pascal教程5图.docx

1、pascal教程5图第五章 图5.1 医院设置源程序名 hospital.*（pas, c, cpp）可执行文件名 hospital.exe输入文件名 hospital.in输出文件名 hospital.out【问题描述】 设有一棵二叉树，如图5-1： 1 / 2 3 / 4 5 其中，圈中的数字表示结点中居民的人口。圈边上数字表示结点编号，现在要求在某个结点上建立一个医院，使所有居民所走的路程之和为最小，同时约定，相邻接点之间的距离为l。如上图中，若医院建在：【输入】 第一行一个整数n，表示树的结点数。(n100) 接下来的n行每行描述了一个结点的状况，包含三个整数，整数之间用空格(一个或多

2、个)分隔，其中：第一个数为居民人口数；第二个数为左链接，为0表示无链接；第三个数为右链接。【输出】 一个整数，表示最小距离和。【样例】 hospital.in hospital.out 5 81 13 2 3 4 0 0 12 4 5 20 0 0 40 0 0【知识准备】 图的遍历和最短路径。【算法分析】 本题的求解任务十分明了：求一个最小路径之和。 根据题意，对n个结点，共有n个路径之和：用记号Si表示通向结点i的路径之和，则，其中Wj为结点j的居民数，g(i,j)为结点j到结点i的最短路径长度。下面表中反映的是样例的各项数据：jg(i,j)i12345Si101122013+14+112

3、+220+240=136210233113+04+212+320+340=217312011113+24+012+120+140=81423102213+34+112+020+240=130523120213+34+112+220+040=90 从表中可知S3=81最小，医院应建在3号居民点，使得所有居民走的路径之和为最小。 由此可知，本题的关键是求gi,j，即图中任意两点间的最短路径长度。 求任意两点间的最短路径采用下面的弗洛伊德（Floyd）算法。 （1）数据结构： w:array1.100of longing; 描述个居民点人口数 g:array1.100, 1.100of longin

4、t 初值为图的邻接矩阵，最终为最短路径长度 （2）数据的读入： 本题数据结构的原形为二叉树，数据提供为孩子标识法，分支长度为1，建立带权图的邻接矩阵，分下面两步： gi,jMax Max为一较大数，表示结点i与j之间无直接相连边 读入n个结点信息： for i:=1 to n do begin gi,j:=0; readln(wi,l,r); if l0 then begin gi,l:=l; gl,i:=l end; if r0 then begin gi,r:=l; gr,i:=l end; （3）弗洛伊德算法求任意两点间的最短路径长度 for k:=1 to n do for i:=1

5、to n do if ik then for j:=1 to n do if (ij)and(kj)and(gi,k+gk,jgi,j) then gi,j:=gi,k+gk,j; （4）求最小的路程和min min:=max longint; for i:=1 to n do begin sum:=0; for j:=1 to n do sum:=sum+wi*gi,j; if sumb，则highi=highj+b(根据TiTj+b)， 若lowi-lowjb，则lowjlowi-b(根据TiTi-b)。 以上的调整终止视下列两种情况而定： （1）对所有的不等式Ti-Tjb，不再有high

6、i或lowj的调整； （2）若存在highilowi或highjb) then begin highi:=highj+b; flag:=true; end; 调整Ti的上界 if (lowi-lowjb) then begin lowj:=lowi-b; flag:=true; end; 调整Tj的下界 if (lowihighi) or (lowjhighj) then begin 无法满足当前不等式，则调整终止 noans:=true; 问题无解noans=true flag:=false; break; end; end; end; 下面以样例说明：【样例1】 8个不等式如下序号1234

7、5678i11234455j25511334b0-1154-1-3-3 顶点的关键值Ti的调整记录：初值第1轮调整第2轮调整第3轮调整high10000low10000high210000010000022low2-10000222high3100000555low3-10000455high4100000444low4-10000444high5100000111low5-10000111调整状态有变化有变化无变化【样例2】 5个不等式如下编号12345i11254j25511b-3-1-1-54 顶点关键值Ti的调整记录： 初值第一轮调整第二轮调整1high00low002high1000

8、0099999low-1000033high10000010000low-10000-100004high1000004low-10000-100005high100000-5low-100001调整情况high5T1 T2-T5-1，T5T2 T5-T1-5，T1T5 这三个不等式不能同时成立，因此问题无解。5.3 服务器储存信息问题源程序名 servers.?（pas, c, cpp）可执行文件名 servers.exe输入文件名 servers.in输出文件名 servers.out【问题描述】 Byteland王国准备在各服务器间建立大型网络并提供多种服务。 网络由n台服务器组成，用双

9、向的线连接。两台服务器之间最多只能有一条线直接连接，同时，每台服务器最多只能和10台服务器直接连接，但是任意两台服务器间必然存在一条路径将它们连接在一起。每条传输线都有一个固定传输的速度。(V, W)表示服务器V和W之间的最短路径长度，且对任意的V有(V, V)0。 有些服务器比别的服务器提供更多的服务，它们的重要程度要高一些。我们用r(V)表示服务器V的重要程度(rank)。rank越高的服务器越重要。 每台服务器都会存储它附近的服务器的信息。当然，不是所有服务器的信息都存，只有感兴趣的服务器信息才会被存储。服务器V对服务器W感兴趣是指，不存在服务器U满足，r(U)r(W)且(V, U)(V

10、, W)。 举个例子来说，所有具有最高rank的服务器都会被别的服务器感兴趣。如果V是一台具有最高rank的服务器，由于(V, V)0，所以V只对具有最高rank的服务器感兴趣。我们定义B(V)为V感兴趣的服务器的集合。 我们希望计算所有服务器储存的信息量，即所有服务器的|B(V)|之和。Byteland王国并不希望存储大量的数据，所以所有服务器存储的数据量(|B(V)|之和)不会超过30n。 你的任务是写一个程序，读入Byteland王国的网络分布，计算所有服务器存储的数据量。【输入】 第一行两个整数n和m，(1n30000，1m5n)。n表示服务器的数量，m表示传输线的数量。 接下来n行，

11、每行一个整数，第i行的整数为r(i)(1r(i)10)，表示第i台服务器的rank。 接下来m行，每行表示各条传输线的信息，包含三个整数a，b，t(1t1000，1a，bn，ab)。a和b是传榆线所连接的两台服务器的编号，t是传输线的长度。【输出】 一个整数，表示所有服务器存储的数据总量，即|B(V)|之和。【样例】 servers.in servers.out 4 3 9 2 3 1 1 1 4 30 2 3 20 3 4 20注：B(1)=1，2，B(2)=2，B(3)=2，3，B(4)=1，2，3，4。【知识准备】 Dijkstra算法，及其O(n+e)log2n)或O(nlog2n+e

12、)的实现。【算法分析】 本题的难点在于问题的规模。如果问题的规模在100左右，那么这将是一道非常容易的题目。因为O(n3)的算法是很容易想到的： （1）求出任意两点间的最短路径，时间复杂度为O(n3)； （2）枚举任意两点，根据定义判断一个节点是否对另一个节点感兴趣，时间复杂度为O(n3)。 当然，对于30000规模的本题来说，O(n3)的算法是绝对不可行的，即便降到O(n2)也不行，只有O(nlog2n)或O(n)是可以接受的。 既然现在可以得到的算法与要求相去甚远，要想一鼓作气得到一个可行的算法似乎就不是那么容易了。我们不妨先来看看我们可以做些什么。 判断一个节点V是否对节点W感兴趣，就是

13、要判断是否存在一个rank大于r(W)的节点U，(V, U)(V, r(W)+1)。如果是以W为起点，用Dijkstra算法求最短路径的话。当扩展到V时，发现V对W不感兴趣，即(V, W)(V, r(W)+1)。那么，如果再由V扩展求得到U的最短路径，则： (U, W)=(V, W)+(U, V)， (U, r(W)+1)=(V, r(W)+1)+(U, V)， 由于(V, W)(V, r(W)+1)， 所以(V, W)+(U, V)(V, r(W)+1)+(U, V)，即(U, W)(U, r(W)+1) 所以，U对W也不感兴趣。因此，如果以W为起点，求其他点到W的最短路径，以判断其他点是否

14、对W感兴趣，当扩展到对W不感兴趣的节点时，就可以不继续扩展下去了（只扩展对W感兴趣的节点）。 我们知道，所有感兴趣的点对不超过30n。因此，以所有点作起点，用Dijkstra算法求最短路径的时间复杂度可由平摊分析得为O(30(n+e)log2n)=O(30(n+5n)log2n)=O(nlog2n)。 由此，我们看到判断一节点是否对另一节点感兴趣，两个关键的步骤都可以在O(nlog2n)时间内完成。当然算法的系数是很大的，不过由于n不大，这个时间复杂度还是完全可以承受的。下面就总结一下前面得到的算法： （1）分别以rank=1, 2, , 10的节点（集合）作为起点，求该节点（集合）到所有点的

15、最短距离（其实也就是所有点到该节点（集合）的最短距离）； （2）以每个点作为起点，求该点到所有点的最短距离。当求得某节点的最短距离的同时根据求得的最短距离和该节点到rank大于起点的节点（集合）的最短距离，判断该节点是否对起点感兴趣。如果感兴趣，则找到一对感兴趣的点对，否则，停止扩展该节点，因为该节点不可能扩展出对起点感兴趣的节点。 总结解题的过程，可以发现解决本题的关键有三点：一是稀疏图，正因为图中边比较稀疏所以我们可以用Dijkstra+Priority Queue的方法将求最短路径的时间复杂度降为O(nlog2n)；二是rank的范围很小，rank的范围只有10，所以我们只用了10次Di

16、jkstra算法就求得了所有点到特定rank的最短距离；三是感兴趣的点对只有很少，由于感兴趣的点对只有30n，我们通过只计算感兴趣点对的最短路径，将求点与点间最短路径的时间复杂度降到了O(nlog2n)。这三点，只要有一点没有抓住。本题就不可能得到解决。5.4 间谍网络(AGE)源程序名 age.?（pas, c, cpp）可执行文件名 age.exe输入文件名 age.in输出文件名 age.out【问题描述】 由于外国间谍的大量渗入，国家安全正处于高度的危机之中。如果A间谍手中掌握着关于B间谍的犯罪证据，则称A可以揭发B。有些间谍收受贿赂，只要给他们一定数量的美元，他们就愿意交出手中掌握的

17、全部情报。所以，如果我们能够收买一些间谍的话，我们就可能控制间谍网中的每一分子。因为一旦我们逮捕了一个间谍，他手中掌握的情报都将归我们所有，这样就有可能逮捕新的间谍，掌握新的情报。 我们的反间谍机关提供了一份资料，色括所有已知的受贿的间谍，以及他们愿意收受的具体数额。同时我们还知道哪些间谍手中具体掌握了哪些间谍的资料。假设总共有n个间谍(n不超过3000)，每个间谍分别用1到3000的整数来标识。 请根据这份资料，判断我们是否有可能控制全部的间谍，如果可以，求出我们所需要支付的最少资金。否则，输出不能被控制的一个间谍。【输入】 输入文件age.in第一行只有一个整数n。 第二行是整数p。表示愿

18、意被收买的人数，1pn。 接下来的p行，每行有两个整数，第一个数是一个愿意被收买的间谍的编号，第二个数表示他将会被收买的数额。这个数额不超过20000。 紧跟着一行只有一个整数r，1r8000。然后r行，每行两个正整数，表示数对(A, B)，A间谍掌握B间谍的证据。【输出】 答案输出到age.out。 如果可以控制所有间谍，第一行输出YES，并在第二行输出所需要支付的贿金最小值。否则输出NO，并在第二行输出不能控制的间谍中，编号最小的间谍编号。【样例1】 age.in age.out 3 YES 2 110 1 10 2 100 2 1 3 2 3【样例2】 age.in age.out 4 NO 2 3 1 100 4 200 2 1 2 3 4【算法分析】 根据题中给出的间谍的相互控制关系，建立有向图。找出有向图中的所有强连通分量，用每个强连通分量中最便宜的点