计量师测量不确定度评定与表示答案.docx

1、计量师测量不确定度评定与表示答案一思考题1 什么是概率分布 ? 答：概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函 数，该函数称为概率密度函数。2试写出测量值 X落在区间 a,b 内的概率 p 与概率密度函数的函数关系式，并说明其物 理意义。b答： p a X b p xdxa式中， p x 为概率密度函数，数学上积分代表面积。物理意义 :概率分布曲线X 1 xini1有限次测量时，实验标准偏差s是标准偏差 的估计值。即：概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示，如图所示。测量值 X落在区间 a,b 内的概率 p 可用上式计算 由此可见， 概率 p 是概

2、率分布曲线下在区间 a,b 内包含的面积， 又称包含概率或置信水平。当 p 0.9 ，表明测量值有 90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的 90%。在（一 +）区间内的概率为 1，即随机变量在整个值集的概率为 l 。当 p 1（即概率为 1） 表明测量值以 100%的可能性落在该区间内， 也就是可以相信测量值必定在此区间内。 3 表征概率分布的特征参数是哪些 ?答：期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。4 期望和标准偏差分别表征概率分布的哪些特性 ?答: 期望 影响概率分布曲线的位置； 标准偏差 影响概率分布曲线的形状，表明测量值的 分散性。5 有限次测量时，期望和标准偏

3、差的估计值分别是什么 ?答：有限次测量时，算术平均值 X 是概率分布的期望 的估计值。即：6正态分布时，测量值落在 k 区间内， k 2 时的概率是多少 ?是如何得来的 ?答：测量值 X 落在 a,b 区间内的概率为b 1 b x 2 2pa X b p xdx e 2 dx u2 u1a 2 a式中， u x /已知： k ， k 2，令 x ，设 2 ，即：u / 2，u1 z1 2,u2 z2 2p x 2 2 2 2 2 1 2 0.97725 1 0.9545 当 k 2 时，置信概率为 95.45%7 有哪些常用的概率分布 ?它们的置信区间半宽度与置信因子分别有什么关系 ?答：均匀

4、分布：置信区间半宽度等于 3 倍的 x 标准偏差。2三角分布：置信区间半宽度等于 6 倍的 x 标准偏差。梯形分布：置信区间半宽度等于倍的 x 标准偏差。1 2反正弦分布：置信区间半宽度等于 2 倍的 x 标准偏差。8 什么叫相关性 ?表示相关性的参数是什么 ? 答：相关性审是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。参数是 X,Y 。9 协方差与相关系数是什么关系 ?相关系数有什么特点 ?答：协方差估计值 sx,y 与相关系数估计值 r x,y 的关系 r x,y s x,ysxsy 相关系数是一个纯数字，在 -1 到+1 之间，表示两个量的相关程度。相关系数为零，表 示两个量不相关；相

5、关系数为 +1，表明 X与 Y全部相关（正强相关） ，即随着 X增大 Y 也增 大；相关系数为 -1，表明 X与Y负相关（负强相关） ，即随着 X增大 Y变小。10 如何得到协方差与相关系数的估计值 ?协方差估计值及相关系数估计值分别用什么符号 表示 ?答：协方差的估计值是通过有限次测量的数据得到的， 相关系数的估计值也是通过有限次测 量的数据得到的。协方差估计值的符号为 s x,y ，相关系数估计值的符号为 r x,y 。 11 一般情况下评定测量不确定度有哪些步骤 ?答：测量不确定度评定步骤：（1） 明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述；（2） 列出所有影响测量不确定度的

6、影响量 （即输入量 xi） ，并给出用以评定测量不确定度的数学模型；(3)评定各输入量的标准不确定度 u xi ，并通过灵敏系数 ci 进而给出与各输入量对应的不确定度分量 ui y ci u xi ；(4)计算合成标准不确定度 uc y ，计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关 性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；(5)列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息；(6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的置信水平 p 确定包含因子kp；(7)在无法确定被测量 y 的概率分布时，或该测量领域有规定时，也可以直接取包含因子 k 2

7、 ；(8)由合成标准不确定度 uc y 和包含因子 k 或 k p ，的乘积， 分别得到扩展不确定度 U 或(9)给出测量不确定度的最后陈述，其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。利用这些 信息，至少应该使用户能从所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的合成标准不确定度。 12 测量不确定度的来源可以从哪些方面考虑 ?答：被测量的定义不完整 复现被测量的测量方法不理想 取样的代表性不够 对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善 对模拟式仪器的读数存在人为偏移测量仪器的计量性能的局限性 测量标准或标准物质提供的量值的不准确 引用的数据或其他参量值的不准确 测量方法和测量程序的

8、近似和假设 在相同条件下被测量在重复观测中的变化 13 什么是测量的数学模型 ?建立数学模型时要注意什么 ? 答：测量的数学模型是指测量结果与其直接测量的量、 引用的量以及影响量等有关量之间的 数学函数关系。建立数学模型时应注意问题：(1)数学模型可以用已知的物理公式得到， 也可以用实验方法确定， 甚至只用数值方程给出。(2)数学模型不是惟一的，对于同一个被测量采用不同的测量方法和不同的测量程序，就会 有不同的数学模型。(3)数学模型不一定是完善的，它与人们对规律的认识程度有关。为了能在数学模型中充分 反映实际的影响量，尽可能采用长期积累的数据建立经验模型。(4)有时被测量 Y的输入量 X1，

9、 X2 ， ,X N本身又取决于其他量，他们各自与其他量间有 函数关系， 还可能包含对系统影响修正的修正值或修正因子， 导致十分复杂的函数关系。 这 时候，数学模型可能是一系列关系式。(5)如果数据表明数学模型中没有考虑某个具有明显影响的影响量时，应在模型中增加输入量，直至测量结果满足测量准确度的要求。14 标准不确定度有哪几种评定方法 ? 答： 标准不确定度分量的 A类评定方法 标准不确定度分量的 B 类评定方法15 如何用 A类评定方法评定标准不确定度分量 ?答：对被测量 X 进行 n次独立观测，得到数据列： x1,x2 xn计算测量结果 x 1 xini1计算实验标准偏差 s xnxi

10、x i1n1计算 A 类标准不确定度 u X s X s x n16 规范化常规测量时可以如何进行 A类标准不确定度评定 ?答：规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件下的测量， 如日常按检定规程 进行的大量同类被测件的检定， 当可以认为对每个同类被测量的实验标准偏差相同时， 通过 累积的测量数据，计算出自由度充分大的合并样本标准偏差，以用于评定每次测量结果的 A 类标准不确定度。在规范化的常规测量中， 测量m个同类被测量， 得到m组数据，每组测量 n次，第j组的平均值 为xi ，则合并样本标准偏差 sp为mnxij x jspj1i1m n 1对每个量的测量结果 xj 的 A类标准

11、不确定度uA x j sp / n自由度为 m n 1 。若对每个被测件的测量次数 nj 不同，即各组的自由度 j 不等，各组的实验标准偏差为sj ，则mspjs2j j1 mj j1式中 , j nj 1。对于常规的计量检定或校准，当无法满足 n10时，为使得到的实验标准差更可靠，如果有可能，建议采用合并样本标准差 sp 作为由重复性引入的标准不确定度分量。17 试述标准不确定度 B类评定的步骤 ?答：确定区间半宽度 d 假设测量值在区间内的概率分布3查表确定 k计算 B类标准不确定度 uB u/k18 试述 B类评定时可能的信息来源及如何确定可能值的区间半宽度 ?答： 利用的信息包括：1以

12、前的观测数据；2对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件 （ 制造厂的技术说明书 ）； 校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等； 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据； 其他有用信息。确定可能值的区间半宽度制造厂的说明书给出测量仪器的最大允许误差为， 并经计量部门检定合格， 则可能 值的区间为 （ 一， ） ，区间的半宽度为a校准证书提供的校准值，给出了其扩展不确定度为 U ，则区间的半宽度为aU 由手册查出所用的参考数据，同时给出该数据的误差不超过，则区间的半宽度为a 由有关资料查得某

13、参数 X 的最小可能值为 a 和最大可能值为 a ，区间半宽度可以用下式 确定a 1 a a2数字显示装置的分辨力为 1 个数字所代表的量值 x ，则取a x 2 当测量仪器或实物量具给出准确度等级时，可以按检定规程或有关规范所规定的该等 别或级别的最大允许误差或测量不确定度进行评定。根据过去的经验判断某值不会超出的范围来估计区间半宽度 值。 必要时，用实验方法来估计可能的区间。19 B类评定时，如何假设可能值的概率分布和确定 k 值?答： 概率分布的假设a 被测量受许多相互独立的随机影响量的影响， 这些影响量变化的概率分布各不相同， 但 各个变量的影响均很小时，被测量的随机变化服从正态分布。

14、b 如果有证书或报告给出的扩展不确定度是 U90,U95或U95, 除非另有说明，可以按正态 分布来评定 B 类标准不确定度。c 一些情况下， 只能估计被测量的可能值区间的上限和下限， 测量值落在区间外的概率几 乎为零。若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同，则可假设为均匀分布。d 若落在该区间中心的可能性最大，则假设为三角分布。e 若落在该区间中心的可能性最小， 而落在该区间上限和下限处的可能性最大， 则假设为 反正弦分布。f 对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时，一般假设为均匀分布。实际工作中， 可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。 例如： 无线电计量中失配 引起的不确定度为

15、反正弦分布；几何量计量中度盘偏心引起的测角不确定度为反正弦分布； 测量仪器最大允许误差、 分辨力、 数据修约、 度盘或齿轮回差等导致的不确定度按均匀分布 考虑； 两个量值之和或差的概率分布为三角分布； 按级使用量块时， 中心长度偏差导致的概 率分布为两点分布。在JJF 1059 1999的附录 B中给出了各种情况下概率分布的估计，包括正态分布、均匀 分布、三角分布、反正弦分布、两点分布、投影分布的情况。 k 值的确定a已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时，则该倍数 （包含因子 ）就是 k 值。b假设概率分布后，根据要求的置信概率查表得到置信因子 k 值。例如：如果数字显示仪器的分辨力为

16、 x ，则区间半宽度 x / 2 ，可假设为均匀分布，查表得ak 3 ，由分辨力引起的标准不确定度分量为 uB x 0.29 xB k 2 3 x若某数字电压表的分辨力为 1 V （ 即最低位的一个数字代表的量值 ） ，则由分辨力引起的标准不确定度分量为： uB X 0. 291 V 0.29 V 。 被测仪器的分辨力会对测量结果的重复性测量有影响。 在测量不确定度评定中， 当重复 性引入的标准不确定度分量大于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时， 可以不考虑分 辨力所引入的不确定度分量。 但当重复性引人的不确定度分量小于被测仪器的分辨力所引入 的不确定度分量时， 应该用分辨力引人的不确定度

17、分量代替重复性分量。 若被测仪器的分辨 力为 x ，则分辨力引人的标准不确定度分量为 0.29 x 。3常用的概率分布与置信因子的关系见表 1和表 2。表1正态分布的置信因子 k值与概率 p 的关系pO.50O.90O.95O.990.9973k0.6761.641.962.583表2几种非正态分布概率分布的置信因子 k 值概率分布均匀分布反正弦分布三角分布梯形分布两点分布k ( p -100 )3266/1 21注： 为梯形上底半宽度与下底半宽度之比。4标准不确定度 B类评定的实例【案例 1】 校准证书上给出标称值为 1000g的不锈钢标准砝码质量 ms 的校准值为 1000000325g，

18、且校准不确定度为 24 g （按三倍标准偏差计 ） ，求砝码的标准不确定度。【案例分析】 标准不确定度的评定：由于 a U 24 g,k 3 ，则砝码的标准不确定度为 u ms 24 g/3 8 g。【案例 2】校准证书上说明标称值为 lO 的标准电阻在 23时的校准值为 10.000074 ，扩 展不确定度为 90 , ，置信水平为 99，求电阻的相对标准不确定度。【案例分析】 标准不确定度的评定：由校准证书的信息可知aU95 90 ,p 0.99假设为正态分布，查表得到 k 2.58 ；则电阻校准值的标准不确定度为uB Rs 90 /2.58 35相对标准不确定度为： uB Rs /RS

19、3.5 10 6【案例 3】手册给出了纯铜在 20时线热膨胀系数为 20 Cu 为 16. 52 10-6 -1，并说明-6 -1此值的误差不超过 O.40 10-6-1，求 20 Cu 的标准不确定度。【案例分析】标准不确定度的评定：根据手册， a=O.4010-6-1，依据经验假设为等概率地落在区间内，即均匀分布，查表得 k 3 ，铜的线热膨胀系数的标准不确定度为u 20 0.40 10 6-1/ 3 =0.23 10-6-1【案例 4】由数字电压表的仪器说明书得知，该电压表的最大允许误差为 （14 10 -6 读数+210 -6 量程） ，用该电压表测量某产品的输出电压，在 10V量程上

20、测 lV 时，测量 10次，其平均值作为测量结果，得 V =0.928571V ，问测量结果的不确定度中数字电压表仪器 引入的标准不确定度是多少 ? 【案例分析】标准不确定度的评定：电压表最大允许误差的模为区间的半宽度a 14 10 6 0.928571V 2 10 6 10V 33 10 6V 33 V设在区间内为均匀分布，查表得到 k 3 ，则测量结果中由数字电压表仪器引入的标准不 确定度为： uV 33 V/ 3 19 V 。案例 5】某法定计量技术机构要评定被测量 Y的测量结果 y 的合成标准不确定度 uc(y)时，y 的输入量中， 有碳元素 C 的相对原子质量， 通过资料查出 C 的

21、相对原子质量为 A (C)=12.0107(8) 。资料说明这是国际纯化学和应用化学联合会给出的值。 如何评定由于 C 的相对 原子质量不准确引入的标准不确定度分量 ?【案例分析】根据 20XX年国际纯化学和应用化学联合会给出的值， C 的相对原子质量为 A(C)=12.0107(8) ，括号内的数是标准不确定度，与相对原子质量的末位对齐。所以碳元素C 的相对原子质量为 A (C)=12.0107 ，其标准不确定度为 uc =0.0008 。( 四 ) 合成标准不确定度的计算 无论各标准不确定度分量是由 A 类评定还是 B 类评定得到， 合成标准不确定度是由 各标 准不确定度分量合成得到的。测

22、量结果 y 的合成标准不确定度用符号“。 (y) 表示。1测量不确定度的传播律当被测量的测量结果 y 的数学模型为线性函数 y 一厂 (z，zz， XN)时，测量结果 y 的合成 20 如何计算出 B 类标准不确定度的自由度 ?答： B 类标准不确定度的自由度可由下式估计1 u2 xi 1 u xii222 u xi 2 u xiu xi /u xi 估计为 u xi /u xi ，根据经验， 按所依据的信息来源的不可信程度来判断u xi 的相对标准不确定度，然后按上式计算出自由度， 列于下表。答：uc yNfi 1 xi2N 1 N f f u2 xi 2 f f r xi ,x ji 1

23、j i 1 xi xju xi u xj （ 1）式中： y输出量的估算值，即被测量的测量结果；表 B 类标准不确定度的自由度估计u xi /u xiOO.10O.20O.25O.30O.40O.505012863221试写出测量不确定度的传播律，并说明公式中各项的含义。xi , x j 输入量的估算值， i j ；N 输入量的数量；f , f 偏导数，即灵敏系数，可表示为 ci,cj；xi xj u xi ,u xj 输入量 xi和 xj 的标准不确定度r xi ,xj 输入量 xi和 xj 的相关系数估计值；r xi,xj u xi u xj u xi,xj 输入量 xi和 xj的协方差估

24、计值。22 输入量间不相关时计算合成标准不确定度有哪些简化公式 ?答：(1) 当各输入量间不相关，即时 r xi,xj =0时，公式 (1) 的简化形式为uc yN f 2 i 1 xiu2 xi (2)若设城 (Y) 是测量结果 y 的标准不确定度分量fxiu xi u y ( 3)则 uc y 由被测量 y 的标准不确定度分量合成时，可用式 (4) 评定uc y ui2 y (4)对于直接测量，可简单地写成ucui2 (5)23 输入量间正强相关时计算合成标准不确定度有什么特点 答：当所有输入量都相关，且相关系数为 1 时，合成标准不确定度 uc y 为uc y xf u xii 1 xi

25、当所有输入量都相关，且相关系数为 +1，灵敏系数为 1 时，合成标准不确定度 uc y 为Nuc y u xii1特点： 由此可见， 当输入量都正强相关， 且灵敏系数均为 l 时，合成标准不确定度是各输入 量标准不确定度分量的代数和。也就是说，强相关时不再是方和根法合成。【案例】某计量检定机构在评定某台计量仪器的重复性 s 时，通过对某稳定的量 Q重复 观测了 n 次，按贝赛尔公式，计算出任意观测值 qk 的实验标准偏差 sqk =0.5 ，然后，考虑 该仪器读数分辨力 q=1.0 ，由分辨力导致的标准不确定度为u q =0.29 q =O. 29 1.0=0.29将 s qk 与 u q 合

26、成，作为仪器示值的重复性不确定度 u qk2 2 2 2u qk = s2 qk u2 q = 0.52 0.202 0. 580.6【案例分析】重复性条件下，示值的分散性既决定于仪器结构和原理上的随机效应的影 响，也决定于分辨力。依据 JJF 1059 1999 第 6.11 节指出：“同一种效应导致的不确定度 已作为一个分量进入 uc (y) 时，它不应再包含在另外的分量中”。该机构的这一评定方法， 出现了对分辨力导致的不确定度分量的重复计算， 因为在按贝 塞尔方法进行的重复观测中的每一个示值， 都无例外地已受到分辨力影响导致测量值 q 的分 散，从而在 s qk 中已包含了 q效应导致的

27、结果，而不必再将 u q 与 s qk 合成为 u q 。 该机构采取将这二者合成作为 u qk 是不对的。有些情况下， 有些仪器的分辨力很差， 以致分辨不出示值的变化。 在实验中会出现重复 性很小，即： s qk u q 。特别是用非常稳定的信号源测量数字显示式测量仪器，在多 次对同一量的测量中，示值不变或个别的变化甚小，反而不如 u q 大。在这一情况下，应 考虑分辨力导致的测量不确定度分量，即在 s qk 与 u q 两个中，取其中一个较大者，而不能同时纳入。24 用什么方法可以获得协方差和相关系数的估计值 ?答：(1) 用同时观测两个量的方法确定协方差估计值对两个输入量 Xi及 X j

28、进行同时重复观测， 设xik 、x jk分别是输入量 Xi及 X j的观测值。 k为测量次数 (k l ，2， n)。xi ，xj 己分别为第 i个输入量和第 j次输入量的 k次 测量的算术平均值； xi与 xj的协方差估计值可由下式计算1nu xi,x j xik xi xjk xjnn 1 i 1例如：一个振荡器的频率与环境温度可能有关，则可以把频率厂和环境温度 f 作为两个输入量，即 xi t，xj f ，同时观测每个温度下的频率值，得到一组 tk， fk数据，共观测n组， k 1，2， n 。计算算术平均值 t和 f ，则由下式可以计算它们的协方差1nu f ,t1 tk t fnn

29、1 k 1如果协方差为零，说明频率与温度无关，如果协方差不为零，就显露出它们间的相关程度。(2)用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值nxi X yi Yr x,y i 1 nn 1sxs y式中， s x 和 s y 分别为 x 和 y 的实验标准差。25扩展不确定度 U和UP的区别 ?答：当包含因子的值 k 取 2 或 3 时，扩展不确定度用 U 表示。当被测量 Y可能值 y的分布类型估计为正态时，扩展不确定度用 Up 表示。26用 uc和U 表示测量结果的不确定度时分别有什么不同的物理概念 ?答：合成标准不确定度：得到各标准不确定度分量 ui y 后，需要将各分量合成以得到被测 量Y

30、 的合成标准不确定度 uc y 。合成前必须确保所有的不确定度分量均用标准不确定度表 示，如果存在用其他形式表示的分量，则须将其换算为标准不确定度。扩展不确定度： 扩展不确定度等于合成标准不确定度乘以包含因子 k 后的值。 对于合成 标准不确定度而言，它是成倍地被扩大了的一个值。27 用什么方法确定扩展不确定度 U ?答：选定包含因子 k，一般 k=2或 3，由合成标准不确定度 uc乘以包含因子 k 得到, 给出 U， 指明 k.28用什么方法确定扩展不确定度 UP ?答：根据概率分布确定包含因子 kp,由合成标准不确定度 uc乘以包含因子 kp得到 , 给出 Up，指明 kp 及分布。29常用的不确定度符号如何正确书写 ?答：（ 1）标准不确定度的符号： u（ 2）标准不确定度分量的符号： ui（ 3）相对标准不确定度的符号： ur或urel（ 4）合成标准不确定度的符号： uc（ 5）扩展标准不确定度的符号： U（6）相对扩展标准不确定度的符号： U r或Urel（7）明确规定包含概率为 p时的扩展标准不确定度的符号： U p（ 8）包含因子的符号： k