高考真题汇编理科数学解析版14推理与证明1560.docx

1、高考真题汇编理科数学解析版14推理与证明15602012 高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观 察下列各式：ab1, a2b23, a3b34, a4b47, a5b511,则 a10b10A 28B 76C 123D 199【答案】 C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。【 解 析 】 等 式 右 面 的 数 构 成 一 个 数 列 1,3,4,7,11 ， 数 列 的 前 两 项 相 加 后 面 的 项 ， 即anan 1an 2 ，所以可推出 a10 123 ，选 C.2.【 2012 高考真题全国卷理 12】正方形 ABCD的边长为

2、1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC上，AE BF7.动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反3弹时反射等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为（ A） 16（ B） 14（ C） 12(D)10【答案】 B【解析】结合已知中的点 E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到 EA点时，需要碰撞 14 次即可 .3.【 2012 高考真题湖北理10】我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立

3、圆术”相当于给出了已知球的体积 V ，求其直径 d 的一个近似公式d3 16 V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据9=3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是11.316VB d32VC d3300VD d321Vd915711【答案】 D【解析】由4d 33 6V设选项中常数为a则6b69，V()，得d,=； 中代入得=bA=3.37532a16中代入得=6 1，C中代入得=6 157中代入得=611，B2=3=3.14,D21=3.142857300由于D中值最接近 的真实值，故选择D。4.【 2012 高考真题陕西理11】 观察下列不等式1132221115，223331

4、11172232424第 - 1 -页 共 6页照此规律，第五个 不等式为 .1111111【答案】 1232425262.26【解析】通过观察易知第五个不等式为11111111232425262.265. 【 2012 高考真题湖南理 16】设 N=2n（ n N* ，n 2），将 N个数 x1,x 2, ， xN依次放入编号为1,2 ，N 的 N 个位置， 得到排列 P0=x1x2xN. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N和后 N 个位置，得到排列P1=x1x3 xN-1x2x4 xN，将此操作称22为 C 变换，将 P 分成两段，每段N个数，并对每段作

5、C 变换，得到 p2 ；当 2i n-2 时，12Ni将 Pi 分成 2段，每段 2i 个数，并对每段 C 变换，得到 Pi+1 ，例如，当 N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x位于 P 中的第 4 个位置 .72（ 1）当 N=16 时， x7 位于 P2 中的第 _个位置；（ 2）当 N=2n（ n 8）时， x173 位于 P4 中的第 _个位置 .【答案】（ 1） 6；（ 2） 3 2n411【解析】（ 1）当 N=16 时 ,P0x1 x2 x3 x4 x5 x6x16 , 可设为 (1,2,3,4,5,6, ,16) ,P1x1 x3 x5 x7x15 x2

6、x4 x6x16 , 即为 (1,3,5,7,9,2,4,6,8,16) ,P2x1x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6x16 , 即 (1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置 , ；（ 2）方法同（1） , 归纳推理知 x173位于 P 中的第 32n 411 个位置 .4【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6【.2012 高考真题湖北理 13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22，121，3443，94

7、249 等显然 2 位回文数有9 个： 11，22，33， 993 位回文数有 90 个：101，111，121， 191， 202， 999则（） 4 位回文数有个；（） 2n1( nN ) 位回文数有个【答案】 90， 910 n【解析】（） 4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有 9（19）种情况，第二位有 10（ 09）种情况，所以4 位回文数有 9 10 90 种。答案： 90（）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同，所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。 2n+2 位回文数只用看前n+1 位的排列情况

8、， 第一位不能第 - 2 - 页 共 6 页为 0 有 9 种情况，后面n 项每项有 10种情况，所以个数为 910n .法二、可以看出2 位数有9 个回文数， 3 位数 90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“ 00,11,22, 99”，因此四位数的回文数有90 个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数，因此,则答案为 910 n .7.【 2012 高考真题北京理20】（本小题共13 分）【答案】解：（ 1）由题意可知 r1 A1.2 ，r2 A1.2 ，c1 A1.1，c2 A0.7 ，c3 A1.8 k A 0.7（ 2）

9、先用反证法证明 k A 1 ：若 k A 1则 | c1 A | | a1| a 1 1 ， a 0同理可知 b0 ， a b 0由题目所有数和为0即 abc1 c1ab1与题目条件矛盾 k A 1 易知当 a b 0 时， k A 1 存在 k A 的最大值为 1（ 3） k A 的最大值为 2t1.t2首先构造满足 k ( A)2t1 的 A ai , j ( i1,2, j1,2,.,2 t 1)：t2t1 ，a1,1a1,2 . a1,t1,a1,t 1a1,t2 .a1,2 t 1t2第 - 3 - 页 共 6 页aa.at 2t1,aa2.a1 .2,12,22, tt(t2)2,

10、 t 12,t2,2 t 1经计算知， A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为 0，且| r1( A) | | r2 ( A) | 2t 1 ，t2| c1 ( A) |c2 ( A) |.t2t 11t12t1| ct ( A) | 12)t2t，t (t2| ct1 ( A) | | ct 2 ( A) | .| c2t 1( A) | 1t12t1t2.t 2下 面 证 明 2t1是 最 大 值 .若 不 然 ， 则 存 在 一 个 数 表 AS(2,2 t1) ， 使 得t2k (A)2t1x.t2由 k( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对

11、值不超过1 的数的和，其绝对值不超过2，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 x, 2 中 . 由于 x1 ，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1.设 A 中有 g 列的列和为正， 有 h 列的列和为负， 由对称性不妨设 gh ，则 gt, ht 1.另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑 A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t 1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x1（即每个负数均不超过1x ）.因此| r1( A) |r1 ( A)t1(t1)(1x) 2t

12、1(t1)xx2t 1(t2) xx ，故 A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾 . 因此 kA 的最大值为 2t1 。t28.【 2012 高考真题湖北理】 （本小题满分 14分）（）已知函数f (x)rxxr(1r ) (x0) ，其中 r 为有理数，且 0 r1 . 求 f (x) 的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设 a1 0, a20， b1 , b2 为正有理数 . 若 b1b21ba2ba1b1 a2b2 ；，则 a1 12（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题 . 注：当 为正有理数时，有求导公式(x )x1 .【答案】（） f (

13、 x)rr 1r 1) ，令 f ( x)0，解得 x1.rxr (1 x第 - 4 -页 共 6页当0x时， f ( x)0 ，所以 f (x) 在 (0, 1) 内是减函数；1当 x1时， f(x)0 ，所以 f ( x) 在 (1,) 内是增函数 .故函数 f (x) 在 x1处取得最小值f (1)0 .（）由（）知，当x(0,) 时，有 f ( x)f (1)r(1r )0 ，即 x rx若 a1， a2中有一个为0，则 a1bba1b1a2b2 成立；1a2 2若 a1，a2均不为0，又b b 1，可得b 1 b，于是1221在中令 xa1 ， rb1 ，可得 ( a1 )b1b1a

14、1(1b1) ，a2a2a2b1 ba1b1a2 (1bba1b1a2b2 .即 a11 a21b1 ) ，亦即 a1 1 a22综上，对a10, a20，b1，b2为正有理数且b1b2 1b1ab2121 12 2，总有 aa ba b .（）（）中命题的推广形式为：设 a1, a2 , an 为非负实数， b1 , b2 , bn 为正有理数 .若 b1b2bn 1b bba1b1a2 b2anbn .，则 a11 a22ann用数学归纳法证明如下：（1）当 n1时， b11，有 a1a1 ，成立 .（2）假设当 n k 时，成立，即若a1 , a2 , ak 为非负实数， b1 , b2

15、 , bk 为正有理数，且 b1b2bk 1b bba1b1a2b2ak bk .，则 a11 a22akk当 nk1 时，已知a1, a2 , ak , ak1 为非负实数，b1 ,b2 , ,bk , bk 1 为正有理数，且b1b2bkbk1bbbbk 11bba11a22akkak(a11 a221 ，此时bb11akk) akk0 bk 11 ，即 1bk10，于是b1b2bk1 b1b1 b1bb= (a1 k 1a2k 1akk 1)k 1 akk 11 .因b1b21bk 11 bk 1b1b2bka1 bk 1a1 bk 1a1 bk 112k从而 a1b1 a2b2 akb

16、k akbk 11bk1 ，由归纳假设可得1bk 1a1b1b2bka1b1 a2 b2ak bk，a2ak1 bk 11 bk 11 bk 11 bk 11bk 1a1b1a2b2ak bkakbk 11 .1bk 1又因 (1 bk 1 ) bk 1 1 ，由得第 - 5 - 页 共 6 页1 bk 1a1b1a2 b2bk 1ak bkakbk 11a1 b1a2b2ak bk(1 bk 1 ) ak 1bk 111bk 1a1b1a2 b2ak bkak 1bk 1 ，bbbba2 b2ak bkak 1bk 1 .从而 a11 a22akk ak k 11 a1 b1故当 nk1 时，成立 .由（ 1）（ 2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立 .说明：（ ）中如果推广形式中指出 式对 n 2 成立，则后续证明中不需讨论n 1 的情况 .9.【 2012 高考真题福建理 17】（本小题满分13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 .（ 1） sin 213 +cos2 17 -sin13 c