版高考数学一轮复习第7章立体几何75直线平面垂直的判定与性质学案理.docx

1、版高考数学一轮复习第7章立体几何75直线平面垂直的判定与性质学案理75直线、平面垂直的判定与性质知识梳理1直线与平面垂直判定定理与性质定理2平面与平面垂直判定定理与性质定理3直线和平面所成的角范围：.4二面角范围0，5必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面诊断自测1概念思辨(1)

2、直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P73A组T1)若m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()mn； mn； n.A1 B2 C3 D0答案B解析不正确，直线n与不一定垂直，可能是平行或相交或在平面内均正确故选B.(2)(必修A2P67T2)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，若PAPBPC，则点O是ABC的_心；若PAPB

3、，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案外垂解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高，同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心3小题热身(1)(2017湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且n答案C解析由线

4、线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确故选C.(2)(2018辽宁五校联考)假设平面平面EF，AB，CD，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，现有下面四个条件：AC；AC；AC与BD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)答案解析如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BDEF.故要得到BDEF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有能保证这一条件题型1直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定定理(2016全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.

5、顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积利用线面垂直判定定理进行证明解(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，

6、又PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.角度2垂直关系中的探索性问题如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点(1)证明：AE平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存

7、在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由从BCCE取BE的中点H，CHBE入手分析解(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如右图四边形ABCD是矩形，O为AC的中点，又F为EC的中点，OF为ACE的中位线，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF.AE平面BDF.(2)当P为AE中点时，有PMBE.证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH.P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，

8、BCCE，H为BE的中点，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.方法技巧1证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理2线面垂直中的探索性问题探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在冲关针对训练(2018济南模拟)如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FAAC，EFA

9、C，AB，EFFA1.(1)求证：CE平面BDF；(2)求证：BE平面DEF.证明(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，连接FO.由题知EFOC1，因为EFAC，所以四边形CEFO为平行四边形，所以CEOF.又CE平面BDF，OF平面BDF，所以CE平面BDF.(2)因为平面ABCD平面ACEF，平面ABCD平面ACEFAC，FAAC，FA平面ACEF，故FA平面ABCD.连接EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形，所以EO平面ABCD，则EOBD.所以BDE为等腰三角形，BD2BO2OC2，BEDE.因为BD2BE2DE2，所以BEDE.同理在BEF中，BEEF，因为DEEF

10、E，所以BE平面DEF.题型2面面垂直的判定与性质(2017北京高考)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积首先分析已知中的垂直线段所在的平面，由于ABBC，取AC的中点是关键解(1)证明：因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，又PAACA，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.

11、(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.结论探究在典例条件下，证明：平面PBC平面PAB.证明由(1)知PABC，又BCAB且PAABA，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PBC平面PAB.方法技巧面面垂直的应用策略1证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理2已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直冲关针对训练(2015全国卷)如图，四边形AB

12、CD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，又BEBDD，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3，故x2，从而可得AEECED.所以EAC

13、的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为，故三棱锥EACD的侧面积为32.1.(2017全国卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析解法一：如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误故选C.解法二：(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1，0)，(1,0,1)，(1,1,0)，0，0，0，0，A1EBC1.故选C.2(2017河北唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点