6 第5讲 第2课时 直线与椭圆.docx

1、6 第5讲 第2课时 直线与椭圆第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系(师生共研) 已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(2)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点直线与椭圆位置关系判断的步

2、骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程(3)当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离 不论k为何值，直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A(0，1) B(0，7)C1，7) D(1，7解析：选C.直线ykx1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆1上或其内部，所以有1，得m1.又椭圆1的焦点在x轴上，所以m7.综上，1mb0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.【解析】(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2

3、)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.所以|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.(2)法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得.因为kAB1，且x1x28，y1y22，所以，e，故选C.法二：将直线方程xy50代入1(ab0)，得(a2b2)x210a2x25a2a2b20，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，又由中点坐标公式知x1x28，所以8，解得a2b，又cb，所以e.故选C.【答案】(1)C(2)C(1)弦长公式若直线ykxm与椭圆相交于两点A

4、(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|；焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.(2)中点弦的重要结论AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)斜率：k；弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值. 已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e，直线l：yx4交椭圆于M，N两点则弦MN的长为_解析：由已知得b4，且，即，所以，解得a220，所以椭圆方程为1.将4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，所以x10，x2，所以所求弦长|MN|x2x1|.答案：椭圆与向量的综合问

5、题(师生共研) (1)已知点F1，F2是椭圆C：y21的焦点，点M在椭圆C上且满足|2，O为坐标原点，则MF1F2的面积为()A. B.C2 D1(2)(2019石家庄质量检测(二)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.【解析】(1)|2|2，所以|c，所以MF1MF2，解得|MF1|MF2|2，所以三角形的面积S|MF1|MF2|1.(2)由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得，所以(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又

6、2，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得，所以，所以e，故选B.【答案】(1)D(2)B解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.解析：选C.根据题意不妨设B(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，因为2，所以b22c2，又因为b2a2c2，所以a23c2，所以0b0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于

7、A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得0.因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以x1x22，y1y22.将其代入上式，得.因为直线AB的斜率为，所以，所以a22b2.因为右焦点为F(3，0)，所以a2b2c29，解得a218，b29.所以椭圆E的方程为1.故选D.4已知椭圆C：1(ab0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B.将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只

8、有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得a2b29.又由椭圆的离心率为，所以，则，解得a25，b24，所以椭圆方程为1.5已知点M在椭圆G：1(ab0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积解：(1)因为2a4，所以a2.又点M在椭圆G上，所以1，解得b24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1b0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值

9、范围是_解析：设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，所以2c2a23c2，所以e.答案：2(综合型)设直线l：2xy20关于原点对称的直线为l，若l与椭圆x21的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为的点P的个数为_解析：直线l的方程为2xy20，所以交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|，由PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2xy20的距离为的点都在直线2xy10和2xy30上，而直线2xy10与椭圆相交，2xy30与椭圆相离，所以满足题意的点P有2个答案：23(2019洛阳

10、市第一次统考)已知短轴的长为2的椭圆E：1(ab0)，直线n的横、纵截距分别为a，1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足20，求直线l的方程解：(1)因为椭圆E的短轴的长为2，故b1.依题意设直线n的方程为y1，由，解得a，故椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线l的斜率为0时，显然不符合题意当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为xty，由得(t23)y22ty10，所以y1y2，y1y2，因为20，所以x3x1x

11、2，y3y1y2，又点C在椭圆E上，所以y1，又y1，y1，所以x1x2y1y20，将x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直线l的方程为xy0或xy0.4(2019辽宁鞍山一中模拟)已知过点A(0，1)的椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆C上的任意一点，且|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：yk(x2)交椭圆C于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围解：(1)因为|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列，所以2|F1F2|BF1|BF2|(|BF1|BF2|)，由椭圆定义得

12、22c2a，所以ca.又椭圆C：1(ab0)过点A(0，1)，所以b1，所以c2a2b2a21a2，得a2，c.所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程得消去y得，(14k2)x216k2x16k240.因为直线l：yk(x2)恒过点(2，0)，且此点为椭圆C的左顶点，所以不妨设x12，y10.由一元二次方程根与系数的关系可得，x1x2，所以x2，又y1y2k(x12)k(x22)k(x1x2)4k，所以y2.由点A在以PQ为直径的圆外，得PAQ为锐角，即0，因为(2，1)，(x2，y21)，所以2x2y210，即10，解得k.所以实数k的取值范围是.