1、6 第5讲 第2课时 直线与椭圆第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系(师生共研) 已知直线l:y2xm,椭圆C:1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有且只有一个公共点;(2)没有公共点【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将代入,整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0,即m3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(2)当0,即m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点直线与椭圆位置关系判断的步
2、骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程(3)当0时,直线与椭圆相交;当0时,直线与椭圆相切;当0时,直线与椭圆相离 不论k为何值,直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A(0,1) B(0,7)C1,7) D(1,7解析:选C.直线ykx1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆1上或其内部,所以有1,得m1.又椭圆1的焦点在x轴上,所以m7.综上,1mb0)的一条弦所在的直线方程是xy50,弦的中点坐标是M(4,1),则椭圆的离心率是()A. B.C. D.【解析】(1)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2
3、),直线l的方程为yxt,由消去y,得5x28tx4(t21)0,则x1x2t,x1x2.所以|AB|x1x2|,当t0时,|AB|max.(2)法一:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,得两式相减得.因为kAB1,且x1x28,y1y22,所以,e,故选C.法二:将直线方程xy50代入1(ab0),得(a2b2)x210a2x25a2a2b20,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,又由中点坐标公式知x1x28,所以8,解得a2b,又cb,所以e.故选C.【答案】(1)C(2)C(1)弦长公式若直线ykxm与椭圆相交于两点A
4、(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2|y1y2|;焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长,最长为2a.(2)中点弦的重要结论AB为椭圆1(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0)斜率:k;弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值. 已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4),离心率e,直线l:yx4交椭圆于M,N两点则弦MN的长为_解析:由已知得b4,且,即,所以,解得a220,所以椭圆方程为1.将4x25y280与yx4联立,消去y得9x240x0,所以x10,x2,所以所求弦长|MN|x2x1|.答案:椭圆与向量的综合问
5、题(师生共研) (1)已知点F1,F2是椭圆C:y21的焦点,点M在椭圆C上且满足|2,O为坐标原点,则MF1F2的面积为()A. B.C2 D1(2)(2019石家庄质量检测(二)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且2,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.【解析】(1)|2|2,所以|c,所以MF1MF2,解得|MF1|MF2|2,所以三角形的面积S|MF1|MF2|1.(2)由题可知,直线的方程为yxc,与椭圆方程联立得,所以(b2a2)y22b2cyb40,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,又
6、2,所以(cx1,y1)2(x2c,y2),所以y12y2,可得,所以,所以e,故选B.【答案】(1)D(2)B解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示,再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 已知F1,F2为椭圆1(ab0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,2,则椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.解析:选C.根据题意不妨设B(0,b),F1(c,0),F2(c,0),因为2,所以b22c2,又因为b2a2c2,所以a23c2,所以0b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于
7、A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得0.因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以x1x22,y1y22.将其代入上式,得.因为直线AB的斜率为,所以,所以a22b2.因为右焦点为F(3,0),所以a2b2c29,解得a218,b29.所以椭圆E的方程为1.故选D.4已知椭圆C:1(ab0)与直线yx3只有一个公共点,且椭圆的离心率为,则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选B.将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20,由椭圆与直线只
8、有一个公共点得,(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0,化简得a2b29.又由椭圆的离心率为,所以,则,解得a25,b24,所以椭圆方程为1.5已知点M在椭圆G:1(ab0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(3,2),求PAB的面积解:(1)因为2a4,所以a2.又点M在椭圆G上,所以1,解得b24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm,由得4x26mx3m2120.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1b0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且c2,则此椭圆离心率的取值
9、范围是_解析:设P(x,y),则(cx,y)(cx,y)x2c2y2c2,将y2b2x2代入式解得x2,又x20,a2,所以2c2a23c2,所以e.答案:2(综合型)设直线l:2xy20关于原点对称的直线为l,若l与椭圆x21的交点为A,B,点P为椭圆上的动点,则使PAB的面积为的点P的个数为_解析:直线l的方程为2xy20,所以交点分别为椭圆顶点(1,0)和(0,2),则|AB|,由PAB的面积为,得点P到直线AB的距离为,而平面上到直线2xy20的距离为的点都在直线2xy10和2xy30上,而直线2xy10与椭圆相交,2xy30与椭圆相离,所以满足题意的点P有2个答案:23(2019洛阳
10、市第一次统考)已知短轴的长为2的椭圆E:1(ab0),直线n的横、纵截距分别为a,1,且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A,B两点,若椭圆E上存在一点C满足20,求直线l的方程解:(1)因为椭圆E的短轴的长为2,故b1.依题意设直线n的方程为y1,由,解得a,故椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),当直线l的斜率为0时,显然不符合题意当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时,F(,0),设直线l的方程为xty,由得(t23)y22ty10,所以y1y2,y1y2,因为20,所以x3x1x
11、2,y3y1y2,又点C在椭圆E上,所以y1,又y1,y1,所以x1x2y1y20,将x1ty1,x2ty2及代入得t21,即t1或t1.故直线l的方程为xy0或xy0.4(2019辽宁鞍山一中模拟)已知过点A(0,1)的椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆C上的任意一点,且|BF1|,|F1F2|,|BF2|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l:yk(x2)交椭圆C于P,Q两点,若点A始终在以PQ为直径的圆外,求实数k的取值范围解:(1)因为|BF1|,|F1F2|,|BF2|成等差数列,所以2|F1F2|BF1|BF2|(|BF1|BF2|),由椭圆定义得
12、22c2a,所以ca.又椭圆C:1(ab0)过点A(0,1),所以b1,所以c2a2b2a21a2,得a2,c.所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程得消去y得,(14k2)x216k2x16k240.因为直线l:yk(x2)恒过点(2,0),且此点为椭圆C的左顶点,所以不妨设x12,y10.由一元二次方程根与系数的关系可得,x1x2,所以x2,又y1y2k(x12)k(x22)k(x1x2)4k,所以y2.由点A在以PQ为直径的圆外,得PAQ为锐角,即0,因为(2,1),(x2,y21),所以2x2y210,即10,解得k.所以实数k的取值范围是.
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