan(n+1）x/2）=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin（2n-1）x=(sinnx)2/sinxcosx+cos3x+cos5x+cos（2n-1）x=sin（2nx)/（2sinx)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的

26、内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据右图，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB使OB与OD重合，形成新AOD。A(cos，sin），B(cos，sin），A(cos（-），sin（-）OA=OA=OB=OD=1,D（1,0)cos（-）-12+sin（-）2=(cos-cos）2+(sin-sin）2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函