相似三角形基本知识点+经典例题.docx

1、相似三角形基本知识点+经典例题相似三角形知识点与经典题型知识点1有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比 (相似系数).知识点2比例线段的相关概念(1) 如果选用同一单位量得两条线段 a,b的长度分别为 m,n,那么就说这两条线段的比是 -=m，或写b n成a : b二m: n .注：在求线段比时，线段单位要统一。(2) 在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段 a,b,c,d叫做成比例线段，简称比

2、例线段.注：比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：-. c aa c在比例式 (a： b = c： d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后b d项，d叫第四比例项，如果 b=c,即a： b二b: d那么b叫做a、d的比例中项， 此时有b2二ad。(3)黄金分割：把线段 AB分成两条线段 AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即AC2 =AB BC，叫做把线段 AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中 AC = 丘二AB -2注：黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金

3、数的矩形知识点3 比例的性质(注意性质立的条件：分母不能为 0)(1)基本性质： a : b = c : d ：二 ad = bc : a : b = b : C b a c .注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ad =bc，除了可化为 a: b = c: d，还可化为 a:c=b:d , c:d=a:b , b:d=a:c , b:a=d:c , c:a = d:b , d:c二b:a , d:b=c:a .a =，(交换内项)c d(2) 更比性质(交换比例的内项或外项)： d ，(交换外项)b d b a.(同时交换内外项),c a(3)反比性质(把

4、比的前项、后项交换)：a = b -.b d a c(4)合、分比性质：a _c_a上bc上db dbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注：1此性质的证明运用了“设 k法” 计算变形中一种常用方法应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如:e= a 冬 3 . 2 2c 3e a ；其中 b _2d 3f = 0 f b -2d 3f b 2d 3f b两个三角形形状一样，但大小不一定一样.全等三角形是相似比为 1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应

5、边成比例.知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系:1反身性：对于任一 ：ABC有. ABC s ；ABC .2对称性：若：ABC s .lABC，则：ABC s ：ABC .3传递性：若：ABCs ABC，且：ABC s ；A B C ,则. ABCs ABC(2)三角形相似的判定定理的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三用数学语言表述是： DE / BC , . ADE s AABC .知识点7 三角形相似的判定方法1、 定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似.2、 平行法：平行于三角

6、形一边的直线和其它两边 (或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似.3、 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、 判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似.6、 判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用.(2)那么这如果一个直角三角形的斜边和一

7、条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 两个直角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的咼是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt ABC中，/ BAC=90, AD是斜边 BC上的高, 贝y aD=BD - DC, a=BD BC , AC2=CD- BC。知识点8 相似三角形常见的图形RTS!A A1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:“蝶型”）贝仏 ADEA ABCBD, BC=BD AB;“反A共角共边型”(1 )若 DE/ B

8、C (A 型和 X 型)(2)射影定理 若CD为Rt ABC斜边上的高(双直角图形)贝U Rt AB3 Rt ACD Rt CBD且 aC=AD AB, cD=AD(3)满足 1、AC=AD AB, 2、/ ACD=Z B,(4)当 竺 二些 或 AD- AB=AC- AE时， AD0A ACBAC AB知识点9:全等与相似的比较:三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)相似判定的预备定理两角一对边对应相等(AAS)两角对应相等两边及夹角对应相等(SAS)两边对应成比例，且夹角相等三边对应相等(SSS)三边对应成比例直角三角形中一直角边与斜边对应相等 (HL)直角三角形中斜边与一直角边

9、对应成比例知识点10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等.知识点11相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法1、 证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、 证明题常用方法归纳：(1 )总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相

10、似：通过“横找” “竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的， 则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论 (3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样 的三种：等线段代换、等比代换、等积代换 即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。amcmm amcm ， (为中间比) ， ，n =nbndnn bndnI Iamcm, 、

11、m m、 , (m = m,n=n 或 )bndn n n(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线 (通常是添加平行线)构成比例以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。(5) 比例问题：常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。(6) .对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形(或基本图形) “分离”出来的办法处理。知识点12相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比.(2

12、)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关 键.知识点13位似图形有关的概念与性质及作法1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图 形2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比注：(1)位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点(2)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形(3)位似图形的对应边互相平行或共线 3.位似图形的性质： 位似图形上任意一对

13、对应点到位似中心的距离之比等于相似比注：位似图形具有相似图形的所有性质 4.画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取)(3)根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置(4) 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形 .注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外， 或在图形上(图形边上或顶点上)。2外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”(即同向位似图形)3内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”(即反向位似图形)(5)在平面直角坐标系中

14、，如果位似变换是以原点 O为位似中心，相似比为 k ( k0),原图形上点的坐标为(x,y ),那么同向位似图形对应点的坐标为 (kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为 (-kx,-ky),经典例题透析类型一、相似三角形的概念1 判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例 要说明不相似，则只要否定其中的一个条件解：(1)不一定相似.反例(2)不一定相似.反

15、例(3) 一定相似.在直角三角形 ABC与直角三角形 A B C中ZA = ZA=45 ZB=Z2,= 90ZC = ZC,= 45设 AB=a ,A B =b，贝U BC=a, B C =b, AC=AB _ BC _ AC丽兄花一 I n ABC s LlA B C(4)一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于 60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.(5)一定相似.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为 1，所以全等三角形一定相似，且相似比为 1.举一反三【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？解析：全等.因为这两个三角形相似，

16、所以对应角相等 .又相似比为1,所以对应边相等.因此这两个三角形全等.总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为 1;相似比为1的两个相似三角形全等.A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比

17、相等；C中所有三角形都是由 90、45、45角组成的三角形，且对应边的比也相等 答案选C.类型二、相似三角形的判定2 如图所示，已知 DABCD 中，E为AB延长线上的一点， AB=3BE , DE与BC相交于F，请找出图中各 对相似三角形，并求出相应的相似比 思路点拨：由二 1可知AB / CD , AD / BC,再根据平行线找相似三角形解：/四边形ABCD是平行四边形， AB / CD , AD / BC, BEF CDF , BEF AED. BEF CDF AED.,BE 1当厶BEFAED时，相似比当厶BEFCDF时，相似比-:- J ;当厶CDF AED时，相似比总结升华：本题中

18、 BEF、 CDF、 AED都相似，共构成三对相似三角形 .求相似比不仅要找准对应边, 还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数3.已知在 RtA ABC 中，/ C=90 , AB=10 , BC=6.在 Rt EDF 中，/ F=90 , DF=3, EF=4，则 ABC 和厶EDF相似吗？为什么？思路点拨：已知 ABC和厶EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边 AC和DE,再看三边是否对应成比例 .解：在 Rt ABC 中，AB=10 , BC=6，/ C=90 .由勾股定理得扭二血J八如-圧二8在 Rt DEF 中，DF=3 , E

19、F=4，/ F=90 .由勾股定理，得- - 一 一 -.y 兰_色_2在厶ABC和厶EDF中，- ，二 ,二 ?BC AC AB ABC s EDF(三边对应成比例，两三角形相似 ).总结升华：(1)本题易错为只看3, 6, 4, 10四条线段不成比例就判定两三角形不相似 .利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边(2)本题也可以只求出 AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似 .4 .如图所示，点 D在厶ABC的边AB上，满足怎样的条件时， ACD与厶ABC相似？试分别加以列举思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知， ACD

20、与厶ABC已有公共角/ A，要使此 两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可解：当满足以下三个条件之一时， ACD ABC.条件一：/ 1= / B.条件二：/ 2= / ACB.AD _AC条件三：AC =石，即 AC2 = AD AB总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法 .在探索两个三角形相似时， 用分析法，可先假设厶ACDAD_AC_CDABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可 .本题易错为出现条件四： 二匚L - / .不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的举一反三【变式1】已知：如图正方形 ABCD中，P是BC上

21、的点，且BP=3PC, Q是CD的中点.思路点拨：因厶ADQ与厶QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知 AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个 角对应相等判定而四边形 ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC,所以可用对应边成比例夹角相等的方 法来判定.具体证明过程如下：AD证明：在正方形 ABCD中，T Q是CD的中点，；_ =2BP_ BC_厂=3 ,二=4DQ又 BC=2DQ ,=2在厶ADQ和厶QCP中，匕-=匸，/ C= / D=90 ADQ sqcp.【变式2】如图，弦和弦一.相交于小内一点-，求证：-；r -小.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到

22、应证哪两 个三角形相似同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用证明：连接一，丄丄.在二ZC=ZBpj pc=PA PS = PC-PD .【变式3】已知：如图，AD是厶ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点. 求证： DFEABC .思路点拨：EF ABC的中位线，EF= BC,又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线， DE AB ,DF= 1 AC .因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似.证明：在Rt ABD中，DE为斜边 AB上的中线，1DE= 1 AB,DE 1即-一二=-.DF_ 1同理 =-. EF ABC的中位线，EF= 1 BC,DE FD DFEABC .总结升华

23、：本题证明方法较多，可先证/ EDF= / EDA+ / ADF= / EAD+ / FAD= / BAC，再证夹这个角的两DE DF_边成比例，即一匚=”二，也可证明/ FED= / EDB= / B,同理/ EFD= / FDC= / C,都可以证出 DEF ABC .类型三、相似三角形的性质5.A ABC DEF，若 ABC的边长分别为 5cm、6cm、7cm，而4cm是厶DEF中一边的长度，你能求出 DEF的另外两边的长度吗？试说明理由 .思路点拨：因没有说明长4cm的线段是厶DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论 解： 设另两边长是 xcm , ycm，且x当厶DEF中长4

24、cm线段与 ABC中长5cm线段是对应边时，有 ； 7 ,从而 x=cm, y= 了 cm.= 4=y(2)当厶DEF中长4cm线段与 ABC中长6cm线段是对应边时，有 7 ,10 14从而 x : cm, y=二 cm.x _ j _ 4(3)当厶DEF中长4cm线段与 ABC中长7cm线段是对应边时，有 L 匚 一,20 24从而 x= r cm, y= cm.24 28 10 14 20 24综上所述， DEF的另外两边的长度应是 j cm, I cm或二cm, 一- cm或cm, cm三种可能总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类6.如图所示

25、，已知 ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于 ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1： 2,若BC=30cm , AD=10cm.求矩形EFGH的面积.A思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积 解：/四边形EFGH是矩形， EH / BC , AEH ABC.AD 丄 BC , AD 丄 EH , MD=EF.矩形两邻边之比为 1: 2,设EF=xcm，贝U EH=2xcm.AM _ EH由相似三角形对应高的比等于相似比，得 丄 丄，10-x_ 2xEF=6cm, EH=12cm.一 ， 1 .总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内

26、接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相 似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高举一反三【变式1】 ABC中，DE / BC, M为DE中点，CM交AB于N，若 二J丄，求二1 ：.解：/ DE / BC , ADE ABCDE_AD_2DM 1 M为DE中点,BC 3/ DM / BC , NDM NBCND _ DM总结升华：图中有两个“八”字形，已知线段 字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“AD与AB的比和要求的线段 ND与NB的比分别在这两个 八”字形转化到另一个“ ”字形，从而解决问题.类型四、相似三角形的应用7如图，我们想要测量河两

27、岸相对应两点A、B之间的距离（即河宽），你有什么方法?方案1如上左图，构造全等三角形，测量 CD，得到AB=CD，得到河宽.万案2:思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段， 测出了三条线段的长，必能求出第四条 如上右图，先从B点出发与AB成90角方向走50m到0处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到 C处，在C处转90,沿CD方向再走17m到达D处，使得A、0、D在同一条直线上.那么 A、B之间的距 离是多少？解：/ AB 丄 BC, CD 丄 BC/ ABO= / DCO=90 又/ / AOB= / DOC AOB DOCAB _

28、 B0二:-_/ BO=5Om , CO=10m , CD=17mAB=85m答：河宽为85m.总结升华：方案2利用了 “ X”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“ 八”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等 举一反三【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好 与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 18 m,已知小明的身高是 1.6 m，他的影长是2 m .图中 ABC与厶ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度.解： ABC s ADE ./ BC 丄 AE , DE 丄 AE/ ACB= / AED=90 / A= / A

29、 ABC ADE(2)由(1)得厶 ABC ADEAC_BC_,s 二/ AC=2m , AE=2+18=20m , BC=1.6m工二DE=16m答：古塔的高度为16m.1.5m宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC?思路点拨： 光线AD/BE，作EF丄DC交AD于 F贝U二二亠 ，利用边的比例关系求出 BC.解：作EF丄DC交AD于F.因为AD / BE，所以 ZW =沁 又因为 -,DE _ EF所以丄：厶-,所以:匸.因为AB / EF, AD / BE，所以四边形 ABEF是平行四边形，所以 EF=AB=1.8m. 类型五、相似三角形的周长与面积&已知：如图，在 ABC与厶CAD中，DA / BC, CD与AB相交于E点，且AE : EB=1 : 2, EF / BC交 AC于F点， ADE的面积为1，求 BCE和厶AEF的面积.思路点拨：禾