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1、国家电网考试数学运算19页吉老师 恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了( )分钟。A、41 B、40 C、42 D、43解析：B。骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5X8=40(分钟)。3）比例问题-求比值和比例分配按比例关系确定份数，解题较快；搞清“谁比谁”。预资问题可用比例问题方法解决。例题1：一体育俱乐部赠给其成员的票，如按人均算，每个成员可得92张，实际上每个女成员得84张，每个男成员得

2、96张，问该俱乐部男女成员间的比例是多少？（ ）A、1：1 B、1：2 C、1：3 D、2：14）利润问题总利润=总收益-总成本=销售价销售量-成本价销售量利润销售价成本利润率利润成本（销售价成本）成本销售价成本销售价成本（利润率）成本销售价（利润率）例题1：某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元钱。这件商品的成本是多少元？A、80 B、100 C、120 D、150解析：B。现在的价格为（1+20%）80%=96%，故成本为4（196%）=100元。例题2：某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样

3、。这种商品每个定价多少元？（） A、100 B、120 C、180 D、200 解析：D。每个减价35元出售可获得利润（4535）12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润1208=15元，少获得4515=30元，故每个定价为30（185%）=200元。例题3：一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？（ ）A、1000 B、1024 C、1056 D、1200 解析：C。设乙店进货价为x元，可列方程20%x20%（112%）x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000（112%）（1+20%）=

4、1056元。例题4：某商店进了一批笔记本，按 30的利润定价。当售出这批笔记本的 80后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售。问销完后商店实际获得的利润百分数是（ ）。A、12% B、18% C、20% D、17%解析：D。设这批笔记本的成本是“1”。因此定价是1（1+ 30）1.3。其中：80的卖价是 1.380，20的卖价是 1.3220。因此全部卖价是：1.380 1.3 220 1.17。实际获得利润的百分数是：1.171 0.1717。5）植树问题-路线是否封闭及端点是否植树(1)不封闭路线(a)两端植树颗数=段数+1=全长/株距+1(b)一端植树，则颗数与段数相等颗数=

5、段数=全长/株距(c)两端不植树，则颗数比段数少1。颗数=段数-1=全长/株距-1(2)封闭路线颗数=段数=全长/株距例题1：在圆形花坛周围种树，已知花坛周长50米，若每隔5米种一棵树，一共可种多少？( )A、9 B、10 C、11 D、12解析：按照上面的(2)，选B例题2：在长450米的公路两旁，每隔15米种柳树一棵，在每相邻两棵柳树之间又种槐树一棵。则共种槐树多少棵？（ ）A、62 B、60 C、58 D、30 解析：按照上面的(1)，两端植树，总共种柳树31棵，则种槐树31-1=30棵6）方阵问题N阶方阵，去掉一行（或一列），少N个人；去掉一行一列，少2N-1个人；去掉两行一列（或两列

6、一行），少3N-2个人；去掉两行两列（或周围一圈），少4N-4个人。例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? A、256人 B、250人 C、225人 D、196人 （2002年A类真题） 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：604+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。 所以，正确答案为A。 7）年龄问题-年龄差不变，但倍数关系发生变化。方法1：利用倍数差和年龄差解题小年龄=年龄

7、差/倍数差 大年龄=小年龄+年龄差若上述年龄为几年前或几年后的，则现在的实际年龄为上述年龄加几年或减几年即可。方法2：一元一次方程解法 方法3：结果代入法，此乃最优方法例题1：今年哥弟两人的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问哥哥今年年龄是多大？A、33 B、22 C、11 D、44解析：A 设今年哥哥X岁，则今年弟弟是55-X岁，过去某年哥哥岁数是55-X岁，那是在X-（55-X）即2X-55年前，当时弟弟岁数是（55-X）-（2X-55）即110-3X。列方程为 55-X=2（110-3X）55-X=220-6X6X- X=220-

8、555X=165X=33例题2：爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁？（）A、34 B、39 C、40 D、42解析：C。解法一：用代入法逐项代入验证。解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3y-(z-9)；y-(x-34)=2z-(x-34)。可求得x=40。例题3：1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多

9、少岁?（ ）A、34岁，12岁 B、32岁，8岁 C、36岁，12岁 D、34岁，10岁解析：C。抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得31998年乙的年龄=22002年乙的年龄；31998年乙的年龄=2（1998年乙的年龄+4）；1998年乙的年龄=4岁；则2000年乙的年龄为10岁。例题4：10年前田的年龄是她女儿的7倍，15年后田壮的年龄是她女儿的2倍，问女儿现在的年龄是多少岁？（）A、45 B、15 C、30 D、10解析：B。15年后田靶的年

10、龄是女儿的2倍，即两人年龄的差等于女儿当时的年龄，所以，两人年龄的差等于女儿10年前的年龄加25。10年前田靶年龄是女儿的7倍，所以两人年龄的差等于女儿当时年龄的6（=7-1）倍。由于年龄的差是不变的，所以女儿10年前的年龄的5（=6-1）倍等于25，女儿当时的年龄为：25/5=5(岁)。8）日历问题-同余问题同余问题，余数相同则性质相同，类似高次方的尾数确定。一周七天，周期为七。除以七看余数。9）鸡兔同笼问题设头数为a,足数是b。孙子算经解法：则b/2-a是兔数，a-(b/2-a)是鸡数。丁巨算法解法：鸡数=（4a-b）/2 ；兔数=（b-2a）/2 。10）平均问题-搞清总量与总份数平均速

11、度=总路程/总时间平均数=所有数之和/数的个数例1： 在前面3场击球游戏中，某人的得分分别为130、143、144。为使4场游戏得分的平均数为145，第四场他应得多少分？（ ）解析：C。4场游戏得分平均数为145，则总分为1454=580，故第四场应的580130143144=163分。11）时钟问题-实质为路程问题中的追及问题，为新考点。时针速度=5/60=1/12（1小时走5小格或1分钟走1/12小格）分针速度=60/60=1（1小时走60小格，1分钟走1小格）速度差=1-1/12=11/12（每分钟差11/12格）时针的速度是分针速度的1/12，所以分针每分钟比时针多走11/12格。或者

12、时针每小时走30度 ，分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走0.5度，分针与时针的速度差为5.5度。例题1：从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有： A、1次 B、2次 C、3次 D、4次 解析：时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者270度，理论上讲应为2次，还要验证： 根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/55= 16又4/1160，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/55 = 49又1/1160，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。 12）盈亏问题把一定数量（未知）的物品平均分成一定份数（未知

13、），根据每次分的盈（或亏）数量及每份数量，确定物品的总数量和参与分配的人数。方法一：两次分配的结果差两次分配数差（每份数量差）=人数则物品总数=每份数量人数+盈（或亏） 方法二：列方程法(1)若设物品数为x，则列方程第一种分法的人数第一种分法的人数(2)若设人数为，则列方程第一种分法物品总数第一种分法物品总数方法三：利用被选答案直接快速进行试验和排除。方法四：整除试验法。备选答案减去盈数（加上亏数）应被相应的每份数量数整除。13）牛顿问题（牛吃草问题）-消长问题，既要消耗，又在生长，但消耗大于生长，其差为消耗原有草量，可维持几天。实质为追及问题。 (1)求出每天长草量：不同牛头数与对应天数积的

14、差天数差(2)原有草量：（每天吃的草量-每天生长的草量）可吃天数(3)每天实际消耗原有草量（抵消生长量外所吃）：每天吃的草量-每天生长的草量(4)可吃天数：原有草量每天实际消耗原有草量14）和差倍问题-已知两数的和（或差）与他们的倍数关系，求两数的大小。(1)和差问题 （和+差）2=较大数 （和-差）2=较小数较大数=较小数+差(2)差倍问题 两数差（倍数-1）=小数 小数倍数=大数 或 小数+差=大数(3)和倍问题 和（倍数+1）=小数小数倍数=大数 或 和-小数=大数15）数列问题-掌握等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。等差数列通项公式：为公差 等差数列求和公式：等比数列通项公式：

15、为公差 等比数列求和公式：无穷等比数列求和公式：16）几何问题(1)面积问题-解决面积问题的核心是“割、补”思维。图形多为不规则图形，不能直接计算，所以看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，否则会陷入误区。对于此类问题的通常解法是利用割、补或做辅助线、平移的方法，将图形分割或者补全为很容易求得面积的规则图形，从而快速求的面积。因此掌握一些规则图形的面积计算公式是必要的。 (2)体积问题-注意正方体边长变化后体积的变化，将正方体分割为若干个小正方体后表面积的变化。注意“增加了几倍”和“增加到几倍”的区别。 (3)周长17）排列组合问题-搞清乘法原理、加法原理，会计算排列数和组合数。

16、乘法原理 做一件事，完成它需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法。加法原理 做一件事情，完成它有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法。例题1：从1985到4891的整数中，十位数与个位数相同的数有多少个？解析：满足“十位数与个位数相同”的数，其后两位数形式有10种:00、11、22、99。 设整数如下： 千位百位十位个位 为使问题简单，假设所求整数在20004999之间,千位可取2、3、4中的任何一个，有3种取法；百位可取0、

17、1、29中的任何一个,有10种取法;十位与个位可取00、11、22、99中的任何一个,有10种取法。根据乘法原理，满足条件的数有 31010=300（个）再加上1985到2000的2个（1988、1999），减去4891到4999的11个（4899、4900、49114999），可得满足题目要求的整数有291个。18）浓度问题（溶液问题）-稀释问题、不同浓度溶液混合问题等。溶液=溶质+溶剂浓度=溶质/溶液例题1：浓度为70的酒精溶液100克与浓度为20的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？（ ）A、 30 B、 32 C、 40 D、 45解析：A。100克70的酒精溶液中含酒精

18、1007070克；400克20的酒精溶液中含酒精4002080克；混合后的酒精溶液中含酒精的量70+80150克；混合后的酒精溶液的总重量100+400500克；混合后的酒精溶液的浓度150/50010030，选择A。例题2：从装有100克浓度为10的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（ ）。A、 7 B、 7.12 C、 7.22 D、 7.29解析：D。每次操作从100克盐水中倒出10克盐水，剩余90克，即剩余90%。每次操作后溶液中剩余的溶质变为原来的90%，又都稀释到100克，浓度变为操作前的90%。三次

19、操作后浓度为10（90）37.29，选择D。例题3：甲容器中有浓度为4的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？（ ）A、 9.78 B、 10.14 C、 9.33 D、 11.27解析：C。甲容器中盐水溶液中含盐量250410克；混合后的盐水溶液的总重量250+7501000克；混合后的盐水溶液中含盐量1000880克；乙容器中盐水溶液中含盐量80-1070克；乙容器中盐水溶液的浓度（70/750）1009.33。选择C。19）预资问题（预算问题）-对预资问题的分析，我们会发现此类问题与比例问题

20、是相通的。按照比例问题的解法对预资问题同样适用。20）跳井问题（爬绳问题）-关键要考虑最后一跳（或爬），即到哪个位置一次可跳出井（或爬到顶），用此位置需要跳（爬）的次数再加一次即可。即跳出井或爬至绳顶所需次数为：（井深或绳长-每次所跳或爬米数）/每次实际跳爬高度+1 21）集合问题及容斥原理S(A+B)=S(A)+S(B)-S(AB)S()=S()S(AB)S(A+B+C)=S(A)+S(B)+S(C)-S(AB)-S(BC)-S(AC)+S(ABC) 其中S可看作集合中元素的个数或图形面积。22）抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2

21、 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。假定一年有365天，则366人中至少有两个人的生日相同。例题1：一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？A、12B、13C、15D、16解析：根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。此题没有包含大小王，若包含则需要增加两张。

22、23）中国剩余定理（孙子定理、韩信点兵）韩信点兵：相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。孙子算经也有类似的问题：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀： 三人同行七十（70）稀，五树梅花廿一（21）枝， 七子团圆正月半（15）， 除百零五（105）便得知。 歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过10

23、5，就减去105的倍数，就得到答案了。即： 7022131521052=23 例题:1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 解析：题中3、4、5三个数两两互质。则（4，5）=20；（3，5）=15；（3，4）=12；（3，4，5）=60。 （注：（a，b）表示 a与b 的最小公倍数）为了使20被3除余1，用202=40； 为了使15被4除余1，用153=45； 为了使12被5除余1，用123=36。 然后，401452364=274， 因为，27460，所以，274604=34，就是所求的数。 24）统筹方法-是一种安排工作进程的数学方法。解题关键是如何进行合理组合和时

24、间分配。25）余数问题和最小公倍数问题 例题1：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的数有几个？ 解法一：除以5余2可以看作除以5余7，除以4余3可以看作以4余7，故均余7。9、5、4的最小公倍数为180,满足条件的最小三位数应为180+7=187。根据同余性质，7加上180的若干倍仍然是满足条件的数，即满足条件的三位数为： 180n+7，其中n为正整数，且180n+71000， 显然，可取1、2、35。 满足条件的数为5个：187,367,907。 解法二：因“除以5余2”,所以所求三位数的尾数（个位数）是2或7；又因“除以4余3”,所以尾数只能为7（排除了尾数为2）。故所求三

25、位数应为如下形式： (百位)(十位) (个位)要满足题目要求，百位和十位组成的数“ab”应能被9整除，也能被2整除（被4整除或被4除余2），所以“ab”为和的倍数，即为:18,36,54,72,90。 故所求三位数为个：187,367,547,727,907。 四、数学运算专项训练第一组专项训练1.若x，y，z是三个连续的负整数，并且xyz，则下列表达式是正奇数的是：A.yzx B.(xy)(yz) C.xyz D.x(yz)解析：基本算法：本题可以采用假设代入法，设x、y、z分别为两种情况：-1，-2，-3或者-2，-3，-4，然后将其代入公式验证。验证可知，A 的值虽然是正的，但奇偶不定；

26、B的值是1；C的值是负的；D的值是正的，但奇偶不定。只有B项符合要求，所以，正确选项是B。简便算法：只要真正看清了“x，y，z是三个连续的负整数，并且xyz”这个条件，很容易就可以知道：(xy) 1；(yz) 1。由此可知：(xy)(yz) 1。1是正奇数，所以，正确选项是B。2.an是一个等差数列，a3a7a108，a11a44，则数列前13项之和是：A.32 B.36 C.156 D.182解析：设这个数列的公差是d，则可列方程为：a3a7a10（a12d）（a16d）（a19d）a1d8a11a4（a110d）（a13d）7d4解方程可得：d，a1根据等差数列的性质：等差数列的平均值等于

27、正中间的那个数（奇数个数），或者正中间那两个数的平均值（偶数个数），那么前13项的和就是：a713（a16d）13（6）13156所以，正确选项是C。3. 相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体，其中体积最大的是：A.四面体 B.六面体 C.正十二面体 D.正二十面体解析：根据立体图形的性质，表面积相等的立体图形中，球体的体积最大。正二十面体最接近球体，其体积最大。所以，正确选项是D。4.一张面积为2平方米的长方形纸张，对折3次后得到的小长方形的面积是：A.m2 B.m2 C.m2 D.m2 解析：对折n次，则对折之后的面积为对折之前的1/2n。本题对折3次，则对折后的面积为：2/

28、231/4。所以，正确选项是C。5.编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？A.117 B.126 C.127 D.189解析：本书的页码使用数字应该有三种情况：19页，每页用1个数字，共使用数字9个；1099页，共90页，每页使用2个数字，共使用数字902180个。这本书的页码一共使用了270个数字，270918081，则这剩余的81个数字都是由页码是三位数的页码组成的，三位数的页码有：81327页。这本书的总页码为：99027126页。所以，正确选项是B。6.5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y

29、表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄？ A.5 B.10 C. D.3y5解析：本题的年龄关系比较复杂，关键是要弄清题意不出错。根据丙的当前年龄是y岁，可知甲10年前的年龄是；则甲5年前的年龄是（5）；则乙5年前的年龄就是（5）3；那么，乙当前的年龄就是：（5）3555 5 。所以，正确选项是A。7.为节约用水，某市决定用水实行收费超额超收，月标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元。若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？A.42.5元 B.47.5元 C.50元 D.55元解析：本题有一个隐含的条件，就是超额用水之后的收费，题干中说“超过标准的部分加倍收费”，那么超额用水的收费就是每吨5元。如果考生不能揭示出这个隐含条件，题目就无法解答。算法：如果该用户15吨水都按超额用水每吨5元交费，那么他应当交75元。但是他实际只交了62.5元，则少交的7562.512.5元，是因为未超标准用水量的部分每吨少交2.5元。由此可知每月的标准用水量为：12.52.55（吨）。当该用户月用水12吨时应交水费为：（2.55）（75）47.5（元）。所以，正确选项为B。8.某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每