反比例函数及其图象教案.docx

1、反比例函数及其图象教案反比例函数及其图象教案 反比例函数及其图象教学目标：1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.教学重点：结合图象分析总结出反比例函数的性质；教学难点：描点画出反比例函数的图象教学用具：直尺教学方法：小组合作、探究式教学过程：1、从实际引出反比例函数的概念我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比

2、例即vt=S（S是常数）；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：（S是常数）（S是常数）一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数当矩形面积是常数时，长a是宽b的反比例函数在现实生活中，也有许多反比例关系的例子可以组织学生进行讨论下面的例子仅供2、列表、描点画出反比例函数的图象例1、画出反比例函数与的图象解：列表x-6-5-4-3123456-1-1.2-1.5-26321.51.2111.21.52-6-3-2-1.5-1.21说明：由于学生第

3、一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图一般地反比例函数（k是常数，）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）（1）的图象在第一、三象限.可以扩展到k>0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y

4、同号，因此，图象在第一、三象限.的讨论与此类似.抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.（2）函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.同样可以推出的图象的性质.（3）函数的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出，.如果x取值越来越大时，y的值越

5、来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出图象的性质.函数的图象性质的讨论与次类似.4、小结：本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.5、布置作业习题13.81-4教学设计示例2反比例函数及其图像一、素质教育目标（一）知识教学点1使学生了解反比例函数的概念；2使学生能够根据问题中的条件确定反

6、比例函数的解析式；3使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4会用待定系数法确定反比例函数的解析式.（二）能力训练点1培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2向学生渗透数形结合的教学思想方法.（三）德育渗透点1向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；2使学生体会事物是有规律地变化着的观点.（四）美育渗透点通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.二、学法引导教师采用类比法、观察法、练习法学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图

7、像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.三、重点难点疑点及解决办法1教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.2教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.3教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.4解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时

8、，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.四、教学步骤（一）教学过程提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？由学生先考虑及讨论一下.答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.看下面的实例：（出示幻灯）1当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；2当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速

9、度v是时间t的反比例函数呢？通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）对第2个实例也一样练习一：教材P129中1口答P1301根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）例1画出反比例函数与的图像提问：1画函数图像的关键问题是什么？答：合理、正确地选值列表2在选值时，你认为要注意什么问题？答：（1）由于函数图像的特点

10、还不清楚，多选几个点较好；（2）不能选，因为时函数无意义；（3）选整数较好计算和描点这个问题中最核心的一点是关于的问题，提醒学生注意3你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性再让学

11、生观察黑板上的图，提问：1当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？2当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大3反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用练习二：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性

12、质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）例2已知y与成反比例，并且当时，求时，y的值.用提问的方式对此题加以分析：（1）y与成反比例是什么含义？由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了：.（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.（5）你能否自己完成这道例题：由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.例3已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，求y与x的解析式.分析：一定要先写出y与x的函数表达式，要用x分别把，表示出来得，要注意不能写成

13、k，解：设，.由题意得.（二）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1什么是反比例函数？2反比例函数的图像是什么样的？3反比例函数的性质是什么？4命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.五、布置作业1教材P130中4，5，62选做：P130中B1，2六、板书设计138反比例函数及其图像引例：（1）例1：例2：例3：（2）1反比例函数：2反比例函数的性质探究活动已知：如图，一次函数的图像经过第

14、一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解：（1）过点B作轴于点H。在Rt中，由勾股定理，得又，点B（3，1）。设反比例函数的解析式为。点B在反比例函数的图像上，。反比例函数的解析式为。（2）设直线AB的解析式为。由点A在第一象限，得。又由点A在函数的图像上，可求得点A的纵坐标为。点B（3，1），点，解关于、的方程组，得直线AB的解析式为。令。求得点D的横坐标为。过点A作轴于点G由已知，直线经过第一、二、三象限，即。由此得。即。（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。证明如下：。由，得解得。经检验，都是这个方程的根。，不合题意，舍去。点A（1，3）。设过A（1，3）、B（3，1）两点的抛物线的解析式为。由此得即。设抛物线与x轴两交点的横坐标为。则令则。即。整理，得。，方程无实数根。因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。