三角形初中中考压轴题带答案doc.docx

1、三角形初中中考压轴题带答案doc实用文档中考专题 - 三角形一选择题（共 3 小题）1 如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC=2AE ，直角三角形 FEG 的两直角边 EF、 EG 分别交 BC、 DC 于点 M 、 N 若正方形 ABCD 的边长为 a ，则重叠部分四边形 EMCN 的面积为（ ）A a2 B a2 C a2 D a 2考点 ： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题 ： 几何图形问题；压轴题分析： 过 E 作 EP BC 于点 P，EQ CD 于点 Q ，EPM EQN ，利用四边形 EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解解答： 解：过

2、E 作 EP BC 于点 P， EQ CD 于点 Q ，四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 ，又EPM= EQN=90 ，PEQ=90 ，PEM+ MEQ=90 ，三角形 FEG 是直角三角形， NEF= NEQ+ MEQ=90 ，PEM= NEQ ，AC 是BCD 的角平分线， EPC= EQC=90 ，EP=EQ ，四边形 PCQE 是正方形，在EPM 和EQN 中， EPM EQN （ ASA ）SEQN =S EPM ，四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积正方形 ABCD 的边长为 a ，AC= a，EC=2AE ，EC= a ，标准文案实用文档EP=PC= a

3、 ，正方形 PCQE 的面积 = a a= a2 ，四边形 EMCN 的面积 = a 2 ，故选： D 点评： 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出 EPMEQN 2 如图 A= ABC= C=45 ，E、 F 分别是 AB 、 BC 的中点，则下列结论， EF BD ， EF= BD ，ADC= BEF+ BFE， AD=DC ，其中正确的是（ ）A B C D 考点 ： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解解答： 解：如下图所示：连接 AC

4、 ，延长 BD 交 AC 于点 M ，延长 AD 交 BC 于 Q ，延长 CD 交 AB 于 PABC= C=45 CP AB ABC= A=45 AQ BC点 D 为两条高的交点，所以 BM 为 AC 边上的高，即： BM AC 由中位线定理可得 EFAC， EF= ACBD EF，故正确DBQ+ DCA=45 ，DCA+ CAQ=45 ，DBQ= CAQ ，A= ABC ，AQ=BQ ，BQD= AQC=90 ，根据以上条件得AQC BQD ，BD=AC EF= AC ，故正确A= ABC= C=45 DAC+ DCA=180 （A+ ABC+ C） =45 ADC=180 （DAC+

5、DCA ） =135 = BEF+ BFE=180 ABC故ADC= BEF+ BFE 成立；无法证明 AD=CD ，故错误故选 B点评： 本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用标准文案实用文档3 四 形 ABCD 中， AC 和 BD 交于点 E，若 AC 平分DAB ，且 AB=AE ， AC=AD ，有以下四个命 ： AC BD ； BC=DE ；DBC= DAB ； AB=BE=AE 其中命 一定成立的是（ ）A B C D 考点 ： 全等三角形的判定与性 ；等 三角形的性 ： 分析： 根据等腰三角形的性 ，等 三角形的判定， 内接四 形的性 ，全等三角形的性 判断各 是否

6、正确即可解答： 解：AB=AE ，一个三角形的直角 和斜 一定不相等， AC 不垂直于 BD ， ；利用 角 定理可 得 ADE ABC ，那么 BC=DE ，正确；由ADE ABC 可得ADE= ACB ，那么 A ， B， C， D 四点共 ， DBC= DAC= DAB ，正确；ABE 不一定是等 三角形，那么不一定正确；正确，故 B点 ： 此 主要考 了全等三角形的性 ，以及直角三角形中斜 最 ；全等三角形的 相等；等 三角形的三 相等二填空 （共 6 小 ）4如 ，将一个正三角形 片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同 的方法剪成四个更小的正三角形，如此 下去， 果如下表，

7、an = 3n+1 （用含 n 的代数式表示） 标准文案实用文档所剪次数1234n正三角形个数471013a n考点 ： 等 三角形的性 ： ； 律型分析： 根据 跟表我 可以看出 n 代表所剪次数， a n 代表小正三角形的个数，也可以根据 形找出 律加以求解解答： 解：由 可知没剪的 候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以 的个数3n+1 故答案 ： 3n+1 点 ： 此 主要考 学生的 思 能力以及 能力5 如 ，在 ABC 中， AC=BC AB ，点 P ABC 所在平面内一点，且点P 与ABC 的任意两个 点构成PAB ，PBC，PAC 均是等腰三角形， 足上述条件的所有点

8、P 的个数 6 个考点 ： 等腰三角形的判定与性 ： 分析： 根据 段垂直平分 上的点到 段两端点的距离相等，作出 AB 的垂直平分 ，首先 ABC 的外心 足，再根据 的半径相等，以点 C 心，以 AC 半径画 ， AB 的垂直平分 相交于两点，分 以点 A 、B 心，以 AC 半径画 ，与 AB 的垂直平分 相交于一点，再分 以点 A 、B标准文案实用文档为圆心，以 AB 长为半径画圆，与 C 相交于两点，即可得解解答： 解：如图所示，作 AB 的垂直平分线， ABC 的外心 P1 为满足条件的一个点，以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画圆， P2、 P3 为满足条件的点，分别以点 A

9、、 B 为圆心，以 AC 长为半径画圆， P4 为满足条件的点，分别以点 A 、 B 为圆心，以 AB 长为半径画圆， P5、 P6 为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点 P 的个数为 6 故答案为： 6 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质， 主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观6 如图， ABC 是边长为 1 的等边三角形，取 BC 的中点 E，作 EDAB ，EFAC ，得到四边形 EDAF ，它的面积记为 S1 ，取 BE 的中点 E1，作 E1 D 1FB，E1 F1 EF得到四

10、边形 E1D 1 FF1，它的面积记作 S2，照此规律，则 S2012 = 标准文案实用文档考点 ： 等 三角形的性 ；三角形中位 定理： ； 律型分析： 求出ABC 的面 是 ，求出 DE 是三角形 ABC 的中位 ，根据相似三角形的性 得出= = ，求出 SCDE= ，SBEF= ，求出 S1 = ，同理 S2= SBEF= ， S3 = S4 = ，推出 S2012 = （ 2011 个 ），即可得出答案解答： 解：BC 的中点 E， EDAB ，E BC 中点， DE= AB ，DE AB ，CDECAB ， = = （ ） 2 = ，ABC 的面 是 1 = SCDE= ，推理 =

11、，SBEF= S1 = = ，同理 S2= SBEF= ， S3= S4= ，S2012 = （ 2011 个 ）， = = ，故答案 ： 点 ： 本 考 了相似三角形的性 和判定，等 三角形的性 的 用，解此 的关 是 出 律，目比 好，但是有一定的 度7 如 ，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分 在 BC，CD 上，如果 AE=4 ， EF=3 ， AF=5 ，那么正方形ABCDn 的面 等于 考点 ： 勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性 ： 标准文案实用文档分析： 根据ABE ECF，可将 AB 与 BE 之间的关系式表示出来，在 Rt ABE 中，根据勾股定理AB

12、 2+BE 2=AC 2，可将正方形 ABCD 的边长 AB 求出，进而可将正方形 ABCD 的面积求出解答： 解：设正方形的边长为 x， BE 的长为 aAEB+ BAE= AEB+ CEF=90 BAE= CEFB= CABEECF = ，即 = 解得 x=4a 在 Rt ABE 中， AB 2+BE 2=AE 2 x2 +a 2 =4 2 将代入，可得： a=正方形 ABCD 的面积为： x2=16a 2 = 点评： 本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题 隐含了整体的数学思想和正确运算的能力注意后面可以直接这样 x2 +a 2 =4 2 ，x2 + （ ）

13、2=4 2， x2 + x2=4 2，x2 =16 ，x 2= 无需算出算出 x8 已知 a ，b ，c 是直角三角形的三条边，且 a b c，斜边上的高为 h ，则下列说法中正确的是 （只填序号） a 2b 2+h 4= （a 2+b 2 +1 ）h 2； b 4 +c 2 h 2 =b 2c2；由 可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是 考点 ：勾股定理的逆定理；勾股定理专题 ：计算题；压轴题分析：根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案解答：解：根据直角三角形的面积的不同算法，有 ab= ch ，解得 h= 将 h= 代入 a 2b 2+h 4= （a 2

14、 +b 2 +1 ） h 2 ，得 a 2b 2 + （ ） 4 = （ a2 +b 2 +1 ）（ ） 2，得 a 2b 2 + （ ） 4 = （ c2 +1 ）（ ）2，得 a2 b 2+ （ ） 4=a 2b 2 + ，即（ ） 4= ，a2 b 2=c 2，不一定成立，故本选项错误；4+c22=b2242222，b4+b22=b224+b2222=0，将 h=代入 bhc，得 b+c （）=bcac，整理得 babc标准文案实用文档b 2 （ b 2+a 2 c2 ） =0 ，b 2 +a 2 c2 =0 ，b 2（ b 2 +a 2 c2） =0 成立，故本选项正确；b 2 +a

15、2 =c 2 ，（） 2 + （） 2=a+b ，（） 2=c ，不能说明（） 2 + （） 2 = （） 2，故本选项错误；直角三角形的面积为 ab ，随 ab 的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误故答案为点评：此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细9 如图， A 、 B、 C 分别是线段 A 1B， B1C， C1 A 的中点，若 ABC 的面积是 1 ，那么A 1 B1 C1 的面积7考点 ： 三角形的面积专题 ： 压轴题分析： 连接 AB 1 ，BC 1， CA 1，根据等底等高的三角形的面积相等求出 ABB 1，A 1 AB1 的面积，

16、从而求出A 1 BB1 的面积，同理可求 B1 CC1 的面积， A 1 AC1 的面积，然后相加即可得解解答： 解：如图，连接 AB 1 ， BC1 ，CA 1，A 、 B 分别是线段 A 1B，B1 C 的中点， SABB1 =S ABC =1 ，SA1AB1 =S ABB1 =1 ，SA1BB1 =S A1AB1 +S ABB1 =1+1=2 ，同理： SB1CC1 =2 ，SA1AC1 =2 ，A 1B1C1 的面积 =S A1BB1 +S B1CC1 +S A1AC1 +S ABC=2+2+2+1=7 故答案为： 7 点评： 本题考查了三角形的面积， 主要利用了等底等高的三角形的面积

17、相等， 作辅助线把三角形进行分割是解题的关键三解答题（共 5 小题）标准文案实用文档10 已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、 C 重合），以 AD 为边作菱形ADEF （ A 、 D 、 E、 F 按逆时针排列） ，使DAF=60 ，连接CF（1）如图 1 ，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF ； AC=CF+CD ；（ 2）如图 2 ，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时， 结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC 、 CF、 CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（ 3）如图 3 ，当点 D 在边 CB 的

18、延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、 CF、 CD之间存在的数量关系考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析： （ 1 ）根据已知得出 AF=AD ， AB=BC=AC ，BAC= DAF=60 ，求出BAD=CAF ，证BAD CAF ，推出 CF=BD 即可；（2 ）求出 BAD= CAF ，根据 SAS 证BAD CAF ，推出 BD=CF 即可；（3 ）画出图形后，根据 SAS 证BAD CAF ，推出 CF=BD 即可解答： （ 1 ）证明： 菱形 AFED ，AF=AD ，ABC 是等边三角形， AB=AC=B

19、C ，BAC=60 = DAF ，BAC DAC= DAF DAC ，即BAD= CAF ，在BAD 和CAF 中 ，BAD CAF ，CF=BD ，CF+CD=BD+CD=BC=AC ，即 BD=CF ， AC=CF+CD （ 2 ）解： AC=CF+CD 不成立， AC、 CF、CD 之间存在的数量关系是 AC=CF CD ，标准文案实用文档理由是： 由（1 ）知：AB=AC=BC ，AD=AF ，BAC= DAF=60 ，BAC+ DAC= DAF+ DAC ，即BAD= CAF ，在BAD 和CAF 中 ，BAD CAF ，BD=CF ，CF CD=BD CD=BC=AC ，即 AC=

20、CF CD（3 ） AC=CD CF理由是：BAC= DAF=60 ，DAB= CAF ，在BAD 和CAF 中 ，BAD CAF （SAS ），CF=BD ，CD CF=CD BD=BC=AC ，即 AC=CD CF点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中11 如图，ABC 中 AB=AC ，BC=6 ， ，点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时，点 Q 从点 C出发沿线段 AC 的延长线移动，已知点 P、 Q 移动的速度相同， PQ 与直线 BC 相交于点 D （ 1）如

21、图，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长；（ 2）如图，过点 P 作直线 BC 的垂线垂足为 E，当点 P、Q 在移动的过程中，线段 BE、 DE、 CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；考点 ： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题；分类讨论分析： （ 1 ）过点 P 做 PF 平行与 AQ ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由 AB=AC ，根据等边对等角得角 B 和角 ACB 的相等， 根据等量代换的角 B 和角 PFB 的相等， 根据等角对等边标准文案实用文档得 BP=PF ，又因点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同即

22、BP=CQ ，等量代换得 PF=CQ ，在加上对等角的相等，证得三角形 PFD 和三角形 QCD 的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD= CF，而又因 P 是 AB 的中点， PFAQ 得出 F 是 BC 的中点，进而根据已知的 BC 的长，求出 CF，即可得出 CD 的长（ 2 ）分两种情况讨论，第一种情况点 P 在线段 AB 上，根据等腰三角形的三线合一得 BE=EF ，再又第一问的全等可知 DF=CD ，所以 ED= ，得出线段 DE 的长为定值；第二种情况， P 在 BA 的延长线上，作 PM 平行于 AC 交 BC 的延长线于 M ，根据两直线平行，同位角相等推出角 P

23、MB 等于角 ACB ，而角 ACB 等于角 ABC ，根据等量代换得到角 ABC 等于角 PMB ，根据等角对等边得到 PM 等于 PB，根据三线合一， 得到 BE 等于 EM，同理可得 PMD 全等于QCD ，得到 CD 等于 DM ，根据 DE 等于 EM 减 DM ，把 EM 换为 BC 加 CM 的一半， 化简后得值为定值解答： 解：（1 ）如图，过 P 点作 PF AC 交 BC 于 F，点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同， BP=CQ ，PFAQ ，PFB= ACB ，DPF= CQD ，又AB=AC ，B= ACB ，B= PFB，BP=PF ，PF=CQ ，又PDF= Q

24、DC ，证得PFD QCD ，DF=CD= CF，又因 P 是 AB 的中点， PFAQ ，F 是 BC 的中点，即 FC= BC=3 ，CD= CF= ；（ 2 ）分两种情况讨论，得 ED 为定值，是不变的线段如图，如果点 P 在线段 AB 上，过点 P 作 PFAC 交 BC 于 F，PBF 为等腰三角形， PB=PF ，BE=EF ，PF=CQ ，FD=DC ，ED= ，ED 为定值，同理，如图，若 P 在 BA 的延长线上，作 PM AC 的延长线于 M ，PMC= ACB ，又AB=AC ，B= ACB ，B= PMC ，PM=PB ，根据三线合一得 BE=EM ，同理可得 PMD

25、QCD ，所以 CD=DM ，标准文案实用文档，综上所述，线段 ED 的长度保持不变点评： 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题12 如图 1 ，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD ，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （ 1）如果 AB=AC ，BAC=90 ，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图 2 ，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为 垂直 ，线段 CF、 BD 的数量关系为 相等 ；当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明

26、理由；（2）如果 AB AC ，BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当 ACB 满足什么条件时， CF BC（点 C、 F 不重合），并说明理由考点 ： 全等三角形的判定与性质专题 ： 压轴题；开放型标准文案实用文档分析： （ 1 ）当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立由正方形 ADEF 的性质可推出 DAB FAC，所以 CF=BD ，ACF= ABD 结合BAC=90 ，AB=AC ，得到BCF= ACB+ ACF=90 即CF BD （ 2 ）当ACB=45 时，过点 A 作 AG AC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90 ，可推出 ACB=AGC ，所以 AC=AG ，由（ 1 ）可知 CFBD 解答： 证明：（1 ）正方形 ADEF 中， AD=AF ，BAC= DAF=90 ，BAD=