高考数学考点归纳之函数的奇偶性与周期性.docx

1、高考数学考点归纳之函数的奇偶性与周期性 高考数学考点归纳之函数的奇偶性与周期性一、基础知1函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件若f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(x)f(x)f(x)f(x)01f(x)为偶函数；(2)f(x)f(x)f(x)f(x)01f(x)为奇函数2函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都

2、有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(xT)f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二、常用结论1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则一定有f(0)0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶

3、奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)3函数图象的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称 典例判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)由f(x)，

4、可知故函数f(x)的定义域为(6,0)(0,6，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由x21x1，故函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由1x0或0x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数法三：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数题组训练1(2018福建期末)下列函数为偶函数的是()Aytan Byx2e|x|Cyxcos x Dyln|x|sin x解析：选B对于选项A，易知yt

5、an为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)x2e|x|，则f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)xcos x，则f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)ln|x|sin x，则f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x为非奇非偶函数，故选B.2设函数f(x)，则下列结论错误的是()A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数解析：选Df(x)，则f(x)f(

6、x)f(x)是奇函数f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数 典例(1)(2019福建三明模拟)函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)()A2x B2xC2x D2x(2)(2018贵阳摸底考试)已知函数f(x)a(aR)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)解析(1)当x0时，x0，x0时，f(x)2x.f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.(2)法一：由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，所以aa，得2a，所以a1，所以f(x)1.因为ex11，所以01，111，所以01，11

7、0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为_解析：法一：当x0，所以f(x)x2x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x2，所以当x0时，f(x)x2x2，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为.答案：3(2018合肥八中模拟)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析：f(x)xln(x)为偶函数，f(x)f(x)，即xln(x)xln(x)，从而ln()2x20，即ln a0，故a1.答案：1 典例(1)(2018开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x(0,2时，f(x)2xlog2x，则f

8、(2 019)()A5 B.C2 D2(2)(2018江苏高考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_解析(1)由f(x)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)f(50443)f(3)f(12)f(1)(20)2.(2)由函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)f(1)，所以f(f(15)fcos.答案(1)D(2) 题组训练1(2019山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f_.解析：

9、f(x2)，f(x4)f(x)，ff，又2x3时，f(x)x，f，f.答案：2(2019哈尔滨六中期中)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)则f_.解析：由题意可得fff422，f.答案：A级1下列函数为奇函数的是()Af(x)x31 Bf(x)lnCf(x)ex Df(x)xsin x解析：选B对于A，f(x)x31f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(x)lnlnf(x)，所以其是奇函数；对于C，f(x)exf(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(x)xsin(x)xsin xf(x)，所以其不是奇函数故选B.2(2019南昌联考)函数f(x)的图象()A关于

10、x轴对称 B关于y轴对称C关于坐标原点对称 D关于直线yx对称解析：选B因为f(x)3x3x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称3设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则f(7)()A3 B3C2 D2解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)所以f(7)f(7)log2(71)3.4若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)解析：选D因为f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)(exex)5设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)x2x，则f()A BC. D.解析：选C因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以fff.又当0x1时，f(x)x2x，所以f2，则f.6(2019益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，当x(3,0时，f(x)x1，当x(0,2时，f(x)log2x，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值等于()A403 B405C806 D809解析：选B定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x(0,2