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1、cordic算法详解cordic算法详解 转载自小一休哥的文章：目前，学习与开发FPGA的程序员们大多使用的是Verilog HDL语言（以下简称为Verilog），关于Verilog的诸多优点一休哥就不多介绍了，在此，我们将重点放在Verilog的运算操作上。 我们都知道，在Verilog中，运算一般分为逻辑运算（与或非等）与算术运算（加减乘除等）。而在一开始学习Verilog时，老司机一定会提醒我们，“切记，千万别用/除、%取模（有的也叫取余）和*幂。”这话说的不无道理，因为这三个运算是不可综合的。但，需清楚理解的是，不可综合的具体意思为不能综合为简单的模块，当我们在程序中调用了这些运算时

2、，/除和%取模在Quartus软件中是可以综合的，因此可以正常调用运行，但是会消耗一些逻辑资源，而且会产生延时，即这两个运算的处理时间会很长，可能会大于时序控制时钟的单周期时间。此时呢，我们会建议你调用IP核来实现运算操作，虽然这样也会消耗许多逻辑资源，但产生的延时相对较小满足了你基本的需求。 问题好像迎刃而解了，可是仔细一想，除了这些运算，我们还剩下什么？对呀，三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数呢，这些函数我们在高中就学习了的呀，难道在FPGA中就没有用武之地吗？有人会说，查找表呗，首先将某个运算的所有可能的输入与输出对一一罗列出来，然后放进Rom中，然后根据输入查表得到输出。这个方法

3、虽然有效的避免了延时问题，却是一个十分消耗资源的方法，不适合资源紧张的设计。那么，就真的没有办法了吗？ 答案就是咱们今天的标题了，CORDIC，而且CORDIC是一个比较全能的算法，通过这一原理，我们可以实现三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数等多种运算。接下来，一休哥就带领大家来学习CORDIC的原理吧。（题外话：请相信一休哥，本文不会让你感到太多痛苦） 本文将分三个小部分来展开介绍： 1、CORDIC的基本原理介绍 2、CORDIC的具体操作流程介绍 3、CORDIC的旋转模式Verilog仿真 本文涉及到的全部资料链接： 链接： 密码：x92u一、CORDIC的基本原理介绍CORDI

4、C算法是一个“化繁为简”的算法，将许多复杂的运算转化为一种“仅需要移位和加法”的迭代操作。CORDIC算法有旋转和向量两个模式，分别可以在圆坐标系、线性坐标系和双曲线坐标系使用，从而可以演算出8种运算，而结合这8种运算也可以衍生出其他许多运算。下表展示了8种运算在CORDIC算法中实现的条件。 这里写图片描述 首先，我们先从旋转模式下的圆坐标系讲起，这也是CORDIC方法最初的用途。1、CORDIC的几何原理介绍假设在xy坐标系中有一个点P1（x1，y1），将P1点绕原点旋转角后得到点P2（x2，y2）。 这里写图片描述 于是可以得到P1和P2的关系。 x2 = x1cos y1sin = c

5、os(x1 y1tan) y2 = y1cos + x1sin = cos(y1 +x1tan) 以上就是CORDIC的几何原理部分，而我们该如何深入理解这个几何原理的真正含义呢？ 从原理中，我们可以知道，当已知一个点P1的坐标，并已知该点P1旋转的角度，则可以根据上述公式求得目标点P2的坐标。然后，麻烦来了，我们需要用FPGA去执行上述运算操作，而FPGA的Verilog语言根本不支持三角函数运算。因此，我们需要对上述式子进行简化操作，将复杂的运算操作转换为一种单一的“迭代位移”算法。那么，接下来我们介绍优化算法部分。2、CORDIC的优化算法介绍我们先介绍算法的优化原理：将旋转角细化成若干

6、分固定大小的角度i，并且规定i满足tani = 2-i，因此i的值在-99.7，99.7范围内，如果旋转角超出此范围，则运用简单的三角运算操作即可（加减）。 然后我们需要修改几何原理部分的假设，假设在xy坐标系中有一个点P0（x0，y0），将P0点绕原点旋转角后得到点Pn（xn，yn）。 于是可以得到P0和Pn的关系。 xn = x0cos y0sin = cos(x0 y0tan) yn = y0cos + x0sin = cos(y0 + x0tan) 然后，我们将旋转角细化成i，由于每次的旋转角度i是固定不变的（因为满足tani = 2-i），如果一直朝着一个方向旋转则i一定会超过（如果

7、在-99.7，99.7范围内）。因此我们需要对i设定一个方向值di。如果旋转角已经大于，则di为-1，表示下次旋转为顺时针，即向靠近；如果旋转角已经小于，则di为1，表示下次旋转为逆时针，即也向靠近。然后我们可以得到每次旋转的角度值dii，设角度剩余值为zi+1，则有zi+1 = zi - dii，其中z0为。如此随着i的增大，角度剩余值zi+1将会趋近于0，此时运算结束。（注：可以发现，di与zi的符号位相同） 第一次旋转0，d0为旋转方向： x1 = cos0(x0 d0y0tan0) y1 = cos0(y0 + d0x0tan0) 第二次旋转1，d1为旋转方向： x2 = cos1(x

8、1 d1y1tan1) = cos1cos0(x0 d0y0tan0 d1y0tan1 d1d0 x0tan1 tan0) y2 = cos1(y1 + d1x1tan1) = cos1cos0(y0 + d0x0tan0 + d1x0tan1 d1d0y0tan1 tan0) 大家可能已经发现了，在我们旋转的过程中，式子里一直会有tani和cosi，而每次都可以提取出cosi。虽然我们的FPGA无法计算tani，但我们知道tani = 2-i，因此可以执行和tani效果相同的移位操作2-i来取代tani。而对于cosi，我们可以事先全部提取出来，然后等待迭代结束之后（角度剩余值zi+1趋近于

9、0，一般当系统设置最大迭代次数为16时zi+1已经很小了），然后计算出cosi的值即可。 总结一下： 迭代公式有三： xi+1 = xi d iy i2-i，提取了cosi，2-i等效替换了tani之后 yi+1 = yi + d ix i2-i，提取了cosi，2-i等效替换了tani之后 zi+1 = zi - dii 其中i从0开始迭代，假设当i = n-1时，zn趋近于0，迭代结束。然后对结果乘上cosi（i从0至n-1），于是得到点Pn（xncosi，yncosi），此时的点Pn就近似等于之前假设中的点Pn（xn，yn）了，所以此时的点Pn同样满足之前假设得到的公式： xncosi

10、= x0cos y0sin yncosi = y0cos + x0sin 由于i从0至n-1，所以上式可以转化成下式： xn = 1/cosi(x0cos y0sin)，（其中i从0至n-1） yn = 1/cosi(y0cos + x0sin)，（其中i从0至n-1） 注意：上式中的xn，yn是经过迭代后的结果，而不是之前假设中的点Pn（xn，yn）。了解这点是十分重要的。 根据高中学的三角函数关系，可以知道cosi = 1/(1+tan2i)0.5 = 1/(1+2-2i)0.5，而1/(1+2-2i)0.5的极值为1，因此我们可以得出一个结论：当i的次数很大时，cosi的值趋于一个常数。

11、 关于如何计算cosi的代码如下所示：close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数jiao = zeros(die,1);%每次旋转的角度cos_value = zeros(die,1);%每次旋转的角度的余弦值K = zeros(die,1);%余弦值的N元乘积K_1 = zeros(die,1);%余弦值的N元乘积的倒数for i = 1 : die a = 2(-(i-1); jiao(i) = atan(a); cos_value(i) = cos(jiao(i); if( i = 1) K(i) = cos_value(i); K_1(i) = 1/

12、K(i); else K(i) = K(i-1)*cos_value(i); K_1(i) = 1/K(i); endendjiao = vpa(rad2deg(jiao)*256,10) cos_value = vpa(cos_value,10)K = vpa(K,10)K_1 = vpa(K_1,10)12345678910111213141516171819202122232425这里写图片描述 从上表也可以看出，当迭代次数为16，i=15时，cosi的值已经非常趋近于1了，cosi的值则约等于0.607253，1/cosi为1.64676。所以当迭代次数等于16时，通过迭代得到的点Pn

13、坐标已经非常接近之前假设中的点Pn。所以，当迭代次数等于16时，这个式子是成立的。 xn = 1/cosi(x0cos y0sin)，（其中i从0至n-1） yn = 1/cosi(y0cos + x0sin)，（其中i从0至n-1） 此时，已知条件有三个x0、y0和。通过16次迭代，我们可以得到xn和yn。而式中的cosi是个随i变化的值，我们可以预先将其值存入系统中。 然后，我们人为设置x0 = cosi，y0 = 0，则根据等式，xn = cos，yn = sin。其中1/cosi的值我们也同样预先存入系统中。如此，我们就实现了正弦和余弦操作了。二、CORDIC的具体操作流程介绍1、CO

14、RDIC的旋转模式由于算法较复杂，一休哥再总结一些具体的操作流程。 1、 设置迭代次数为16，则x0 = 0.607253，y0 = 0，并输入待计算的角度，在-99.7，99.7范围内。 2、 根据三个迭代公式进行迭代，i从0至15： xi+1 = xi d iy i2-i yi+1 = yi + d ix i2-i zi+1 = zi - dii 注：z0 = ，di与zi同符号。 3、 经过16次迭代计算后，得到的x16 和y16分别为cos和sin。 至此，关于CORDIC的三角函数cos和sin的计算原理讲解结束。 关于CORDIC算法计算三角函数cos和sin的MATLAB代码如下

15、所示：close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数x = zeros(die+1,1);y = zeros(die+1,1);z = zeros(die+1,1);x(1) = 0.607253;%初始设置z(1) = pi/4;%待求角度%迭代操作for i = 1:die if z(i) = 0 d = 1; else d = -1; end x(i+1) = x(i) - d*y(i)*(2(-(i-1); y(i+1) = y(i) + d*x(i)*(2(-(i-1); z(i+1) = z(i) - d*atan(2(-(i-1);endcosa

16、= vpa(x(17),10)sina = vpa(y(17),10)c = vpa(z(17),10)1234567891011121314151617181920212223242、CORDIC的向量模式讲完了旋转模式后，我们接着讲讲向量模式下的圆坐标系。 在这里，我们需从头来过了，假设在xy坐标系中有一个点P0（x0，y0），将P0点绕原点旋转角后得到点Pn（xn，0），在-99.7，99.7范围内。 于是可以得到P0和Pn的关系： xn = x0cos y0sin = cos(x0 y0tan) yn = y0cos + x0sin = cos(y0 + x0tan) = 0 如何得到

17、Pn（xn，yn）一直是我们的目标。而此时，我们还是列出那几个等式： 根据三个迭代公式进行迭代，i从0至15： xi+1 = xi d iy i2-i yi+1 = yi + d ix i2-i zi+1 = zi - dii 不过此时我们尝试改变初始条件： 设置迭代次数为16，则x0 = x，y0 = y，z0 = 0，di与yi的符号相反。表示，经过n次旋转，使Pn靠近x轴。 因此，当迭代结束之后，Pn将近似接近x轴，此时yn = 0，可知旋转了，即zn = = arctan(y/x)。 而 xn = 1/cosi(x0cos y0sin)，（其中i从0至n-1） yn = 1/cosi(

18、y0cos + x0sin)，（其中i从0至n-1） 因此，可得ycos + xsin = 0， xn = 1/cosi(xcos ysin) = 1/cosi (xcos ysin)2(1/2) = 1/cosi x2cos2 + y2sin2 2xysincos(1/2) = 1/cosi x2cos2 + y2sin2 + y2 cos2 + x2sin2(1/2) = 1/cosi x2 + y2(1/2) 由上可以知道，我们通过迭代，就算出了反正切函数zn = = arctan(y/x)，以及向量OP0（x，y）的长度 d = xn * cosi。 关于反正切函数，一休哥要多啰嗦几句

19、了，由于在-99.7，99.7范围内，所以我们输入向量OP0（x，y）时，需要保证其在第一、四象限。 关于CORDIC算法计算反三角函数arctan的MATLAB代码如下所示：close all;clear;clc;% 初始化die = 16;%迭代次数x = zeros(die+1,1);y = zeros(die+1,1);z = zeros(die+1,1);x(1) = 100;%初始设置y(1) = 200;%初始设置k = 0.607253;%初始设置%迭代操作for i = 1:die if y(i) = 0 d = -1; else d = 1; end x(i+1) = x(

20、i) - d*y(i)*(2(-(i-1); y(i+1) = y(i) + d*x(i)*(2(-(i-1); z(i+1) = z(i) - d*atan(2(-(i-1);endd = vpa(x(17)*k,10)a = vpa(y(17),10)c = vpa(rad2deg(z(17),10)12345678910111213141516171819202122232425三、CORDIC的旋转模式Verilog仿真一休哥在编写CORDIC算法时，采用了16级流水线，仿真效果十分明显。以下是顶层文件的代码。 为了避免浮点运算，为了满足精度要求，一休哥对每个变量都放大了216倍，并且

21、引入了有符号型reg和算术右移。 关于Verilog代码的编写，一休哥已经不想多说了，因为代码是完全符合我之前所讲的CORDIC的原理与MATLAB仿真代码。相信大家在看完本文的前两个部分之后，对Verilog的理解应该不是难事儿。module Cordic_Test( CLK_50M,RST_N, Phase, Sin,Cos,Error);input CLK_50M;input RST_N;input 31:0 Phase;output 31:0 Sin;output 31:0 Cos;output 31:0 Error;define rot0 32d2949120 /45度*216def

22、ine rot1 32d1740992 /26.5651度*216define rot2 32d919872 /14.0362度*216define rot3 32d466944 /7.1250度*216define rot4 32d234368 /3.5763度*216define rot5 32d117312 /1.7899度*216define rot6 32d58688 /0.8952度*216define rot7 32d29312 /0.4476度*216define rot8 32d14656 /0.2238度*216define rot9 32d7360 /0.1119度*21

23、6define rot10 32d3648 /0.0560度*216define rot11 32d1856 /0.0280度*216define rot12 32d896 /0.0140度*216define rot13 32d448 /0.0070度*216define rot14 32d256 /0.0035度*216define rot15 32d128 /0.0018度*216parameter Pipeline = 16;parameter K = 32h09b74; /K=0.607253*216,32h09b74,reg signed 31:0 Sin;reg signed 3

24、1:0 Cos;reg signed 31:0 Error;reg signed 31:0 x0=0,y0=0,z0=0;reg signed 31:0 x1=0,y1=0,z1=0;reg signed 31:0 x2=0,y2=0,z2=0;reg signed 31:0 x3=0,y3=0,z3=0;reg signed 31:0 x4=0,y4=0,z4=0;reg signed 31:0 x5=0,y5=0,z5=0;reg signed 31:0 x6=0,y6=0,z6=0;reg signed 31:0 x7=0,y7=0,z7=0;reg signed 31:0 x8=0,y

25、8=0,z8=0;reg signed 31:0 x9=0,y9=0,z9=0;reg signed 31:0 x10=0,y10=0,z10=0;reg signed 31:0 x11=0,y11=0,z11=0;reg signed 31:0 x12=0,y12=0,z12=0;reg signed 31:0 x13=0,y13=0,z13=0;reg signed 31:0 x14=0,y14=0,z14=0;reg signed 31:0 x15=0,y15=0,z15=0;reg signed 31:0 x16=0,y16=0,z16=0;reg 1:0 Quadrant Pipel

26、ine:0;always (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x0 = 1b0; y0 = 1b0; z0 = 1b0; end else begin x0 = K; y0 = 32d0; z0 = Phase15:0 16; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x1 = 1b0; y1 = 1b0; z1 = 1b0; end else if(z031) begin x1 = x0 + y0; y1 = y0 -

27、 x0; z1 = z0 + rot0; end else begin x1 = x0 - y0; y1 = y0 + x0; z1 = z0 - rot0; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x2 1); z2 1); z2 = z1 - rot1; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x3 2); z3 2); z3 = z2 - rot2; endendalways (posedg

28、e CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x4 3); z4 3); z4 = z3 - rot3; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x5 4); z5 4); z5 = z4 - rot4; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x6 5); z6 5); z6 = z5 - rot5; endendalways (posedg

29、e CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x7 6); z7 6); z7 = z6 - rot6; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x8 7); z8 7); z8 = z7 - rot7; endendalways (posedge CLK_50M or negedge RST_N)begin if(!RST_N) begin x9 8); z9 8); z9 = z8 - rot8; endendalways (posedge CLK_50M or