1、第10讲 典型应用题第10讲 典型应用题(一)和差倍、年龄、植树问题一、 知识地图典型应用题二、 基础知识(一) 和差问题:已知两个数的和及两个数的差,求这两个数。方法:(和差)2较小数,和-较小数=较大数方法:(和差)2较大数,和-较大数=较小数例如:两个数的和是15,差是5,求这两个数。方法:(15-5)25,(15+5)210。(二) 和倍问题:已知两个数的和及这两个数的倍数关系,求这两个数。 方法:和(倍数1)1倍数(较小数)1倍数(较小数)倍数几倍数(较大数)或 和1倍数(较小数)几倍数(较大数)例如:两个数的和为50,大数是小数的4倍,求这两个数。方法:50(41)10 10440
2、(三)差倍问题:已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数。方法:差(倍数1)1倍数(较小数)1倍数(较小数)倍数几倍数(较大数)或 和1倍数(较小数)几倍数(较大数)例如:两个数的差为80,大数是小数的5倍,求这两个数。方法:80(51)20 205100(四)年龄问题关键:年龄差不变例如:今年爸爸比儿子大30岁,明年爸爸比儿子大几岁?答:还是30岁,爸爸长1岁,儿子也长1岁。明年父子年龄差明年爸爸的年龄明年儿子的年龄(今年爸爸的年龄1)(今年儿子的年龄+1) 今年爸爸的年龄1今年儿子的年龄1 今年爸爸的年龄今年儿子的年龄 30(岁) 关键:年龄的倍数关系是变化的。例如:今年父亲的年龄是儿
3、子年龄的3倍,明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗?答:不是,设今年儿子10岁,设今年父亲30岁,那么明年儿子11岁,父亲31岁, 311129,不是3倍。(五)植树与方阵问题一、 不封闭型(直线)植树问题(1) 直线两端植树: 棵数=段数+1=全长株距+1;全长=株距(棵数-1);株距=全长(棵数-1);例如:学校附近有一条2000米的公路,在路两边每相隔50米种一棵树,两端都种,需要多少棵树?分析:(200050+1)2=82(棵)(2) 直线一端植树: 全长=株距棵数;棵数=全长株距;株距=全长棵数;例如:小熊家门口有一条小路长50米,从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树,问一共栽了多少
4、棵树?分析:门口不可能植树,所以这是一个一端种树一端不种的情况,棵树等于段数,所以一共栽树:505=10(棵)。(3) 直线两端都不植树: 棵数=段数-1=全长株距-1;株距=全长(棵数+1);例如:学校两栋教学楼之间有一排白杨树,一共有18棵,每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米,请问这两栋教学楼之间的距离是多少米? 分析:因为两端就是教学楼,不可能种树,所以教学楼之间一共有19个间隔,所以这两栋教学楼之间的距离是31957(米)。二、 封闭型(圆、三角形、多边形等)植树问题棵数总距离棵距; 总距离棵数棵距; 棵距总距离棵数。例如:小同家有一个圆形果园,周长是1500米,沿圆周每隔6米栽
5、一棵苹果树,每两棵苹果树之间栽一棵桃树,问:果园周围共栽种果树多少棵?分析:果园一周全长1500米,每隔6米栽一颗苹果树,说明果园的圆周以6米为一段,可以分成15006250(段),由于是圆形,首尾两棵重合,所以段数等于棵数,苹果树有250棵;每两棵苹果树之间栽种一棵桃树,也就是有250棵桃树,所以,苹果树与桃树一共有:250+250=500(棵)。3 方阵问题在方阵问题中,横的排叫做行,竖的排叫做列,如果行数和列数都相等,则正好排成一个正方形,就是所谓的“方阵”。例如:某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?分析:每边人数=四
6、周人数4+1,方阵最外层每边人数:6041=16(人),整个方阵共有学生人数:1616=256(人)。经典透析【例1】 ()一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18,则原来的小数是多少?审题要点 本题属于和倍问题。关键是抓住小数点向左移一位,原数就缩小10倍;小数点向右移一位,原数就扩大10倍。详解过程 小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍,有624.18(1001)6.18,6.181061.8,即原数是61.8。【例2】 ()某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人,现在把室内活动的50人改为室外活动,这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍,参加
7、室内,室外活动的一共有多少人?审题要点 本题属于差倍问题详解过程 为了清晰地反映数量的变化及倍数关系,我们画出线段图如下:把室内50人调到室外,则室外人数比室内人数多480502580(人),又因为室外人数是室内人数的5倍,也就是多4倍,所以现在室内人数为580(51)145(人),一共有145(15)870(人)。【例3】 ()小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本,剩下的钱若买一支圆珠笔少4角;若买一本练习本还少6角,问一支圆珠笔的价钱是 。审题要点 和倍、差倍问题的综合运用详解过程 练习本和圆珠笔的差价为2角。而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。所以如果用20+0.4+0.
8、26=21.6元能买18本练习本,每本的价钱为21.618=1.2元,所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。 【例4】 ()四个人年龄之和是87岁,最小的一个12岁,他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁,那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少? 审题要点 把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数,把另外两个人年龄之和也看成一个数。问题就转化为典型的和差同题。详解过程 最小的一个与最大的人年龄之和是:(877)247(岁)。最小的12岁,因此最大的年龄:471235(岁)。【例5】 甲对乙说:“我在你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说:“我到你这么大岁数
9、的时候,你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问:甲、乙二人现在各多少岁?审题要点 甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。详解过程 为了清晰地反映等量关系,我们画出线段图如下: 从图中可以得到年龄差是7岁,所以,乙现在年龄: 7321(岁),甲现在年龄: 7428(岁)。 【例6】 在学校内一条小路的一侧植树,每隔5米种一棵,共种了21棵,这条路有多长?后来小路又加长了30米,仍然每隔5米种一棵树,一共补种了多少棵?审题要点 加长部分、求得是补种几棵树详解过程 小路原来的长度:5(211)100(米), 加长后一侧应种的树的棵数:(10030)5127(棵),应补的棵数:27216(棵)。
10、【例7】 把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上,每条边上的黑棋子个数相等,且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问:每条边上白棋子有多少枚?审题要点 每个角上有一枚,求出实际每条边几枚详解过程 一共有50枚棋子,放在5条边上,所以平均每条边上放505=10枚黑棋子,又因为每个角上都有一枚棋子,所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。11枚黑棋子之间有10个间隔,所以白棋子数是102=20(枚)。【例8】 一个实心正六边形阵,每条边有16人,那么一共有 人;最外面一层有 人;从外向内数第2层每条边有 人,共 人;最外面三层有 人;每条边增加1人,这一层增加 人;原正六
11、边形方阵再增加一层能增加 人;审题要点 找规律详解过程 从内往外,第一层1人,第二层每边2人,共6人;第三层每边3人,共12人;第四层每边4人,共18人;第十四层每边14人,共78人;第十五层每边15人,共84人;第十六层每边16人,共90人。原实心正方形阵共有1+6+12+90=721人。 从外往内数第二层就是从内往外数第十五层,每边15人,共(15-1)6=84人。最外面三层有90+84+78=252人。每条边增加1人,这一层增加6人。原六边形方阵再增加一层能增加(17-1)6=96人。三、 拓展训练1. 姐姐做自然科学练习,比妹妹做算术练习多用48分钟,比妹妹做英语练习多用42分钟,妹妹
12、做算术,英语两门练习共用了44分钟,那么妹妹做英语练习用了多少分钟?初级点拨 本题属于典型的和差问题,只是“差”没有直接告诉我们,绕了个小弯。深度提示 根据条件,做英语的时间大于算术的时间。全解过程 因为“姐姐做自然科学练习,比妹妹做算术练习多用48分钟,比妹妹做英语练习多用42分钟”,所以妹妹做英语比算术多用了48426(分钟)。画线段图:(446)219(分钟) 算术(446)225(分钟) 英语答:妹做英语用25分钟。2. 某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵,当种了一半的杨树和10棵柳树之后,又临时运来了6棵槐树,这时剩下的三种树的棵树恰好相等,问原计划要栽种这三种树各多少棵?初级
13、点拨 如果没有栽种之前运走10棵柳树,并且运来6棵槐树,那么树的总数就是:200-10+6=196(棵)。深度提示 柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。全解过程 为了清晰地反映数量关系,我们画出线段图如下:树的总数就是:200-10+6=196(棵),柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半,令杨树的一半为一倍数,即为:195(2+1+1)=1964=49(棵),所以计划种杨树:492=98(棵),柳树:49+10=59(棵),槐树:49-6=43(棵)。3. 今年爷爷78岁,三个孙子的年龄分别是27岁,23岁,16岁,经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和? 初级点拨 今年爷爷与
14、三个孙子的年龄差深度提示 每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁全解过程 三个孙子年龄的和为27231666(岁),爷爷比他们三人的年龄的和多786612(岁),每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加312(岁)。因而,经过1226(年)后,爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。4. 甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数的时候,你才5岁。”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数的时候,你将50岁。”问:甲、乙二人现在各多少岁?初级点拨 年龄差不变深度提示 每一次两人变化的年龄都相等,且是年龄差全解过程 根据题意画出示意图:因为年龄差是不变的量,甲乙二人的年龄差=(50-5)3=15(岁),乙现
15、在的岁数是:15+5=20(岁),甲现在的岁数是:20+15=35(岁)6.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯,他们从一层开始比赛,大头儿子到四层时,小头爸爸到三层,如此算来,大头儿子到16层时,小头爸爸跑到了几层?初级点拨 不封闭型植树问题深度提示 “两端都种树”,间隔数=棵树-1全解过程 大头儿子跑了三个楼层间隔,爸爸跑了两个楼层间隔,到16层需要跑15个楼层间隔,所以小头爸爸跑了1532+110111(层)。7.如图是某个小区的街道图,街道将整个小区划分为相同的4块正方形,每个正方形的边长为110米,街道的宽为10米,现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树,每个拐角都栽树,求这个小区
16、一共要栽树多少棵?初级点拨 分解图形深度提示 每个拐角都栽树全解过程 整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+10=250米的正方形。所以一共需要栽树(110410)4+(250410)=276棵树。8.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人,这些人平均分为25队,每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米,队与队之间的距离是4米,游行队伍全长多少米?初级点拨 不封闭型植树问题深度提示 相当于已知树的棵数,树间的距离,求树列的全长全解过程 相当于植树问题中已知树的棵数,树间的距离,求树列的全长相当。注意段数比树的株数少1。所
17、以, (1)每队的人数是: 60000252400(人) (2)每队可以分成的排数是: 240012200(排) (3)200排的全长米数是: 1(200-1)199(米) (4)25个队的全长米数是: 199254975(米) (5)25个队之间的距离总米数是:4(25-1)96(米) (6)游行队伍的全长是: 4975965071(米)第11讲 典型应用题(二)鸡兔同笼、盈亏、平均数问题一、 知识地图二、 基础知识公元855年唐朝,我国举行最早的数学选拔赛,题目如下:一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分6匹,多5匹;每人分7匹,少8匹,问几个强盗?几匹布?(一) 鸡兔同笼问题1
18、 假设全是鸡例如:鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析:假设全是鸡,则有246=92(足),而实际上是128足,少了128-92=36(足),为什么少了36足呢?因为我们把一只兔当作一只鸡来算时,就少算了2足,所以有362=18(只)兔被我们当作鸡来算,所以有鸡46-18=28(只)。2 假设全是兔例如:鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析:假设全是兔,则有446=184(足),而实际上是128足,多了184-128=56(足),为什么多了56足呢?因为我们把一只鸡当作一只兔来算时,就多算了2足,所以有562=28(只)鸡被我们当作兔来算,所以有兔46-28=18(只)
19、。3 “砍足法”例如: 鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析:假如砍去每只鸡、每只兔一半的足,则鸡就变成了“独脚鸡”,兔就变成了“双脚兔”,则鸡和兔足的总数就由128变成了64,而且有一只兔子,则足的总数就比头的总数多1,所以足的总数64与总头数46的差,就是兔子的只数,即644618(只),则鸡的只数就是461828(只)。 (二) 盈亏问题盈亏问题,顾名思义有剩余就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化,我们把盈亏问题分为三类:“一盈一亏”、“两盈”、“两亏” 。1.“盈亏”型例如:学校提高班的同学分糖果,
20、如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒则少6粒,问:有多少位同学分多少粒糖果?分析:为什么第一次多9粒,而第二次还少6粒呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了,还要再添6粒才够分,也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15(粒),那为什么会有这种变化产生呢?因为第二次比第一次每人多分了5-4=1(粒),那么要分15粒,就需要有151=15(人),共有154+9=69(粒)。2.“盈盈”型明明过生日,同学们给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;每人出7元,就多出了4元。那么有多少个同学?蛋糕的价钱是多少?分析:为什么第一次多8元,第二次就只多4元了呢
21、?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少出1元,也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱,总共退回了8-4=4(元),所以共有41=4(人),蛋糕价钱是84824(元)。3.“亏亏”型学校新近一批书,将它们分给几位老师,如果每人发10本,还差9本,每人发9本,还差2本,请问有多少老师?多少本书?分析:为什么第一次差9本,第二次就只差2本了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少发1本,也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书,总共拿回了9-2=7(本)书,所以共有71=7(人),书有710961(本)。(三) 平均数问题(1)平均数=总数参与平均的事物个数平均数增量=总
22、数增量参与平均的事物个数平均数减量=总数减量参与平均的事物个数(2)平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大三、 经典透析【例1】 从前有座山,山里有个庙,庙里有许多小和尚,两个小和尚用一根扁担一个桶抬水,一个小和尚用一根扁担两个桶挑水,共用了38根扁担和58个桶,那么有多少个小和尚抬水?多少个挑水?审题要点 鸡兔同笼问题,假设法详解过程 假设全是抬水,38根扁担应担38个桶,而实际上是58个桶,为什么少了58-38=20(个)桶呢?因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算211(个)桶,所以有201=20(人)在挑水,抬水的扁担数是3820
23、18(根),抬水的人数是18236人。专家点评: 可以结合分析工具矩形图,来看鸡兔同笼问题: 左图假设全是抬水: (58-381)(2-1)=20(根) 20(人)挑水 (38 -20)2=36(人) 36(人)抬水右图假设全是挑水: (382-58)(2-1)=18(根) 182=36(人)抬水 38-18=20(根) 20(人)挑水【例】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖, 儿童票的价格为30元,成人票的价格为40元,如果是团体还可以买平均32元一位的团体票,一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,如果他们买团体票可以比他们各买各的少花1
24、20元,问这个旅游团一共有多少人? 审题要点 鸡兔同笼问题的变形题详解过程 每个三口之家可以少花30+40+40-323=14元,每个二口之家可以少花40+40-64=16元,如果这8个家庭都是三口之家,那么一共少花148=112元,所以这8个家庭中有(120-112)(16-14)=4个家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有42+(8-4)3=20人。专家点评: 这道题,首先要考虑的是,怎么理解“少花120元”?跟单位少花情况有关,这里的单位:可以不同家庭为单位,也可以成人与小孩为单位。 一方面,我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较,可以如题所解; 另一方面,我们不妨以成人与孩子的“
25、少花”情况进行计算并比较,可以另解如下: 8个家庭,成人必有16人,则每个成人将“少花”40-32=8元。 所以应该总共少花 168=128(元) 而实际少花相差 128-120=8(元) 是因为每个小孩多花了32-30=2(元) 所以,82=4(人) 小孩人数 16+4=20(人)旅游团一共人数 还有一点值得强调的是,我们在使用假设法的过程中,所采用的比较思想非常重要,在一种证明方法反证法中,假设法会又一次充当主角。【例】蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只,共有110条腿和14对翅膀,每种小虫各有几只?审题要点 经典鸡兔同笼问题,用两
26、次假设法详解过程 因为有三种动物,没有办法直接用鸡兔同笼解,所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿,发现蜻蜓和蝉有个共同点都是6条腿,那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起,分为两种动物:一种是6条腿,一种是8条腿。假设全是6条腿的,共有腿616=96(条),而实际上是110条,为什么少了110-96=14(条)腿呢?因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的,有一只蜘蛛就少算2条腿,所以有蜘蛛142=7(只),所以蜻蜓和蝉有16-7=9(只);我们再来看翅膀: 假设这9只全是蜻蜓,则应该有92=18(对)翅膀,比实际多了18-14=4(对),所以有蝉41=4(只),则蜻蜓9-4=5(只)。专
27、家点评: 如果我们感觉这样的算术解法有点烦,不妨看看美丽的方程: 设:蜘蛛有只,蜻蜓有y只,蝉有z只,得: (1)6:(2)-(4):2=14=7代入(1)式:y+z=9(5)(3)-(5):y=5。代入(5)式:z=4。很多时候,我们发现清晰的等量关系,一定要用,从而可以减少“算理”的思考量,把这种思考量转嫁给方程演算。对于方程演算,不需要掌握太多的技巧,就能轻松把握。请参见本书第十九讲方程。【例】老师给同学们分苹果,每人分10个,就多出8个,每人分11个则正好分完,那么一共有多少名学生?多少个苹果?审题要点 盈亏问题详解过程 为什么第一次多8个,第二次不多也不少了呢?因为第二次每人多分了1
28、个,所以有81=8(人),苹果810+8=88(个)。专家点评:请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异,而假设法是实际与假设之间的差异,两者有着异曲同工之妙。【例】皮皮从家到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟60米,就可以比上课时间提前2分钟到校,那么皮皮家距离学校多远?审题要点 需要转化条件的盈亏问题详解过程 根据题意,每分钟走50米,迟到3分钟,实际上就是还差503=150(米)到校;如果每分钟60米,提前2分钟到校,即到校后还可以多走602=120(米),第一次与第二次相差150+120270(米),也就是第二次比第一次多走了270米,所以皮皮从家到学校所
29、用时间是270(60-50)=27(分钟),皮皮家到学校的距离是50(27+3)=5030=1500(米)。专家点评:两种方案,除了速度差,更要感受到路程差,从而看到,这里的数量关系,竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的!【例】国庆节快到了,学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花,还有3盆没人摆;如果其中2人各摆4盆,其余的人各摆6盆,这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动,一共摆多少花盆?审题要点 需要转化条件的盈亏问题详解过程 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花,还缺4盆,那么就是简单的“一盈一亏”。人数: 3(64)2(65
30、)7(人),盆数:57338(盆)或67438(盆)。专家点评: 转化思想似乎有点玄,为什么我一定会想到:“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花,还缺4盆”?答案在于,我们应该在大方向上有感觉,这道题“每人摆5盆,还有3盆没人摆;每人摆6盆,还”,“还”字后面的下文怎么接?接上了,转化成功! 记住:转化的关键在于我需要什么样的条件! 现有条件能否转化为我要的条件?【例】有四个数,每次去掉一个数,将其余三个数求平均数,这样算了四次,得下面四个数:36.4,47.8,46.2,41.6,那么原来四个数的平均数是多少?审题要点 平均数问题详解过程 设这四个数分别为A、B、C、D,根据条件则有:所以专家点评 实际上,本题的情境可
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