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1、上海市中考数学试题分类解析汇编2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质 一、选择题1. （上海市2004年3分）在函数 的图象上有三点 、 ，已知 ，则下列各式中，正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】 C。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可： 0，函数图象如图，图象在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小。 ， 。故选C。2.（上海市2006年4分）二次函数 图像的顶点坐标是【 】（A.） （1，3） （B）. （1，3） （C）.（1，3） （ D）.

2、（1，3）【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】根据二次函数的顶点式的特点，直接写出顶点坐标：（1，3）。故选B。3.（上海市2007年4分）如果一次函数 的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交，那么【 】A ， B ， C ， D ， 【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数 的图象有四种情况：当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的

3、值增大而减小。 由题意得，函数 的图象经过第一、三、四象限， ， 。故选B。4.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，直线 经过【 】A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限【答案】A。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数 的图象有四种情况：当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。 由题意得，函

4、数 的 ， ，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。5.（上海市2008年组4分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点的个数是【 】A3 B2 C1 D0【答案】B。【考点】抛物线与 轴的交点。【分析】抛物线 与 轴的交点的个数即方程 不相等实数根的个数，有2个，故选B。6.（上海市2009年4分）抛物线 （ 是常数）的顶点坐标是【 】A B C D 【答案】B。【考点】抛物线的性质。【分析】因为抛物线 是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是 。故选B。7.（上海市2010年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数 图像的两支分别在【 】A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、

5、二象限 D.第三、四象限【答案】B。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限；当 时，图象分别位于第二、四象限： 反比例函数 的系数 ， 图象两个分支分别位于第二、四象限。故选B。8.（上海市2011年4分）抛物线 ( 2)23的顶点坐标是【 】(A) （2，3）； (B) （2，3）； (C) （2，3）； (D) （2，3） 【答案】。【考点】二次函数的顶点坐标。【分析】由二次函数的顶点式表达式 ( 2)23直接得到其顶点坐标是（2，3）。故选。二、填空题1. （2001上海市2分）如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式

6、为 【答案】 。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设正比例函数的解析式为 ， 正比例函数的图象经过点（2，4）， 根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，得 ，解得 。 这个函数的解析式为 。2. （上海市2002年2分）抛物线 的顶点坐标是 【答案】（3，6）。【考点】二次函数的性质【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标： ，抛物线 的顶点坐标是（3，6）。3.（上海市2003年2分）在平面直角坐标系内，从反比例函数 的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 。【答案】 。【考点】反比例

7、函数系数k的几何意义。【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：根据题意，知|k|=12，k=12，又k0，k=12。该函数关系式为： 。4.（上海市2005年3分）点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 【答案】 。【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。【分析】设这个正比例函数的解析式是 ，因为点A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有4=2 ，从而可求出 =2。从而得这个正比例函数的解析式是 。5.（上海市2005年3分）如果将二次函数 的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 【答

8、案】 。【考点】二次函数图象与平移变换。【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式 。6.（上海市2006年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升 元。【答案】5.09。【考点】函数的图象。【分析】根据图象知道100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509100=5.09元。7.（上海市2007年3分）如图，正比例函数图象经过点 ，该函数解析式是 【答案】 。【考点】待定系数法求正比例函数解析式。【分析】设该正比例函数的解析式为 ， 由图象可知，该函数图象过点A（1，3）， 。 该正比例函数的解析式为

9、。8.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，如果双曲线 经过点 ，那么 【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为双曲线 经过点 ，所以 满足方程，即 ，从而 。9.（上海市2009年4分）反比例函数 图像的两支分别在第 象限【答案】一、三。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限；当 时，图象分别位于第二、四象限：反比例函数 的系数 ，图象两个分支分别位于第一、三象限。10.（上海市2010年4分）一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图所示 当 0x1时，y关于x的函数解析式为 y

10、= 60 x，那么当 1x2时，y关于x的函数解析式为 .【答案】y=100x40。【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】在0x1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1x2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当1x2时的函数解析式为y=100x40。11.（上海市2011年4分）如果反比例函数 （ 是常数， 0）的图像经过点(1，2)，那么这个函数的解析式是 【答案】 。【考点】曲线上的点与方程的关系。【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(1，2)代入 ，得 ，即 ，那么这个函数的解析式是 。 三、解答题1. （2001上海市10分）如图，

11、已知抛物线y2x24xm与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点（1）求实数m的取值范围；（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；（3）若直线 分别交x轴、y轴于点E、F，问BDC与EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由 【答案】解：（1）令y=0，则有2x24xm=0，依题意有，=168 m0，m2。又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，m0.因此实数m的取值范围为0m2。（2） ，C（1，m2）。令y=0，2x24xm =0，则 （由（1）知 ）。AB 。（3）在 中令y=0，得x ，E（ ，0）。令x=0，得y1，

12、F（0，1）。OE= ，OF=1。由（2）可得BD= ， CD=2m。当OE=BD时， ，解得m =1。此时OF=DC=1。又EOF=CDB=90，BDCEOF（SAS）。两三角形有可能全等。【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。【分析】（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式0，求解即可。（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。（3）要求判定BDC与EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有CDE=EOF=90，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中

13、一种情形成立即可。2.（上海市2002年10分）如图，直线y x2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PBx轴，B为垂足，SABP9（1）求点P的坐标；（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RTx轴，T为垂足，当BRT与AOC相似时，求点R的坐标.【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（4，0）。 设点P的坐标为（a， a2），其中a0。由题意，得SABP （a4）（ a2）9， 解得a2或a10（舍去）。 而当a2时， a23，点P的坐标为（2，3）。 （2）设反比例函数的解析式为 。 点P在反比例函数的图象上， ，k6 。

14、反比例函数的解析式为 。设点R的坐标为（b， ），点T的坐标为（b，0）其中b2，那么BTb2，RT 。当RTBAOC时， ，即 ， ，解得b3或b1（舍去）。点R 的坐标为（3，2）。当RTBCOA时， ，即 ， ，解得b1 或b1 （舍去）。点R 的坐标为（1 ， ）。综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1 ， ）。【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数又因为BRTAOC，利用线段比联立方程组求出x，

15、y的值。3.（上海市2003年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5cm，拱高OC0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图： （1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： 1.4，计算结果精确到1米）【答案】解：（1）顶点C在y轴上，设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 。点A（ ，0）在抛物线上， ，得 。所求函数解析式为

16、： 。（2）点D、E的纵坐标为 ， ，得 。点D的坐标为（ ， ），点E的坐标为（ ， ）。DE= ( )= 。因此月河河流宽度为 110000.01= （米）。【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为 ，把A点坐标代入解析式求出a即可。（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。 4.（上海市2003年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是 轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数 的图象经过点A、B，与 轴相交于点C。 （1） 、 的符号之间有何关系？ （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中

17、项，试证 、 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果 4，AB ，求 、 的值。【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即 0时， 0（如图）；当抛物线开口向上，即 0时， 0；因此 、 同号。（2）设A（m，0），B（n，0），抛物线的解析式 中，令 =0，得： 。OAOB=mn= ，OC2= 。OAOB=OC2， = ，解得 =1。所以 、 互为倒数。（3）由题意知： ，则mn= ，mn= 。AB= ，AB2=48。（nm）2=48，即（m+n）24mn=48， 。解得 。 。因此 、 的值分别为： 、2或 、2。【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）根

18、据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与 轴交于正半轴，即 、 同号。（2）当CO2=OAOB时，可用 表示出OC，用 、 表示出OAOB，代入上式即可求得 、 是否为倒数关系。（3）沿用（2）的思路，首先将 值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何 、 的倒数关系，即可求得 、 的值。 5.（上海市2004年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在 轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作 轴的垂线，分别交二次函数 的图象于点C和D，

19、直线OC交BD于点M，直线CD交 轴于点H，记点C、D的横坐标分别为 ，点H的纵坐标为 同学发现两个结论： ； 数值相等关系： 。 （1）请你验证结论和结论成立； （2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为 ”，其他条件不变，结论是否仍成立？（请说明理由） （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为 ”，又将条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，那么 和 有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由） 【答案】解：（1）由已知可得点 的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC

20、的函数解析式为 点M的坐标为（2，2）， 。 ， 即结论成立。 设直线CD的函数解析式为 则 ，得 直线CD的函数解析式为 ； 由上述可得，点H的坐标为（0，2）， 。 ， ，即结论成立。 （2）结论仍成立，理由如下： 点A的坐标为 ，则点B坐标为（ ），从而点C坐标为 ，点D坐标为 ，设直线OC的函数解析式为 ，则 ，得 。 直线OC的函数解析式为 。 设点M的坐标为（ ）， 点M在直线OC上， 当 时， ，点M的坐标为（ ）。 。 结论仍成立。 （3） ，理由如下： 由题意，当二次函数的解析式为 ，且点A坐标为（t，0）（ ）时，点C坐标为（ ），点D坐标为（ ），设直线CD的函数解析式为

21、 则 直线CD的函数解析式为 。 则点H的坐标为（ ）， 。 ， 。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。（2）（3）的解法同（1）完全一样。6.（上海市2005年10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，3），且BOCO一、求这个二次函数的解析式；二、设

22、这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.【答案】解：（1）C（0，3），OC=|3|=3， =3。 又OC=BO，BO=3，B（3，0）。 93 3=0， =2。 这个二次函数的解析式为 。 （2） ，M（1，4）。 又由 解得 A（1，0）， AM= 。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，3），代入抛物线解析式可求 、 。 （2）求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。7.（上海市2006年12分）如图，在直角坐标系中， 为原点点 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数 的图象经过

23、点 （1）求点 的坐标（5分）；（2）如果经过点 的一次函数图象与 轴的正半轴交于点 ，且 ，求这个一次函数的解析式（7分）。【答案】解：（1）由题意，设点 的坐标为 ， 点 在反比例函数 的图象上，得 ，解得 ， 。 经检验 ， 是原方程的根，但 不符合题意，舍去。 点 的坐标为 。 （2）由题意，设点 的坐标为 ， ，解得 ，经检验 是原方程的根。 点 的坐标为 。 设一次函数的解析式为 ， 一次函数图象过点 ， ，得 。 所求一次函数的解析式为 。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据 点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出 的

24、坐标。 （2）根据题意求B点坐标，再求解析式。8.（上海市2007年12分）如图，在直角坐标平面内，函数 （ ， 是常数）的图象经过 ， ，其中 过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，连结 ， ， （1）若 的面积为4，求点 的坐标；（2）求证： ；（3）当 时，求直线 的函数解析式【答案】解：（1）函数 ， 是常数）图象经过 ， 。 设 交于点 ，据题意，可得 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 。 ， ， 。 由 的面积为4，即 ，得 ，点 的坐标为 。 （2）证明：根据题意，点 的坐标为 ，则 。 ，易得 ， ， ， 。 。 。 （3） ，当 时，有两种情况：

25、当 时，四边形 是平行四边形， 由（2）得， ， ，得 。 点 的坐标是（2，2）。 设直线 的函数解析式为 ，把点 的坐标代入， 得 解得 。 直线 的函数解析式是 。 当 与 所在直线不平行时，四边形 是等腰梯形， 则 ， ，点 的坐标是（4，1）。 设直线 的函数解析式为 ，把点 的坐标代入， 得 解得 。 直线 的函数解析式是 。 综上所述，所求直线 的函数解析式是 或 。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质。【分析】（1）由函数 （ ， 是常数）的图象经过 ，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出函数关系式

26、，从而由 的面积为4求出点 的坐标。 （2）由已知，求出 ，即可证得 。 （3）分 和 与 所在直线不平行两种情况讨论即可。9.（上海市2008年12分）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点二次函数 的图像经过点 ，顶点为 （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点 的坐标（5分）；（2）如果点 的坐标为 ， ，垂足为点 ，点 在直线 上， ，求点 的坐标（7分）【答案】解：（1）二次函数 的图像经过点 ， ，得 。所求二次函数的解析式为 。 则这个二次函数图像顶点 的坐标为 。 （2）过点 作 轴，垂足为点 。 在 中， ， ， ， 。 在 中， ，又 ，可得 。 。 过点 作 轴，垂足为点

27、 。由题意知，点 在点 的右侧， 易证 。 其中 ， 。设点 的坐标为 ，则 ， 。 若点 在 的延长线上，则 ，得 ， ， 。点 的坐标为 。 若点 在线段 上，则 ，得 ， ， 。点 的坐标为 。 综上所述，点 的坐标为 或 。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数 的图像经过点 ，可求得 ，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式 ，可得这个二次函数图像顶点 的坐标为 。 （2）过点 作 轴，垂足为点 ，过点 作 轴，垂足为点 。分点 在 的延长线上和

28、点 在线段 上两种情况分别求出点 的坐标为 或 。10.（上海市2010年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.【答案】解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得： ，解之得：b=4，c=0 抛物线的表达式为： 。 将抛物线的表达式配方得： 该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）。 （

29、2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点为点E（4m，n），点E关于y轴的对称点为点F（4m,n）。来源:学.科.网 则四边形OAPF可以分为：OFA与OAP， = + = =20 =5。 点P为第四象限的点，n0，n= 5。 代入抛物线方程得m=5。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。 （2）根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，列式求出n，代入抛物线方程求得m。11.（上海市2011年12分）已知平面直角坐标系 O （如图1），一次函数 的图 像与 轴交于点A，点M在正比例函数 的图像上，且MOMA二次函数 2b c的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在 轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函