海南省海口市中考数学综合性压轴题含详细解析.docx

1、海南省海口市中考数学综合性压轴题含详细解析2019年海南省海口九年级数学综合性压轴题(第1题图)1如图，抛物线yx2bxc与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)(1)求该抛物线的表达式(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连结CP，求PCE面积的最大值(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标解：(1)把点C(0，4)，B(2，0)的坐标分别代入yx2bxc中，得解得该抛物线的表达式为yx2x4.(2)令y0，即x2x40，解得x14，x22，点A(4，0)，SABCABOC12.设点P的坐标为(x，

2、0)，则PB2x.PEAC，BPEBAC，BEPBCA，PBEABC.()2，即()2，化简，得SPBE(2x)2.SPCESPCBSPBEPBOCSPBE(2x)4(2x)2x2x(x1)23，当x1时，SPCE的最大值为3.(3)OMD为等腰三角形，可能有三种情形：()当DMDO时，如解图所示DODMDA2，OACAMD45，ADM90，点M的坐标为(2，2),(第1题图解)()当MDMO时，如解图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DNON1，ANADDN3，又AMN为等腰直角三角形，MNAN3，点M的坐标为(1，3)()当ODOM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离

3、为42，即AC上的点与点O之间的最小距离为2.22，ODOM的情况不存在综上所述，点M的坐标为(2，2)或(1，3)(第2题图)2如图，抛物线yx2mxn与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A(1，0)，C(0，2)(1)求抛物线的表达式(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标解：(1)抛物线yx2mxn经过点A(

4、1，0)，C(0，2)，解得抛物线的表达式为yx2x2.(2)yx2x2，y，抛物线的对称轴是直线x.OD.点C(0，2)，OC2.在RtOCD中，由勾股定理，得CD.CDP是以CD为腰的等腰三角形，如解图，分别以C，D为圆心，CD长为半径画圆交对称轴于点P1，P2，P3，CP1DP2DP3CD.作CHx轴于H，HP1HD2，DP14.点P1，P2，P3.(第2题图解)(3)当y0时，0x2x2，解得x11，x24，点B(4，0)设直线BC的表达式为ykxb，将B，C两点的坐标代入，得解得直线BC的表达式为yx2.如解图，过点C作CMEF于点M，设点E，则F，EFa2a2a22a(0x4)S四

5、边形CDBFSBCDSCEFSBEFBDOCEFCMEFBN2aa24a(a2)2(0x4)a2时，S四边形CDBF的面积最大，S最大，此时点E(2，1)(第3题图)3如图所示，RtABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA3，OB4.将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为点D，AE为折痕，E在y轴上(1)在如图所示的直角坐标系中，求点E的坐标及AE的长(2)线段AD上有一动点P(不与A，D重合)自点A沿AD方向以每秒1个单位长度向点D作匀速运动，设运动时间为t(s)(0t3)，过点P作PMDE交AE于M点，过点M作M

6、NAD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数表达式当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)当t(0t3)为何值时，A，D，M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标解：(1)根据题意，得AOEADE，OEDE，ADEAOE90，ADAO3，在RtAOB中，AB5，设DEOEx，在RtBED中，根据勾股定理，得BD2DE2BE2，即22x2(4x)2，解得x，点E.在RtAOE中，AE.(2)PMDE，MNAD，且ADE90，四边形PMND是矩形APt1t，PD3t.AMPAED，PMDE，S矩形PMNDPMPD(3t)，S矩形PMNDt2t或S矩形PMND(t)2，当t时，

7、S最大.(3)ADM为等腰三角形有以下两种情况：()当MDMA时，点P是AD中点，AP，t1(s)当t时，A，D，M三点构成等腰三角形，过点M作MFOA于F，如解图，APMAFM，AFAP，MFMP，OFOAAF3，点M.,(第3题图解)()当ADAM3时，AMPAED，AP，t1(s)当t s时，A，D，M三点构成等腰三角形，过点M作MFOA于点F.如解图.AMFAMP，AFAP，FMPM，OFOAAF3，点M.4如图，在矩形ABCD中，AB5，AD，AEBD，垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连结AF，BF.(第4题图)(1)求AE和BE的长(2)若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移

8、的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)当点F分别平移到线段AB，AD上时，直接写出相应的m的值(3)如图，将ABF绕点B顺时针旋转一个角(0180)，记旋转中的ABF为ABF，在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P，Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由解：(1)在RtABD中，AB5，AD，由勾股定理，得BD.SABDBDAEABAD，AE4.在RtABE中，AB5，AE4，由勾股定理，得BE3.(第4题图解)(2)设平移中的三角形为ABF，如解图所示由对称点性质可知，12.由平移性质可知，

9、ABAB，451，BFBF3.当点F落在AB上时，ABAB，34，312，BBBF3，即m3；当点F落在AD上时，ABAB，62.12，51，56.又易知ABAD，BFD为等腰三角形，BDBF3，BBBDBD3，即m.(3)存在理由如下：在旋转过程中，等腰DPQ依次有以下4种情形：如解图所示，点Q落在BD延长线上，且PDDQ，易知22Q.(第4题图解)13Q，12，3Q，AQAB5，FQFAAQ459.在RtBFQ中，由勾股定理，得BQ3.(第4题图解)DQBQBD3.如解图所示，点Q落在BD上，且PQDQ，易知2P.12，1P，BAPD，则此时点A落在BC边上32，31，BQAQ，FQFAA

10、Q4BQ.在RtBQF中，由勾股定理，得BF2FQ2BQ2，即32(4BQ)2BQ2，解得BQ.DQBDBQ.如解图所示，点Q落在BD上，且PDDQ，易知34.(第4题图解)234180，34，4902.12，4901.AQB4901，ABQ180AQB1901，AQBABQ，AQAB5，FQAQAF541.在RtBFQ中，由勾股定理，得BQ，DQBDBQ.如解图所示，点Q落在BD上，且PQPD，易知23.(第4题图解)12，34，23，14，BQBA5，DQBDBQ5.综上所述，存在4组符合条件的点P，Q，使DPQ为等腰三角形，其中DQ的长度分别为3，或.5如图所示，在平面直角坐标系xOy中

11、，抛物线y(xm)2m2m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使ADAC，连结BD. 作AEx轴，DEy轴，交于点E.(1)当m2时，求点B的坐标(2)求DE的长(3)设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数表达式过点D作AB的平行线，与第(3)题确定的函数图象的另一个交点为P.当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？,(第5题图)解：(1)当m2时，y(x2)21，把x0代入y(x2)21，得y2，点B的坐标为(0，2)(2)延长EA，交y轴于点F，ADAC，AFCAED90，CAFDAE，AFCAED，AFAE.点A(m，m2

12、m)，点B(0，m)，AFAE|m|，BFm(m2m)m2，ABF90BAFDAE，AFBDEA90，ABFDAE，即，DE4.(3)点A的坐标为(m，m2m)，点D的坐标为(2m，m2m4)，x2m，ym2m4，yx4，所求函数的表达式为yx2x4.作PQDE于点Q，则DPQBAF，()当四边形ABDP为平行四边形时(如解图)，点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为m2m4，把点P(3m，m2m4)的坐标代入yx2x4，得m2m4(3m)23m4，解得m0(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)或m8.,图),图),(第5题图解)()当四边形ABPD为平行四边形时(如解图)，点P的横坐标为m，点

13、P的纵坐标为m4，把点P(m，m4)的坐标代入yx2x4，得m4m2m4，解得m0(此时A，B，D，P在同一直线上，舍去)或m8.综上所述，m的值为8或8.拓展提高(第6题图)6如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足APQ90，PQ交x轴于点C.(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是(2，1)，求PA的长(2)当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PAPC的值(3)当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若ACEAEC，PD2OD，求PAPC的值解：(1)

14、点P与点B重合，点B的坐标是(2，1)，点P的坐标是(2，1)PA的长为2.(第6题图解)(2)过点P作PMx轴，垂足为M，过点P作PNy轴，垂足为N，如解图所示点A的纵坐标与点B的横坐标相等，OAAB.OAB90，AOBABO45.AOC90，POC45.PMx轴，PNy轴，PMPN，ANPCMP90.NPM90.APC90.APN90APMCPM.在ANP和CMP中，APNCPM，PNPM，ANPCMP，ANPCMP.PAPC.PAPC的值为11.(3)若点P在线段OB的延长线上，过点P作PMx轴，垂足为M，过点P作PNy轴，垂足为N，(第6题图解)PM与直线AC的交点为F，如解图所示AP

15、NCPM，ANPCMP，ANPCMP.ACEAEC，ACAE.APPC，EPCP.PMy轴，AFCF，OMCM.FMOA.设OAx，PFOA，PDFODA.PD2OD，PF2OA2x.FMOAx.PMx.APC90，AFCF，AC2PF4x.AOC90，OCx.PNONOMOMP90，四边形PMON是矩形PNOMx.PAPCPNPMxx.当点P在线段OB上，不合题意若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PMx轴，垂足为M，过点P作PNy轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如解图所示(第6题图解)同理可得：PMx，CA2PF4x，OCx.PNOMOCx.PAPCPNPMxx.综上所述，PA

16、PC的值为或.(第7题图)7如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(4，4)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连结BP，过点P作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l交于点D.连结BD，BD与y轴交于点E，连结PE.设点P运动的时间为t(s)(1)PBD的度数为_45_，点D的坐标为(t，t)(用含t的式子表示)(2)当t为何值时，PBE为等腰三角形？(3)探索POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值解：(1)由题意，得APOQ1t

17、t，AOPQ.四边形OABC是正方形，AOABBCOC，BAOAOCOCBABC90.DPBP，BPD90.BPA90DPQPDQ.AOPQ，AOAB，ABQP.在BAP和PQD中，BAPPQD.APQD，BPPD.BPD90，BPPD，PBDPDB45.APt，QDt.点D的坐标为(t，t)(2)若PBPE，则PBEPEB45.BPE90.BPD90，BPEBPD.点E与点D重合点Q与点O重合与条件“DQy轴”矛盾，这种情况应舍去若EBEP，则BPEPBE45.BEP90.PEO90BECEBC.在POE和ECB中， POEECB.OEBC，OPEC.OEOC.点E与点C重合(即EC0)点P

18、与点O重合(即PO0)点B(4，4)，AOCO4.此时tAP1AO14.若BPBE，在RtBAP和RtBCE中，RtBAPRtBCE(HL)APCE.APt，CEt.POEO4t.POE90，PE(4t)(第7题图解)延长OA到点F，使得AFCE，连结BF，如解图所示在FAB和ECB中， FABECB.FBEB，FBAEBC.EBP45，ABC90，ABPEBC45.FBPFBAABPEBCABP45.FBPEBP.在FBP和EBP中，FBPEBP.FPEP.EPFPFAAPCEAP.EPtt2t.(4t)2t.解得t44.当t为4或44时，PBE为等腰三角形(3)不变同理于(2)，易得PEA

19、PCE，OPPEOEOPAPCEOEAOCO448.POE的周长是定值，该定值为8.8如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA2，OC1，矩形对角线AC，OB相交于E，过点E的直线与边OA，BC分别交于点G，H.(1)直接写出点E的坐标：；求证：AGCH.(2)如图，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数表达式(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当P与HG，GA，AB都相切时，求P的半径,(第8题图)解：(1)根据矩形的性质和边长即可求出点E的坐标是.证

20、明：四边形OABC是矩形，CEAE，BCOA，HCEEAG.在CHE和AGE中，CHEAGE，AGCH.(2)连结DE并延长交CB于M，如解图.ODOC1OA，D是OA的中点，在CME和ADE中，CMEADE，CMAD211.BCOA，COD90，四边形CMDO是矩形，MDOD，MDCB，MD切O于点D.HG切O于F，点E，可设CHHFx，FEEDME.在RtMHE中，有MH2ME2HE2，即(1x)2，解得x，点H，OG2.又点G，设直线GH的表达式是ykxb，把点G，H的坐标代入，得0kb，且1kb，解得k，b，直线GH的函数表达式为yx.(3)连结BG，如解图，在OCH和BAG中，,(第

21、8题图解)OCHBAG，CHOAGB.HCO90，HC切O于C，HG切O于F，OH平分CHF，CHOFHOBGA.CHEAGE，HEGE.在HOE和GBE中，HOEGBE，OHEBGE.CHOFHOBGA，BGABGE，即BG平分FGA.P与HG，GA，AB都相切，圆心P必在BG上，过P作PNGA，垂足为N，则GPNGBA，设半径为r，则，解得r.P的半径是.9如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，且OAOC4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上(第9题图)(1)求抛物线的表达式(2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标

22、；若不存在，说明理由(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标解：(1)由点A(4，0)，可知OA4.OAOC4OB，OCOA4，OB1，点C(0，4)，B(1，0)设抛物线的表达式是yax2bxx，则解得则抛物线的表达式是yx23x4.(2)存在如解图.第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1AC，交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线，垂足是M.ACP190，MCP1ACO90.ACOOAC90，MCP1OAC.OAOC，MCP1OAC45，MCP1MP1C，MCMP1.设点P(m，m23m4)，

23、则mm23m44，解得：m10(舍去)，m22.m23m46，即点P(2，6)第二种情况，当点A为直角顶点时，过点A作AP2AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F.P2Nx轴CAO45，OAP45，FP2N45，AOOF.P2NNF.设点P2(n，n23n4)，则n(n23n4)4，解得n12，n24(舍去)，n23n46，则点P2的坐标是(2，6)综上所述，点P的坐标是(2，6)或(2，6)(第9题图解)(3)如解图，连结OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则ODEF.根据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短由(1)可知，在RtAOC中，O

24、COA4，则AC4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点又DFOC，DFOC2，点P的纵坐标是2.则x23x42，解得x，当EF最短时，点P的坐标是或.10已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点PEPF交y轴于点E，设点F运动的时间是t(s)(t0)(第10题图)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PEPF.(2)在点F运动的过程中，设OEa，OFb，试用含a的代数式表示b.(3)作点F关于点M的对称点F，经过M，E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由(第10题图解)解：(1)证明：如解图，连结PM，PN，P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，PMMF，PNON，且PMPN，PMFPNE90，且NPM90.PEPF，N