学年高中数学第二章推理与证明212演绎推理学案新人教A版选修22.docx

1、学年高中数学第二章推理与证明212演绎推理学案新人教A版选修222.1.2演绎推理1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.1.演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P1.演绎推理的特点（1）演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形

2、式是正确的，那么结论也必定是正确的.2.为了方便，在运用“三段论”推理时，常常采用省略大前提的表达方式.对于复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提. 3.“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）“三段论”就是演绎推理.（）（2）演绎推理的结论一定是正确的.（）（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）（4）演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.（）答案：（1）（2）（3）（4） “所有金

3、属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（）A.演绎推理 B.类比推理C.合情推理 D.归纳推理解析：选A.“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提条件，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义. “因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是（）A.矩形都是四边形B.四边形的对角线都相等C.矩形的对角线相等D.对角线都相等的四边形是矩形解析：选C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等. 正弦函数是奇函数，f（x）sin x2是正弦函数，所以f（x）sin x2是奇函数，以上“

4、三段论”中的是错误的.答案：小前提探究点1用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成三段论的形式.（1）等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的底角，则AB.（2）通项公式为an2n3的数列an为等差数列.【解】（1）等腰三角形的两底角相等， 大前提A，B是等腰三角形的底角， 小前提AB. 结论（2）数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列， 大前提通项公式为an2n3时，若n2，则anan12n32（n1）32（常数），小前提通项公式为an2n3的数列an为等差数列. 结论将演绎推理写成三段论的方法（1）用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.（2）用三段论写推

5、理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略.（3）在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（）A.小前提错 B.结论错C.正确 D.大前提错解析：选C.在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的.2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式：（1）一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；（2）三角形的内角和是180，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180；（3）循环小数是有理数，0.332,是循环小数，

6、所以0.332,是有理数.解：（1）一切偶数都能被2整除， 大前提0是偶数， 小前提所以0能被2整除. 结论（2）三角形的内角和是180， 大前提等边三角形是三角形， 小前提故等边三角形的内角和是180. 结论（3）循环小数是有理数， 大前提0.332,是循环小数， 小前提所以0.332,是有理数. 结论探究点2演绎推理在证明代数中的应用已知函数f（x）ax（a1），求证：函数f（x）在（1，）上为增函数.【证明】如果在（1，）上f（x）0，那么函数f（x）在（1，）上是增函数，大前提因为a1，所以f（x）axln a0，小前提所以函数f（x）在（1，）上为增函数.结论（1）数学问题的解决和证

7、明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.（2）在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理（如基本不等式等），这是大前提，然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件. 在锐角三角形ABC中，求证sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C.证明：因为在锐角三角形中， AB，所以AB，所以0BA.又因为在内，正弦函数是单调递增函数，所以sin Asincos B，即sin Acos B，同理，sin Bcos C，sin Ccos A.以上两端

8、分别相加，有sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.探究点3演绎推理在证明几何中的应用如图，D，E，F分别是ABC中BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理.【证明】因为同位角相等，两条直线平行， 大前提BFD与A是同位角，且BFDA， 小前提所以FDAE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提DEBA，且FDAE， 小前提所以四边形AFDE为平行四边形. 结论因为平行四边形的对边相等， 大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提所以EDAF. 结论 若本例中增加条件“CA”，证明：BFDBDF.证

9、明：因为同位角相等，两直线平行， 大前提BFD与A是同位角，且BFDA， 小前提所以FDAE. 结论因为两直线平行，同位角相等， 大前提FDAE，且BDF与C是同位角， 小前提所以BDFC. 结论又因为CA，BFDA 小前提所以BFDBDF. 结论用三段论证明几何问题的一般步骤（1）理清楚证明命题的一般思路.（2）找出每一个结论得出的原因.（3）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论. 在梯形ABCD中，ABDCDA，AC和BD是梯形的对角线.求证：CA平分BCD，BD平分A

10、BC.证明：如图，因为等腰三角形两底角相等， 大前提ADC是等腰三角形，1和2是两个底角， 小前提所以12. 结论因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提1和3是平行线AD，BC被AC截得的内错角， 小前提所以13. 结论因为等于同一个角的两个角相等， 大前提21，31， 小前提所以23，即CA平分BCD. 结论同理可证BD平分ABC.1.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A.使用了“三段论”，但大前提错误B.使用了“三段论”，但小前提错误C.使用了归纳推理D.使用了类比推理解析：选A.大前提是全称命题，而小前提是特称命

11、题.因此命题的推理过程是“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式.有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误.2.下列四种推理是合情推理的是（）已知两条直线平行同旁内角互补，如果和是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角，那么180；由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；数列an中，由an2n1（nN*）推出a1019；由数列1，0，1，0，推测出通项公式an（1）n1（nN*）.A. B.C. D.解析：选B.是由一般到特殊的推理，是演绎推理；是由特殊（平面三角形的性质）到特殊（空间四面体的性质）的推理，是类比推理；是由数列前几项猜测

12、通项an，是由个别到一般的推理，是归纳推理.故是合情推理.3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为.ycos x（xR）是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x（xR）是周期函数.答案：4.已知数列an满足a11，a23，an23an12an（nN*）.（1）证明：数列an1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式.解：（1）证明：因为an23an12an，所以an2an12an12an2（an1an），所以2（nN*）而a2a12.所以数列an1an是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得an1an2n（nN*）.所以an（anan1）（an1an2）（a2a1）a12n12

13、n2212n1（nN*）. 知识结构深化拓展 A基础达标 1.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.两条直线平行，同位角相等，因为A和B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角，所以ABB.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C.由633，835，1037，1257，1477，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和D.在数列an中，a11，an（n2），由此归纳出数列an的通项公式解析：选A.A中，由一般结论“两条直线平行，同位角相等”推出特例“AB”是演绎推理；B、C、D中，均是由特殊到一般或特

14、殊的推理，是合情推理.2.“对于三条直线a，b，c，可由ab，ac推得bc”，则以下说法正确的是（）A.三条直线a，b，c是大前提B.ab是大前提C.ab，ac是小前提D.以上说法都不正确解析：选C.推理的大前提是：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行；小前提是：三条直线a，b，c，ab，ac；结论是：bc.3.“三角函数是周期函数，ytan x，x是三角函数，所以ytan x，x是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确解析：选C.ytan x，x只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错

15、误，导致整个推理结论错误.4.（2017高考全国卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的

16、成绩，因此选择D.5.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d，人们还用过一些类似的近似公式，根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A.d B.dC.d D.d解析：选D.由V，解得d，代入选项A得3.1；代入选项B得3；代入选项C得3.2；代入选项D得3.142 857.由于选项D中的值最接近的真实值，故选D.6.求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a0，小前提是有意义，结论是.解析：由三段论的形式可知，结论是log2x20.答案：lo

17、g2x207.以下推理过程省略的大前提为：.因为a2b22ab，所以2（a2b2）a2b22ab.解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2b2，故大前提为：若ab，则acbc.答案：若ab，则acbc8.已知函数f（x）a，若f（x）为奇函数，则a.解析：因为奇函数f（x）在x0处有意义，则f（0）0，而奇函数f（x）a的定义域为R，所以f（0）a0，所以a.答案：9.把下列演绎推理写成三段论的形式.（1）一切奇数都不能被2整除，（22 0171）是奇数，所以（22 0171）不能被2整除.（2）因为ABC三边的长依次为3，4，5，所以ABC是直角三角形.解：（1）一切奇数都不

18、能被2整除，大前提22 0171是奇数，小前提22 0171不能被2整除.结论（2）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提ABC三边的长依次为3，4，5，且324252，小前提ABC是直角三角形.结论10.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.（1）证明：数列ann是等比数列.（2）求数列an的前n项和Sn.解：（1）证明：因为an14an3n1，所以an1（n1）4（ann），nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列.（2）由第一问可知ann4n1，所以an4n1n.所以数列an的前n项和Sn.B能力提升11.袋中装有偶数个球，其中红

19、球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：选B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒

20、，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是.解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖.答案：乙和丁13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD

21、BC于点D，BEAC于点E，D、E是垂足，求证：（1）ABD是直角三角形；（2）AB的中点M到D、E的距离相等.证明：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提又因为在ABC中，ADBC，即ADB90， 小前提所以ABD是直角三角形. 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线， 小前提所以DMAB. 结论同理，EMAB.因为等于同一个量的两个量相等， 大前提又因为DMAB，EMAB 小前提所以DMEM，即M到D、E的距离相等. 结论14.（选做题）已知a，b，c是实数，函数f（x）ax2bxc，g（x）axb.当1x1时，|f（x）|1.（1）求证：|c|1；（2）当1x1时，求证：2g（x）2.证明：（1）因为x0满足1x1的条件，所以|f（0）|1.而f（0）c，所以|c|1.（2）当a0时，g（x）在1，1上是增函数，所以g（1）g（x）g（1）.又g（1）abf（1）c，g（1）abf（1）c，所以f（1）cg（x）f（1）c，又1f（1）1，1f（1）1，1c1，所以f（1）c2，f（1）c2，所以2g（x）2.当a0时，可用类似的方法，证得2g（x）2.当a0时，g（x）b，f（x）bxc，g（x）f（1）c，所以2g（x）2.综上所述，2g（x）2.