第十四讲FIR滤波器的最佳逼近汇总.docx

1、第十四讲FIR滤波器的最佳逼近汇总南昌大学科学技术学院教案课程名称数 字 信 号 处 理授课时间 周，星期 ， 节（ 年 月 日）课次授课方式理论课 实验课 其他学时2授课题目FIR滤波器的最佳逼近目的与要求：重点与难点：教具（多媒体、模型、图表等）：板书、多媒体南昌大学科学技术学院教案教 学 内 容教学方法时间分配阐述+提问随堂掌握课堂设问：教学内容小结：复习思考题或作业题：教学后记（此项内容在课程结束后填写）：南昌大学科学技术学院讲稿7.6 FIR滤波器的最佳逼近 采用窗函数法设计FIR滤波器方法简单，通常会得到一个性能相对很好的滤波器。但是在以下两个方面的问题，这些滤波器的设计还不是最优

2、的： （1）通带和阻带的波动基本上相等，虽然一般需要2小于1，但是在窗函数法中不能分别控制这些参数。 所以，窗函数法需要在通带内对滤波器“过设计”（即通带内的技术指标超过所要求的技术指标），这样才能满足阻带的严格要求。 （2） 对于大部分窗函数来说，通带内或阻带内的波动不是均匀的，通常离开过渡带时会减小。若允许波动在整个通带内均匀分布， 那么就会产生较小的峰值波动。 另一方面，对于一个给定的滤波器阶数M（M=N-1），在所有频带内波动的幅度最小。在这个意义上说，等波纹线性相位滤波器是最优的。所以，等波纹线性相位滤波器设计法又称为等波纹最佳一致逼近设计法。 一个FIR线性相位滤波器的频率响应可以

3、写成 （7-123） 式中，幅度H()是的实值函数。对于第一类线性相位滤波器 h(n)=h(N-1-n)式中，N是奇数。利用h(n)的对称性可以将频率相应表示为 （7-124） 式中，L=(N-1)/2，且有： Hd()是期望的幅度; W()是一个正的误差加权函数， 它是为在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。一般地，在要求逼近精度高的频带， W()取值大; 要求逼近精度低的频带, W()的取值小。设计过程中W()为已知函数。设 E()=W()Hd()-H() 是一个加权逼近误差。等波纹滤波器设计问题就是求系数a(k)， 要求在一组频率F上使E()的最大绝对值最小， 例如，为了设计一个低通滤

4、波器，频率组F可以是通带0, p和阻带s, 内的频率，如图7-29所示。过渡带p, s是不关心的区域，求加权误差最小时不作考虑，此时可以采用交错定理求这个最优化问题。 图 7-29 等波纹滤波器设计中的频率组， 包括通带0, p和阻带s, 过渡带p, s是不关心的区域交错定理：设F是0, 区间内封闭子集的并集，对于一个正的加权函数W()， 在F上，H()能成为惟一使加权误差|E()|最大值最小的函数。 其充要条件是：在F上E()至少有L+2个交错值。也就是说，在F上必须至少有L+2 个极值频率， 01L+1 这样E(k)=-E(k+1) k=0, 1, , L 且 k=0, 1, , L+1交

5、错定理说明最优滤波器是等波纹的。虽然交错定理确定了最优滤波器必须有的极值频率（或波动）最少数目，但是可以有更多的数目。例如，一个低通滤波器可以有L+2个或L+3 个极值频率，有L+3 个极值频率的低通滤波器称作超波纹滤波器。 由交错定理可以得到： W(k)Hd(k)-H(k)=(-1)k k=0, 1, , L+1 式中， 是最大的加权误差绝对值，这些关于未知数a(0), , a(L)以及的方程可以写成下面矩阵的形式： 给定了极值频率，就可以解关于a(0), , a(L)以及的方程。 为了求极值频率，可以采用一种高效的迭代过程，称作帕克斯-麦克莱伦（Parks McClellan）算法。具体步

6、骤如下： 估计一组初始极值频率（可任选）。 解方程（7-113）求，可以证明的值为 式中： 利用拉格朗日插值公式在极值频率之间插值，计算F上的加权误差函数。 先选择使插值函数最大的L+2 个频率， 然后再选择一组新的极值频率。 如果极值频率改变了，从步骤开始重复迭代过程。 一个设计公式可以用来计算一个低通滤波器的等波纹滤波器阶数， 过渡带宽度为f，通带波动为1，阻带波动为2， 该公式为 (7-114) 7.7 FIR等波纹设计举例例 7-12 设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率p=0.3，阻带截止频率s=0.3，通带波动1=0.01，阻带波动2=0.001。 解 利用式（7-101）计算滤

7、波器阶数，求 由于我们希望阻带内的波动比通带内的波动小10倍，所以必须采用加权函数对误差加权： 图 7-30实际中，一般调用MATLAB信号处理工具箱函数 remezord来计算等波纹滤波器阶数N和加权函数W()，调用函数remezord直接求滤波器的单位脉冲响应h(n)。 例 7-13 设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率p=0.6，阻带截止频率s=0.8，通带波动1=0.1，阻带波动2=0.1。 7.8 FIR滤波器和IIR滤波器的比较首先，从性能上说，IIR滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，这样一来，所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率高。但是这个高效率的代价是以相位的

8、非线性得来的。 选择性越好，非线性越严重。相反，FIR滤波器可以得到严格的线性相位。 但是，如果需要获得一定的选择性，则要用较多的存储器和较多的运算， 成本比较高， 信号延时也较大。然而，FIR滤波器的这些缺点是相对于非线性相位的IIR滤波器比较而言的。如果按相同的选择性和相同的相位线性要求的话， 那么，IIR滤波器就必须加全通网络来进行相位校正，因此同样要大大增加滤波器的节数和复杂性。所以如果相位要求严格一点，那么采用FIR滤波器不仅在性能上而且在经济上都将优于IIR。 从结构上看，IIR必须采用递归型结构， 极点位置必须在单位圆内; 否则, 系统将不稳定。此外，在这种结构中，由于运算过程中

9、对序列的四舍五入处理， 有时会引起微弱的寄生振荡。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。 此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。 从设计工作看，IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。又有许多数据和表格可查， 设计计算的工作量比较小， 对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭函数的设计公式。 窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通阻带衰减等仍无显式表达式。 一般，FIR滤波器设计只有计算程序可循， 因此对

10、计算工具要求较高。 此外，还应看到，IIR滤波器虽然设计简单， 但主要是用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低、 高、带通及带阻等， 往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活的多， 尤其是频率采样设计法更容易适应各种幅度特性和相位特性的要求， 可以设计出理想的正交变换、理想微分、线性调频等各种重要网络。 因而有更大适应性和更广阔的天地。 从以上简单比较我们可以看到IIR滤波器与FIR滤波器各有所长，在实际应用时要从多方面考虑来加以选择。从使用要求来看， 如对相位要求不敏感的语言通讯等， 选用IIR较为合适。而对图像信号处理、数据传输等以波形携带信息的系统，一般对线性相位要求较高，这时采用FIR滤波器较好。当然, 在实际设计中, 还应综合考虑经济上的要求以及计算工具的条件等多方面的因素。 本章小结本章是本课件的一个重点.主要介绍了IIR滤波器与FIR激光器的设计方法.IIR滤波器的双线性变换与冲激响应不变法与FIR滤波器的窗函数法与频率采样法.也是很多高校考研命题的重点内容