计算方法实验指导书.docx

1、计算方法实验指导书计算方法实验指导书“计算方法”课程的任务有两个：其一，掌握以计算机为计算工具的各类数值计算方法及与此相关的理论；其二，利用学到的计算机编程语言，将各类数值计算方法，编写计算程序、上机调试通过。因此，本课程不仅具有数学的抽象性与严格性，还具有与计算机密切结合的实用性。“计算方法”课程的上机实习，是实现上述课程教学目的的重要手段。是将学到的计算机编程语言，结合具体任务，进行实践的必要过程。是学生计算机能力培养的一个重要环节。按照课程教学要求，本课程的总学时为：48学时，其中理论教学为28学时，实验教学学时为20学时。20学时的上机实习中，设计有8个实习内容，每个内容的学时安排如下

2、：实验1：舍入误差与数值稳定性 验证性 （2学时）实验2：方程求根1二分法 综合性 （2-4学时）实验3：方程求根2牛顿迭代法 综合性 （2-4学时）实验4：线性方程组数值解法 设计性 （4-6学时）实验5：插值法 设计性 （2学时）实验6：曲线拟和 综合性 （4-6学时）实验7：数值积分 设计性 （2学时）实验8：常微分方程的数值解法 设计性 （2学时）序号项目名称实验课时内容提要教学要求（了解观察、熟悉、掌握、熟练掌握及运用等）实验类别实验方式适用专业备注1舍入误差与数值稳定性2录入、编辑、调试程序，熟悉C语言；通过不同算法的选用，了解舍入误差与数值的稳定性。熟悉C语言程序设计及上机操作；

3、了解舍入误差所引起的数值不稳定性。验证性教师指导，学生独立完成测控技术与仪器必修2方程求根1（二分法）2-4学生根据给定的要求，编写二分法程序，并调试通过；通过实验输入不同的参数，了解该方法的特点。完成实习报告。掌握方程求根的二分法的算法；熟悉二分法的特点。综合性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器必修3方程求根2（牛顿迭代法）2-4学生根据给定的要求和牛顿迭代法的算法，编写牛顿迭代法程序，并调试通过；通过实验输入不同的参数了解牛顿迭代法的特点。完成实习报告。掌握方程求根的牛顿迭代法的算法；熟悉牛顿迭代法的特点。综合性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器

4、必修4线性方程组数值解法（列主元高斯消去法）4-6熟悉掌握列主元高斯消去法算法；学生根据给定的要求编写列主元高斯消去法程序，并调试通过；编程能力强的在完成上面任务的基础上，还可以选做本章其他方法。熟悉列主元高斯消元法解线性方程组的算法；掌握二维数组、函数、输入输出语句的使用；掌握列主元高斯消去法的编程。设计性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器必修5插值法（拉格朗日插值法）2熟悉拉格朗日插值多项式；学生编写、录入程序，并调试通过；通过实验了解该方法的特点。掌握拉格朗日插值多项式，注意其特点。设计性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器选修6曲线拟合（最小二

5、乘法）4-6熟悉最小二乘法的算法；编写最小二法进行曲线拟合的程序，并调试通过；用程序解决实际问题。完成实习报告。了解最小二乘法的基本原理；熟悉最小二乘算法；掌握最小二乘进行曲线拟合的编程；通过程序解决实际问题。综合性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器必修7数值积分（龙贝格算法）2熟悉龙贝格求积的算法；自编或录入龙贝格求积程序，并调试通过，体会该程序的巧妙处；掌握龙贝格求积的算法；掌握该算法的编程，了解该程序的巧妙设计处。设计性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器选修8常微分方程的数值解法（改进欧拉方法）2熟悉改进欧拉方法；自编或录入改进欧拉程序，并调试

6、通过；有能力的还可完成龙格-库塔程序。掌握改进欧拉算法；掌握改进欧拉算法的编程。设计性根据实验指导书要求，学生独立完成，教师解惑测控技术与仪器选修实验报告的要求：（实验项目，例：）实验一 舍入误差与数值稳定性班级： 学号： 姓名： 一、目的和要求二、实习内容三、算法四、实验步骤五、实验结果六、分析和讨论七、心得（*可选）调试过程中遇到的问题和解决对策；经验体会等。实验一 舍入误差与数值稳定性目的与要求：1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令和方法；2）通过上机运算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性和大数吃小数的情况。实验内容：1）数值稳定与不稳定的计算公式2）实验习题一的

7、第1小题。（大数吃小数的问题）思考：1） 什么是数值稳定与不稳定的计算公式？2） 习题一的第1小题：怎样是正确的？其他（略）（见课本P185-187）实验二 方程求根1二分法目的与要求：1）通过对二分法的编程练习，掌握方程求根的二分法的算法；2）通过对二分法的上机运算，进一步体会二分法的特点。算法：1）准备：计算f(x)在有根区间a, b端点处的值 f(a), f(b)。2）二分：计算f(x)在区间中点c=处的函数值f(c)。3）判断 若f(c)与f(a)异号，则根位于区间a, c内，以c代替b； 若f(c)与f(a)同号，则根位于区间c, b内，以c代替a；反复执行步2和步3，直到区间a,

8、b长度缩小到允许误差范围之内或f(c)=0，此时区间中点c即可作为所求的根。实验内容：1）二分法的编程实现。2）进行有根区间和误差限的比较和讨论。编程要求：1）根的容许误差限EPS用输入语句输入。2）根的区间a,b要求用输入语句输入。3）输入初始值后，在调用二分法函数之前，先估算二分次数并输出。4）二分法要写成函数形式：如函数float Bisection(float a, float b,float EPS) (*)实验步骤：1）完成二分法的程序设计及录入；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；4）对比估算次数与实际二分次数；5）输入不同的区间初值

9、a, b，查看二分次数的变化；6）输入不同的误差限，查看二分次数的变化；7）完成实验报告。（实验报告的编写见下一页）实验报告 方程求根二分法班级： 学号： 姓名： 一、目的和要求1）通过对二分法的编程练习，掌握方程求根的二分法的算法；2）通过对二分法的上机运算，进一步体会二分法的特点。二、实习内容1）二分法的编程实现。2）进行有根区间和误差限的比较和讨论。三、算法流程图：1）准备：计算f(x)在有根区间a, b端点处的值 f(a), f(b)。2）二分：计算f(x)在区间中点c=处的函数值f(c)。3）判断 若f(c)与f(a)异号，则根位于区间a, c内，以c代替b； 若f(c)与f(a)同

10、号，则根位于区间c, b内，以c代替a；反复执行步2和步3，直到区间a, b长度缩小到允许误差范围之内或f(c)=0，此时区间中点c即可作为所求的根。四、实验步骤1）完成二分法的程序设计及录入；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；4）对比估算次数与实际二分次数；5）输入不同的区间初值a, b，查看二分次数的变化；6）输入不同的误差限，查看二分次数的变化；7）完成实验报告。五、实验结果1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：2. 实例验证结果：1）方程：f(x)=x3+x2-3x-3=02）输入初始参数：a=1, b=2, EPS=5e-63）

11、结果输出：3. 改变a, b的值为：a=0, b=2, EPS不变，仍为5e-6，其结果为：4. 改变EPS的值为：EPS=5e-4, a, b不变，仍为a=1, b=2，其结果为：六、分析和讨论1. 估算次数与实际二分次数的分析和讨论2. 输入不同的区间初值a, b，二分次数的变化情况3. 输入不同的误差限EPS，二分次数的变化情况七、心得调试过程中遇到的问题和解决对策；经验体会等。实验三 方程求根2牛顿迭代法目的与要求：1）通过对牛顿迭代法的编程练习，掌握方程求根的牛顿迭代法的算法；2）通过对牛顿迭代法的上机运算，进一步体会牛顿迭代法的特点。算法：用迭代法的结构，增设4个工作单元F0, F

12、0, F1, F1，并把用作终止迭代的误差控制改为两个|x1-x0|EPS或|f(x1)|DELTA。1. 准备：选定初始值x0, 计算F0=f(x0); F0=f(x0), 如果F0=0，则输出“方法失败”并结束。2. 迭代：对k=1,2,N，做：1) x1=x0-F0/F0 ，2) 计算F1=f(x1); F1=f(x1) 3) 若F1=0，则输出“方法失败”并结束。3. 控制：若|x1-x0|EPS或|F1|N时输出“经N次迭代无满足要求的近似解”结束。实验内容：1）牛顿迭代法的编程实现。2）进行初值和误差限的比较和讨论。编程要求：1）根的容许误差限EPS用输入语句输入。2）根的初始值x

13、0要求用输入语句输入。3）牛顿迭代法要写成函数形式：如float Newton(float x0, float EPS, int N)。(*) 实验步骤：1）完成牛顿迭代法的程序设计及录入；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；4）分别输入两组不同的根的误差限，观察运算次数的变化；5）分别取不同的初时值x0，观察运算结果的变化；6）完成实验报告。（实验报告的编写见下一页）实验报告 方程求根牛顿迭代法班级： 学号： 姓名： 一、目的和要求1）通过对牛顿迭代法的编程练习，掌握方程求根的牛顿迭代法的算法；2）通过对牛顿迭代法的上机运算，进一步体会牛顿迭代法

14、的特点。二、实习内容1）牛顿迭代法的编程实现。2）进行初值和误差限的比较和讨论。三、算法流程图：算法：用迭代法的结构，增设4个工作单元F0, F0, F1, F1，并把用作终止迭代的误差控制改为两个|x1-x0|EPS或|f(x1)|DELTA。1. 准备：选定初始值x0, 计算F0=f(x0); F0=f(x0), 如果F0=0，则输出“方法失败”并结束。2. 迭代：对k=1,2,N，做：1) x1=x0-F0/F0 ，2) 计算F1=f(x1); F1=f(x1) 3) 若F1=0，则输出“方法失败”并结束。3. 控制：若|x1-x0|EPS或|F1|N时输出“经N次迭代无满足要求的近似解

15、”结束。四、实验步骤1）完成牛顿迭代法的程序设计及录入；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；4）分别输入两组不同的根的误差限，观察运算次数的变化；5）分别取不同的初时值x0，观察运算结果的变化；6）完成实验报告。五、实验结果1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：2. 实例验证结果：1）方程：f(x)=x3+x2-3x-3=02）输入初始参数：x0=1, EPS=1e-63）结果输出：3. 改变初值x0的值为：x0=1.5, EPS不变，仍为1e-6，其结果为：4. 改变初值x0的值为：x0=0.1, EPS不变，仍为1e-6，其结果为：5.

16、 改变EPS的值为：EPS=5e-4, x0不变，仍为1，其结果为：6. 改变EPS的值为：EPS=1e-3, x0不变，仍为1，其结果为：六、分析和讨论1. 输入不同的初值x0，迭代次数的变化情况2. 输入不同的误差限EPS，迭代次数的变化情况七、心得调试过程中遇到的问题和解决对策；经验体会等。实验四：线性方程组数值解法列主元高斯消去法目的与要求：1）熟悉列主元高斯消元法解线性方程组的算法；2）掌握列主元高斯消去法的编程。实验内容：列主元高斯消去法的编程实现。算法：消元：对k=0,2,n-2，按下列步骤进行： 选主元：找出mk,k+1,n-1，使 若|am,k|DELTA，则A奇异，结束程序

17、，否则继续 若mk，交换第k行与第m行对应的元素（换行）： 消元：对i=k+1,n-1，计算l=lik=aik/akk; 对j=k+1,n-1,n，计算aij=aij-lik*akj =aij-l*akj回代： 若|ann|DELTA，则A奇异，结束程序，否则继续 xn-1=an-1,n / an-1, n-1 对i = n-2 , 1, 0，计算： 编程要求：1）方程组的矩阵系数用二维数组表示，不用指针，且其值要求用输入语句输入。（数组形式的完成，经检查后，有能力的可以改用指针方式）2）方程组的元数n要求用输入语句输入。3）加入中间运算结果的显示，以便于检查程序。4）列主元解方程组方法写成函

18、数形式。如：void ColPivot(float a1011, int n, float x10)实验步骤：1）完成列主元高斯消去法解线性方程组的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上P52例2的例子对程序进行验证，并进行修改；4）用完成的程序解算习题中的题目。实验五：插值法拉格朗日插值多项式目的与要求：1） 熟悉拉格朗日插值多项式，注意其特点。2） 掌握拉格朗日插值法的编程。实验内容：拉格朗日插值法的编程实现。算法：1）输入数据：n，xi，yi（i=0，1，2，n-1），xx2）初始化：li=1，yy=03）计算： i循环(外循环)： j循环(内循环) (j

19、=0,1,2,n-1)： （i=0,1,2,n-1）编程要求：1）插值节点个数n用输入语句输入。2）用输入语句输入各节点的数据xi, yi (i=0,1,2,n) 。3）用输入语句输入待插值点的x值xx。4）拉格朗日插值计算用函数形式：如函数float Lagrange(float x,float y,float xx,int n)。（*）实验步骤：1）完成拉格朗日插值多项式进行插值的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；4）用完成的程序解算习题中的题目。实验六：曲线拟合最小二乘法目的与要求：1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最

20、小二乘算法；2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。实验内容：1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。2）用完成的程序解决实际问题。算法：1）输入数据节点数n，拟合的多项式次数m，循环输入各节点的数据xj, yj(j=0,1,n-1)2）由xj求S；由xj,yj求T：Sk = ( k=0,1,2, 2*m )Tk= ( k=0,1,2, m ) 3）由S形成系数矩阵数组ci,j：cij=Si+j (i=0,1,2,m, j=0,1,2,m)；由T形成系数矩阵增广部分ci,m+1：cim+1=Ti (i=0,1,2,m)4）对线性方程组CA=T或，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A

21、=(a0,a1,am)T编程要求：1）直接调用高斯消去法解方程组的函数。2）数据节点数n，拟合次数m，及数据xj, yj(j=0,1,n-1)要求用输入语句输入。3）数据使用数组方式，不用指针方式。4）实验报告中写出计算公式，所有脚标要求与程序中的循环变量对应。5）加入中间运算结果的显示，以便于检查程序。6）拟合部分用函数形式：如函数void Approx(float x, float y, int n, int m, float a)。（*）实验步骤：1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行

22、修改；4）用完成的程序求解下面的实际问题。5）完成实验报告。问题：作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。时间t(秒)00.91.93.03.95.0距离s(cm)010305080110解题步骤：（1） 画草图（2） 确定拟合方程（3） 用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程。（实验报告见下一页）实验报告 曲线拟合最小二乘法班级： 学号： 姓名： 一、目的和要求1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法；2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。二、实习内容1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。2）用完成的程序解决实际问

23、题。三、算法1）输入数据节点数n，拟合的多项式次数m，循环输入各节点的数据xj, yj(j=0,1,n-1)2）由xj求S；由xj,yj求T：Sk = ( k=0,1,2, 2*m )Tk= ( k=0,1,2, m ) 3）由S形成系数矩阵数组ci,j：cij=Si+j (i=0,1,2,m, j=0,1,2,m)；由T形成系数矩阵增广部分ci,m+1：cim+1=Ti (i=0,1,2,m)4）对线性方程组CA=T或，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a0,a1,am)T四、实验步骤1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上P1

24、05例2的例子对程序进行验证，并进行修改；4）用完成的程序求解下面的实际问题。5）完成实验报告。五、实验结果1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：2. 实例验证结果：1）输入初始参数：n=9，m=2X： 1 3 4 5 6 7 8 9 10Y：10 5 4 2 1 1 2 3 42）结果输出：3. 实际应用问题：作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。时间t(秒)00.91.93.03.95.0距离s(cm)010305080110解题步骤：1）画草图2）确定拟合方程次数为1：用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程：计算误差：3）确定

25、拟合方程次数为2：用完成的程序输入数据，求取拟合方程中的未知数，得出方程：计算误差：六、分析和讨论结合实际问题，进行拟合次数的分析和讨论：七、心得（*可选）调试过程中遇到的问题和解决对策；经验体会等。实验七：数值积分龙贝格算法目的与要求：1）熟悉龙贝格求积的算法；2）掌握该算法的编程，了解该程序的巧妙设计处。实验内容：龙贝格算法的编程实现。算法：用事后误差估计法控制精度编程要求：1）先自己根据公式编写，再与课本的例子对比，了解其设计的巧妙。2）龙贝格算法用函数形式：如函数float Romberg(float a, float b, float EPS)。实验步骤：1）完成龙贝格算法进行数值积

26、分的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；注：可参考课本P214-216。实验八：常微分方程数值解法改进欧拉方法目的与要求：1）熟悉改进欧拉算法；2）掌握改进欧拉算法的编程。实验内容：改进欧拉算法的编程实现。算法：编程要求：1）自己根据公式编写，再与课本的例子对比。2）等分小区间数n用输入语句输入。3）初值a、b、ya，用输入语句输入。4）改进欧拉算法用函数形式：如函数void ModEuler(float a, float ya, float b, int n)实验步骤：1）完成改进欧拉算法求解常微分方程的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改；注：可参考课本P217-219。