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1、完整版全国考研数学三真题2021 年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?数学三?试题一、选择题 :1 8 小题每题 4 分，共 32 分1假设函数 f ( x)1cosx, x0 在 x 0 处连续，那么axb,x0 Aab1 ab1 ab 0 2B2CD ab 22二元函数 zxy(3xy) 的极值点是 A (0,0)B (0, 3)C (3, 0)D (1,1)3设函数 f ( x) 是可导函数，且满足 f ( x) f (x)0 ，那么 A f (1)f (1)B f (1)f ( 1) C f (1)f ( 1)D f (1)f (1)4 假设级数1k ln(11收敛，那么 ksin)

2、n 2nnA 1B 2C 1D 25设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，那么 AET不可以逆 T 不可以逆BE CE2T不可以逆 E 2T不可以逆D2002101006矩阵 A 021， B020 ， C020，那么001001002A A,C 相似， B,C 相似B A, C 相似， B,C 不相似C A,C 不相似， B,C 相似D A,C 不相似， B,C 不相似7设 A, B ， C 是三个随机事件，且A,C 相互独立， B, C 相互独立，那么 AB与C相互独立的充分必要条件是第1页共16页 A A, B 相互独立B A, B 互不相容C AB,C相互独立D AB,C

3、互不相容8设 X1, X 2, X n (n2) 为来自正态整体 N ( ,1) 的简单随机样本，假设1 nXi ，那么Xn i1以下结论中不正确的选项是 n)2 遵从2 分布22 分布 A( XiB 2 XnX1 遵从i1nX)2遵从 2分布) 2遵从2 分布 C( Xi D n( Xi1二、填空题此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分. 把答案填在题中横线上9 (sin 3 x 2 x2 ) dx 10差分方程 yt 1 2 yt 2t 的通解为 11设生产某产品的平均本钱 C (Q ) 1 e Q ，其中产量为 Q ，那么边缘本钱为 .12设函数 f ( x, y) 拥有一阶连

4、续的偏导数，且 df ( x, y) yeydx x(1 y)ey dy ，f (0,0) 0 ，那么 f ( x, y)1 0 113设矩阵 A 112， 1 ,2 , 3 为线性没关的三维列向量，那么向量组 A 1, A 2, A 3011的秩为14设随机变量 X 的概率分布为 P X21，PX 1a ，P X 3b ，假设 EX0 ，2那么 DX第2页共16页三、解答题15此题总分值 10 分x求极限 limx tet dt03x 0x16此题总分值 10 分计算积分y32 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 yx 与 x 轴为界线的无界x24)D (1y地域17此题总分值 10

5、分求 limnk2 ln 1knk1 nn第3页共16页18此题总分值 10 分方程11内有实根，确定常数 k 的取值范围ln(1 x)k 在区间 (0,1)x第4页共16页19此题总分值 10 分设 a01,a10, an 11 (nan an 1 )(n 1,2,3 ), ， S( x) 为幂级数an xn 的和函数n1n 0 1证明 an xn 的收敛半径不小于 1n0（2证明 (1 x)S (x) xS(x) 0( x ( 1,1) ，并求出和函数的表达式第5页共16页20此题总分值 11 分设三阶矩阵 A1 ,2 , 3 有三个不同样的特色值，且 3 1 2 2 . 1证明： r (

6、 A)2；2假设12 ,3 ，求方程组 Ax的通解21此题总分值 11 分设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 x22 ax32 2x1x2 8x1x3 2x2x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为 1 y12 2 y22 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q 第6页共16页22此题总分值 11 分设随机变量 X , Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P X 0 P X 2 1 ，Y 的概率密度22 y,0 y 1为 f ( y) 0,其他（1求概率 P Y EY；（2求 Z X Y 的概率密度第7页共16页23此题总分值 11 分某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一

7、物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量 是的，设 n 次测量结果 X1, X2 , X n 相互独立且均遵从正态分布 N (, 2). 该工程师记录的是n次测量的绝对误差,(1,2, , ) ，利用估计参数ZiX iinZ1, Z2 , , Zn（1求 Zi 的概率密度；（2利用一阶矩求 的矩估计量；（3求参数 最大似然估计量第8页共16页2021 年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?数学三?试题答案一、选择题 :1 8 小题每题4 分，共 32 分1cos x1 x1 ， lim1解： limf ( x)limlim2f ( x)bf (0) ，要使函数在 x 0x 0x 0axx 0

8、ax2ax 0处连续，必定满足1bab1 所以应入选 A2a22解： zy(3xy)xy3y2xyy2 ， z3xx22xy ，xy2 z2 y,2 z2x,2 z2 z32xx2y2xyyxz3y2xy y20解方程组x，得四个驻点 对每个驻点考据 ACB2 ，发现只有在点z3xx22xy0y(1,1) 处满足 ACB230，且AC20 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选 D3解：设 g(x)( f ( x)2 ，那么 g ( x)2 f ( x) f(x)2是单调增加函数也0 ，也就是 f ( x)2f (2f (1)f (1) ，所以应入选 C就获取 f (1)1)41112

9、11 k 11解： ivnk ln(11 1 1o(1时 sin nn )n kn2nn2k) n2 n2 on2显然当且仅当 (1k)0 ，也就是 k1 时，级数的一般项是关于 1的二阶无量小，级数n收敛，从而选择 C5解：矩阵T 的特色值为 1和 n1个0，从而 ET , ET,E 2T,E 2T 的特色值分别为 0,1,1,1； 2,1,1,1 ； 1,1,1,1 ； 3,1,1, ,1 显然只有 ET 存在零特征值，所以不可以逆，应入选 A第9页共16页6解：矩阵 A, B 的特色值都是12 2,31可否可对解化，只需要关心2 的情况000关于矩阵 A ， 2EA001，秩等于1 ，也

10、就是矩阵 A 属于特色值2 存在两001个线性没关的特色向量，也就是可以对角化，也就是AC010关于矩阵 B ， 2EB000，秩等于2 ，也就是矩阵 A 属于特色值2 只有一001个线性没关的特色向量，也就是不可以对角化，自然B, C 不相似应选择 B7解：P( AB)C ) P( ACAB )P(AC)P( BC)P( ABC )P( A) P(C) P( B)P(C)P( ABC )P(A B) P(C) (P( A)P(B)P( AB ) P(C)P(A) P(C)P( B)P(C ) P(AB) P(C )显然， AB与 C 相互独立的充分必要条件是P( ABC)P( AB)P(C)

11、 ，所以选择 C 8解 ： 1 显 然 ( X i) N (0,1)( X i) 22 (1),i 1,2,n 且 相 互 独 立 ， 所 以n)22 (n) 分布，也就是 A结论是正确的；( Xi遵从i 1n22(n22 2( XiX )(n1)S1)S(n1)，所以 C结论也是正确的；2i1 3注意1n( X) N (0,1)n( X22结论也是XN( , )(1) ，所以 Dn正确的； 4关于选项 B： ( XnX1) N (0,2)X nX1 N (0,1)1 ( X n X1 )2 2 (1)，所22以 B结论是错误的，应入选择 B第 10页共16页二、填空题此题共 6 小题，每题

12、4 分，总分值 24 分. 把答案填在题中横线上(sin 3 x2x2 )dx2x2 dx39解：由对称性知20210解：齐次差分方程 yt 12 yt0 的通解为 yC 2x ；设 yt 1 2 yt 2t 的特解为 ytat 2t，代入方程，得 a1 ；12所以差分方程 yt12 yt2t 的通解为 yC 2tt 2t.211解：答案为1(1Q) e Q 平均本钱 C(Q)1e Q ，那么总本钱为 C (Q)QC (Q)Q Qe Q ，从而边缘本钱为C (Q ) 1 (1 Q )e Q .12解： df (x, y)yey dx x(1 y)eydyd( xyey ) ，所以 f (x,

13、y)xyeyC ，由 f (0,0)0 ，得 C 0 ，所以 f (x, y)xyey 10110110113解：对矩阵进行初等变换A112011011 ，知矩阵 A 的秩011011000为 2，由于 1,2 ,3 为线性没关，所以向量组 A1, A2, A 3的秩为 214解：显然由概率分布的性质，知a b112111EXa3 b a 3b 10 ，解得 a21,b429，DX EX29 4EX 22 a 9bE2(X )22三、解答题15此题总分值 10 分解：令 x tu ，那么 txu , dtdu ，xte t dtxuex u du0x0xtxxuxuxxte dteueduue

14、duxe2limlim0lim00limx 0x3x 0x3x 0x3x 03x3216此题总分值 10 分第 11页共16页解：y3xy3y4 ) 2 dxdydxy4 )2 dyD (1 x200 (1 x21xd (1x2y4 )4 0dx(1x2y4 )20111dx124 01 x21 2x28217此题总分值 10 分解：由定积分的定义nklnklim1 nklim21ln 1n1 nnnn k 1nk11x)dx22ln(10k1nx ln(1 x)dx01418此题总分值 10 分解：设f ( x)11(0,1)，那么ln(1x), xxf (x)11(1x) ln 2 (1

15、x)x2(1x) ln 2 (1x)x2x2 (1x) ln 2 (1x)令 g (x)(1x)ln 2 (1x)x2 ，那么 g(0)0, g(1)2ln 2 21g (x)ln 2 (1x)2ln(1x)2x, g (0)0g (x)2(ln(1x)x)0, x(0,1) ，所以 g ( x) 在 (0,1)上单调减少，1x由于 g(0)0，所以当 x (0,1)时， g (x) g0)0 ，也就是 g( x) g ( x) 在 (0,1) 上单调减少，当x (0,1) 时， g( x)g(0)0 ，进一步获适当x (0,1) 时， f (x)0 ，也就是 f (x) 在(0,1) 上单调减少limf ( x)lim11limxln(1x)1， f (1)11，也就是获取