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1、图论图论模型的建立与转化安徽 徐静关键字：图论模型、建立、转化摘要本文主要写图论模型的建立与转化，共分四部分：第一部分引言说明了图论建模在整个信息学竞赛中的地位，以及图论模型与其它数学模型的异同，并指出很有研究总结图论建模的思想、方法及技巧的必要。第二部分提出了图论模型建立中的两个要点：对原型中的要素进行适当的取舍和选择合适的理论体系，并分别举例加以详细分析，然后从中总结出了图论建模的总的原则：准确、清晰、简明。第三部分主要讨论了在图论模型的转化中，应用得较为广泛的两种方法：拆分转化和补集转化，并着重分析了前者。文中把前者分为三类：点边、点点、边边，其中详细分析了第二类。第四部分总结了全文，并

2、指出了进一步研究图论模型的必要性。目录一 一 引言 2二 二 图论模型的建立 2I. I.要素的取舍 2II. II. 选择合适的理论体系 4三 三 图论模型的转化 7I. I.拆分转化 7II. II. 补集转化 10四 四 结语 11正文一. 一. 引言信息学竞赛以解题为主，整个解题过程中一个重要的步骤就是数学建模，本文要讨论的就是数学建模的一个分支图论建模。图论建模是指对一些客观事物进行抽象、化简，并用图1来描述事物特征及内在联系的过程。建立图论模型的目的和建立其它的数学模型一样，都是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以是存在性或是构造

3、性问题；并且，和几何模型、运筹学模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到集合、映射、函数等基本的数学概念和工具；但图论模型和其它模型在它们的研究方法上又有着很大的不同，例如我们可以运用典型的图论算法来对图论模型进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种直观的结构来描述的也很少。我们学习图论，一般都是通过书籍，但书上介绍的往往只限于图论模型的基本要素、一些图论的相关理论和经典算法等，至于如何建立图论模型、如何运用这些理论和算法、如何研究图论问题，都只有靠自己来理解、来领会，并通过实践来验证这些理解，通过

4、摸索总结来提高自己的能力。在建立图论模型的过程中，我们常常会遇到一些困难，例如难以建立点、边、权关系，或是原型中的一些重要因素无法纳入现有模型，或是现有模型虽能表示原型，却无法求解等等。为了克服这些困难，就需要用到某些独特的思想、方法和技巧，本文要写的正是我在学习、实践中得出的这方面的一点认识。二. 二. 图论模型的建立在建立模型之前，我们首先要对研究对象进行全面的调查，将原型理想化、简单化（对于竞赛题而言，这一步大部分已经由出题人完成了）；然后对原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及求解目标，理出它们之间的联系；下一步就是用恰当的模型来描述这些要素及联系。I. I.要素的取舍 在用图论模型

5、描述研究对象时，为了更突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度，就不可避免地要舍去部分要素。下面我们就通过例1来分析一下。【例1】 【例1】 导线排布Line7：题目（文档附件：导线排布.doc）中蓝色的一段是问题描述的重点，其中涉及的要素有圆圈、N根导线、2N个端点、编号规则、导线的交叉等，求解目标是构造一种符合所给的导线交叉情况的导线排布方案。起先，我们对题目描述的导线排布并不熟悉，或许我们能够画出几个无解或是多解的例子，但竞赛时我们不可能花更多的时间在熟悉题目上了，这时只有尽快地把我们不熟悉的、难于思考的原型转化成我们熟知的、便于思考的模型。先来分析求解目标：所谓的构造导线排布方案

6、，也就是找出每根导线两个端点的编号；而编号要满足的条件就是导线交叉的情况。那么下一步我们就来分析一下编号与导线交叉之间的关系。记第i根导线两端点的标号为Ai和Bi（AiB1，A2B2，A1A2（根据编号规则），不同的是(a)满足A2B1，B1B2，(b)满足B1A2，而(c)满足B2B1。显然，这是一种偏序关系（有点不确切，它只满足反对称和传递性，但不是自反的），而我们的任务就是根据这种偏序关系求得全序关系，即拓扑排序。我们用图中的有向边来表示偏序关系，若有向边构成环，则问题无解。以上三种情况对应的有向图如图二所示，若两导线交叉，则如(a)；若不交叉，则必是(b)、(c)其中之一，至于选择哪一

7、个，就要看它们中哪一个不会导致无解。若(b)无解，就表示图中除了B1A2这条边之外，还存在着一条A2B1的路径，可能的两种情况如图三(1)(2)中红色有向边所示：(1)表示有编号大于2的导线（(1)中的导线3）与导线1交叉；(2)表示虽然它们都不与导线1交叉，但其中有选择图二(c)表示的。显然，如果情况(1)出现，那么选择(b)必然无解；但如果(1)不出现，那么(2)就可以改成图三(3)（即改用(b)表示导线1、3不交叉，而不是用(c)），这样就有解了。也就是说，如果导线i与导线j(ij)不交叉，那么是否有编号大于j的导线与导线i交叉决定了(b)是否无解。类似的，我们可以分析出：如果导线i和j

8、 (ij)不交叉，那么是否存在一个序列L1m (L1=i，Lm=j)，使得导线Lk -1与导线Lk(11也可以），收益为0；经过上述转化之后，原问题的求解目标就对应于新模型上流量为M的最大收益流2。上面举的两个例子都是把一个点拆成两个点，但这与“拆点为边”是截然不同的。这里是为了把一个点具有的各种性质分离开，有几种性质需要分离，就要拆成几个点；而“拆点为边”是为了使点具有边的性质，所以总是固定地把一个点拆成两个，并在两个新点之间添边。3 3 边边：这是“拆分转化”的第3类：把一条边拆成若干条边。它和上面的第2类一样，也是用于因素分离。下面就只简单地举例分析一下。【例5】 【例5】 容量有上下界

9、的网络流：这是一个标准的网络流问题，许多书上都有该问题的解法和相关证明，所以这里就只简述一下把原图转化为一般的最大流模型的过程3：1 1加两个新顶点：附加源s和附加汇t，作为新的源和汇；2 2把原图上的弧(i,j)拆成三条新弧：(i,j)、(s,j)、(i,t)，令Ci,j=Ci,j-Bi,j，Cs,j=Ci, t=Bi,j（Ci,j、Bi,j分别为原图上弧(i,j)的容量上、下界，Ci,j、Cs,j和Ci, t为新弧的容量上界）；3 3在原来的源和汇之间添加两条容量为+的新弧：(s,t)和(t,s)。在以上三步中，第二步最为关键，它实现了把原图上的容量上界和下界分离开的目的（如图十四(a)所

10、示）。图十四(b)和(c)分别是转化前的原图和转化后的新图。更进一步地，如果点（或边）的性质随着时间的推移而变化着，我们也可以用类似于第2类或第3类的方式把它们拆成许多点（或边），以表示不同时刻不同性质的点。下面我们就来看一看这类“拆分转化”是如何应用到例6上的。【例6】 【例6】 家园Homeland（CTSC 99，下面只简述建模的过程，具体算法分析请见文档附件：homeland.doc）：仔细分析了题意之后，不难想到建立网络流模型来解决这题：1 1以太空站为点；2 2以往返于太空站之间太空船为边；3 3以船的最大载客量为容量上界；求解目标就是在最短时间内把固定流量（人）从源（地球）送到汇

11、（月球）。但这里的时间不同于费用，而且边随着时间t的变化存在于不同的点对之间。因此按时间拆点就很有必要：把每个点都拆成t个点；把边按照时刻的不同分配在相应的新点对间。如此一来，原本动态变化着的模型就被转化成了静态不变的新模型了。从上面举的几个例子可以看出，要分离的性质不同，拆点（边）的方式也就随之不同，只有准确地分析出点（边）要表示的性质，才能转化得到合适的模型。通过对这三类点和边的“拆分转化”的分析和总结不难发现，它们的目的和应用范围各异，但方法都是一个“拆”字。在它们的应用上，我们完全不必拘泥于具体形式，只要是建模的需要、解题的需要，就可以按需“拆分”。只要“拆分”得当，上面的三类“拆分转

12、化”就可以应用得更广。除了“拆分转化”之外，“补集转化”也是一种不依赖于特定模型的转化方法。前面在例4的分析中，我们留下了一个问题：把流量固定的最大收益流转化为最小费用流求解。这就要求对边权进行一定的修改：改所有表示“平地”的点对之间的弧（图十三中黑色的弧）的费用为1；改所有指向“岩石”或从这些点指出的弧（蓝色的弧）的费用为0。这样，原模型上每条流路径的收益就等于P+Q-2（该路径的长度）减去路径上的费用的差。如此也就实现了把最大收益转化为最小费用的目的。这种用某个特定值减去原权值的转化技巧，我们就称作权的“补集转化”。既然有权的“补集转化”，自然也有点和边的“补集转化”。点和边的“补集转化”

13、是指用全集（如图的点集、边集或是其它集合）减去某个特定的集合（如题目给定的集合或求解目标集合等）的转化技巧。下面我们就通过具体例子来分析一下。【例7】 【例7】 最大独立集问题及其等价问题：最大独立集的问题描述如下：给定无向图G(V,E)，其中AV，且E(i,j)i,jA=，求A，使得A最大。它还有两个与之等价的问题：1 1最小覆盖问题：一般地，我们都把最大独立集转化为最小覆盖集，然后根据逻辑运算定律求解（见参考书籍6P57）：令B=VA，则BV，且对于任意一条边(i,j)E，有iB或jB，所以B是图G(V,E)的最小覆盖集。在这个转化过程中就用到了点的“补集转化”用点集V减去求解目标集合A，

14、以得到新的目标集合B。2 2最大完全子图问题：问题描述 给定无向图G(V,E)，其中CV，对于任意两个点i,jC，且ij，有(i,j)E，求C，使得C最大。当我们已经知道并且能够证明这个问题是NP完全问题（见参考书籍3P658）时，只要能够把它转化为最大独立集问题求解，也就证明了后者是NP难度的，而这一步转化中就要用到边的“补集转化”：令全集U=(i,j)i,jV，E=UE，则在无向图G(V,E)中，有CV，且E(i,j) i,jC=，所以C也是图G的最大独立集。例如图十五G中，黑色的点构成了最大独立集，而白色的点就是最小覆盖集；图G的点集与G一样，而边集E则是E的补集，图中黑色的点构成了该图的最大完全子图的点集。从上面的例子可以看出，“补集转化”往往都是等价转化，而且往往都会使求解目标产生一定的变化。无论是点、边还是权的“补集转化”，目的都是使模型向着更便于思考和求解的方向转化。除了上面分析的“拆分转化”和“补集转化”外，图论模型的转化方法和技巧还有很多，而且它们还可以