普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学试题 文科解析版.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学试题 文科解析版一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，则复数(1+ i)2 =（ ）(A) 0 (B)2 (C)2 i (D)2+2 i【答案】C【解析】试题分析：由题意， (1+ i)2 = 1+ 2i + i2 = 2i ，故选 C.考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容 易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可2.设集合 A = x |1 x 5,Z 为整数集，则集合 AZ 中元

2、素的个数是（ ） (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3【答案】B考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合 不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.3.抛物线 y2 = 4x 的焦点坐标是（ ）(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】试题分析：由题意， y2 = 4x 的焦点坐标为(1, 0) ，故选 D.考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的 重要内容，它们的定义、标准方程、

3、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握4.为了得到函数 y = sin(x +p) 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点（ ）3(A)向左平行移动个单位长度 (B) 向右平行移动3个单位长度3(C)向上平行移动【答案】A个单位长度 (D) 向下平行移动3个单位长度3考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数 y =f (x) 的图象向右平移 a 个单位得 y =f (x - a)的图象，而函数 y =f (x) 的图象向上平移a 个单位得 y =f (x) + a 的图象左右平移涉及的是 x 的变化，上下平移涉及的是函数值 f (x) 加减平

4、移的单位5.设 p:实数 x，y 满足 x 1且 y 1，q: 实数 x，y 满足 x + y 2 ，则 p 是 q 的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意， x 1且 y 1，则 x + y 2 ，而当 x + y 2 时不能得出， x 1且 y 1.故 p 是q 的充分不必要条件，选 A.考点：充分必要条件.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论， 结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考有许多情况下可利用充分性、必要性和

5、集合的包含关系得出结论6.已知 a 函数 f (x) = x3 -12x 的极小值点，则 a =（ ） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2【答案】D【解析】试题分析： f (x) = 3x2 -12 = 3(x + 2)(x - 2)，令 f (x) = 0 得 x = -2或 x = 2，易得 f ( x)在(-2 , 2)上单调递减，在(2 , + )上单调递增，故 f ( x)极小值为 f (2)，由已知得a = 2，故选 D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值在可导函数中函数的极值点 x0 是方程 f (x) = 0 的解，但 x0 是极大值点还是极小值点，

6、需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 x0 附近，如果 x x0 时，f (x) x0 时 f (x) 0 ，则 x0 是极小值点，如果 x 0 ，x x0 时，f (x) 0， 则 x0 是极大值点，7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元， 在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年【答案】B考点：1.增

7、长率问题；2.常用对数的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应 用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方 程就可解得结论8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的 多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求 多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ）(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9【答案】C考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.【名师

8、点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将 每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可uur uuur 29.已知正三角形 ABC 的边长为 2 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 AP = 1 ， PM = MC ，则 BM的最大值是（ ）43(A)449(B)4(C)4(D)4【答案】B【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此 我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ADC =

9、ADB = BDC = 120，且 DA = DB = DC = 2 ，因此我们采用解析法，即建立直角 2坐标系，写出 A, B, C, D 坐标，同时动点 P 的轨迹是圆， BM圆的性质得出最值因此本题又考查了数形结合的数学思想(x +1)2 + (y + 3 3)2 4，因此可用10.设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)=- ln x, 0 x 1,图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是（ ） (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+) (D) (1,+ )【答案】A【解

10、析】试题分析：设 P1 (x1 , ln x1 ) , P2 (x2 , - ln x2 )（不妨设 x1 1 , 0 x2 1 ,SPAB =yA - yB xP= 1 1= 1 ,0 SPAB 0.5， 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5所以 2x0)cos A代入 +acos B b= sin C c中，有cos A k sin A+ cos B k sin B= sin C k sin C，变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC 中，由 A+B+C=，有 sin(A+B)=sin(

11、C)=sin C， 所以 sin Asin B=sin C（）由已知， 22 2 6，根据余弦定理，有b +c a = bc5cos A=b2 + c2 - a22bc= 3 5所以 sin A= 4 5由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以 4 sin B= 45 5cos B+ 35sin B，sin B故 tan B 4 cos B考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计 算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一

12、种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题在角的变化过程中注意三角形的内角和为180这个结论，否则难以得出结论19、（本小题满分 12 分）已知数列 an的首项为 1， Sn为数列an 的前 n 项和， Sn+1 = qSn + 1，其中 q0， n N * .（）若 a2 , a3 , a2 + a3 成等差数列，求an 的通项公式；（）设双曲线 x2- y2 = =的离心率为e ，且e 2，求e 2 + e 2 + + e 22 n 2n1 2 n.【答案】（） a =qn- 1 ；（） n + 1 (3n - 1) .n 2（）先利用双曲线的离心率定义得到en 的表达式，再由e2 =

13、 2解出 q 的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.试题解析：（）由已知， Sn+ 1 =qSn + 1, Sn+ 2 =qSn+ 1 + 1,两式相减得到 an+ 2 =qan+ 1 , n 1.又由 S2 =qS1 + 1得到 a2 =qa1 ，故 an+ 1 = qan 对所有 n 1都成立.所以，数列an 是首项为 1，公比为 q 的等比数列. 从而 an =qn- 1 .由 a2，a3，a2 +a3 成等差数列，可得 2a3 =a2 + a2 + a3 ，所以 a3 =2a2 , ，故 q=2 .n- 1 *所以 an = 2 (n N ) .考点：数列的通项公式、双曲线的离心率

14、、等比数列的求和公式【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（）问中，已知的是 Sn 的递推式，在与 Sn 的关系式中，经常用n -1代换 n（ n 2 ），然后两式相减，可得 an 的递推式，利用这种方法解题时要注意 a1 ； 在第（）问中，按题意步步为营，认真计算不需要多少解题技巧，符合文科生的特点20、（本小题满分 13 分）x2 + y2 = 已知椭圆 E： a2 b2 1(a b 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1P( 3, ) 在椭圆 E 上.2()求椭圆 E 的方程；

15、 ()设不过原点 O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM与椭圆 E 交于 C，D，证明： MA MB = MC MD 【答案】（1）【解析】x2 + 24= 1；（2）证明详见解析.试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得 a = 2b ，椭圆的标准1方程中可减少一个参数，再利用 P( 3, ) 在椭圆上，可解出 b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（）2首先设出直线l 方程为 y = 1 x + m ，同时设交点 A(x , y ), B(x , y ) ，把l 方程与椭圆方程联立后消2 1 1 2 2去

16、 y 得 x 的二次方程，利用根与系数关系，得 x + x , x x ，由 MA MB = 1AB 2 求得 MA MB（用1 2 1 2 41m 表示），由OM 方程 y = -2x 具体地得出C, D 坐标，也可计算出 MC MD ，从而证得相等试题解析：（I）由已知，a=2b.1x2 y2 1 3又椭圆+ = 1(a b 0) 过点 P( 3, ) ，故+ 4 = 1，解得b2 = 1.a2 b2x2 + 22 4b2 b2所以椭圆 E 的方程是4y = 1.所 以 MC MD =5 (-m + 2) 5 ( + m) = 5 (2 - m2 ) .2 2 4又 MA MB =AB 2 = 1 (x - x )2 + ( y - y )2 = 5 (x + x )2 - 4x x 4 4 1 2 1 2 16 1 2 1 2= 5 4m2 - 4(2m2 - 2) = 5 (2 - m2 ) .16