1、高考数学大一轮复习压轴题命题区间六圆锥曲线问题文压轴题命题区间(六)圆锥曲线问题第一课时简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中,用方程的观点来研究曲线,体现了用代数的方法解决几何问题的优越性,但有时运算量过大,或需繁杂的讨论,这些都会影响解题的速度,甚至会中止解题的过程,达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中,在规定的时间内,保质保量完成解题的任务,计算能力是一个重要的方面为此,从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧,合理简化解题过程,优化思维过程巧用定义,揭示本质定义是导出其性质的“发源地”,解题时,应善于运用圆锥曲线的定义,以数形结合思想为指导,把定量的分析有
2、机结合起来,则可使解题计算量大为简化,使解题构筑在较高的水平上典例如图,F1,F2是椭圆C1:y21与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A BC D解析由已知,得F1(,0),F2(,0),设双曲线C2的实半轴长为a,由椭圆及双曲线的定义和已知,可得解得a22,故a所以双曲线C2的离心率e答案D方法点拨本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|,|AF2|的等量关系,从而快速求出双曲线实半轴长a的值,进而求出双曲线的离心率,大大降低了运算量对点演练抛物线y24mx(m0)的焦点为F,点P为该抛物线上的动点,若点
3、A(m,0),则的最小值为_解析:设点P的坐标为(xP,yP),由抛物线的定义,知|PF|xPm,又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP,则2(当且仅当xPm时取等号),所以,所以的最小值为答案:设而不求,整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题,涉及求中点弦所在直线的方程,或弦的中点的轨迹方程的问题时,常常可以用代点法求解典例已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的标准方程为()A1 B1C1 D1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22,y1y22,得0,所以kAB又kAB,所以又9c2a
4、2b2,解得b29,a218,所以椭圆E的方程为1答案D方法点拨本题设出A,B两点的坐标,却不需求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题对点演练过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则0,x1x22,y1y22,a22b2又b2a2c2,a22(a2c2),a22c2,即椭圆C的离心率e答案:巧用“根与系数的关系”,化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来
5、解;但也可以利用一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小,解题过程简捷典例(2016全国甲卷)已知椭圆E:1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA(1)当t4,|AM|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|AN|时,求k的取值范围解设M(x1,y1),则由题意知y10(1)当t4时,E的方程为1,A(2,0)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为因此直线AM的方程为yx2将xy2代入1,得7y212y0解得y0或y,所以y1因此AMN的面积SAMN2(2)
6、由题意知t3,k0,A(,0)将直线AM的方程yk(x)代入1,得(3tk2)x22tk2xt2k23t0由x1(),得x1,故|AM|x1|由题设,直线AN的方程为y(x),故同理可得|AN|由2|AM|AN|,得,即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立,因此tt3等价于0,即0因此得或解得k0)相切于点M,且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析:选D设A,B,M,C(5,0)为圆心,当y1y2时,kAB,kCM,由kABkCM1yy24,所以M,又r2|CM|24210y1y2,所以(2r220)2yy
7、,所以y,y是方程t224t(2r220)20的两个不同的正根,由0得2r4综上,r的取值范围是(2,4)6中心为原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y3x2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程为()A1 B1C1 D1解析:选C由已知得c5,设椭圆的方程为1,联立消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0,设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由根与系数关系得x1x2,由题意知x1x21,即1,解得a275,所以该椭圆方程为17已知双曲线C:y21,点M的坐标为(0,1)设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点记,
8、则的取值范围是_解析:设P(x0,y0),则Q(x0,y0),(x0,y01)(x0,y01)xy1x2因为|x0|,所以的取值范围是(,1答案:(,18(2017长春质检)已知AB为圆x2y21的一条直径,点P为直线xy20上任意一点,则的最小值为_解析:由题意,设A(cos ,sin ),P(x,x2),则B(cos ,sin ),(cos x,sin x2),(cos x,sin x2),(cos x)(cos x)(sin x2)(sin x2)x2(x2)2cos2sin22x24x32(x1)21,当且仅当x1,即P(1,1)时,取最小值1答案:19设抛物线(t为参数,p0)的焦点
9、为F,准线为l过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B设C,AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为_解析:由(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0),F,|AB|AF|CF|p,可得A(p,p)易知AEBFEC,故SACESACF3ppp23,p26p0,p答案:10(2016河北三市二联)已知离心率为的椭圆1(ab0)的一个焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,|AB|(1)求此椭圆的方程;(2)已知直线ykx2与椭圆交于C,D两点,若以线段CD为直径的圆过点E(1,0),求k的值解:(1)设焦距为2c,e,a2b2c2,由题意可知,b1
10、,a,椭圆的方程为y21(2)将ykx2代入椭圆方程,得(13k2)x212kx90,又直线与椭圆有两个交点,所以(12k)236(13k2)0,解得k21设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1x2,x1x2,若以CD为直径的圆过E点,则0,即(x11)(x21)y1y20,而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4,则(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)550,解得k,满足k2111(2016山东高考节选)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(ab0)的离心率是,抛物线E:x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程(2)设P是
11、E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M求证:点M在定直线上解:(1)由题意知,可得a24b2因为抛物线E的焦点为F,所以b,a1所以椭圆C的方程为x24y21(2)证明:设P(m0)由x22y,可得yx,所以直线l的斜率为m因此直线l的方程为ym(xm),即ymx设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),联立方程得(4m21)x24m3xm410由0,得0m22(*)由根与系数的关系得x1x2,因此x0将其代入ymx,得y0因为,所以直线OD的方程为yx联立方程得点M的纵坐标yM,所以点M
12、在定直线y上12(2016合肥质检)已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)若直线ykx1与曲线C交于A,B两点,求OAB面积的取值范围解:(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),由题意可知2a4,又a2b2c2,解得a2,c,b1,故椭圆C的方程为x21(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k24)x22kx30,故x1x2,x1x2,设OAB的面积为S,由x1x20,知S(|x1|x2|)|x1x2|2,令k23t,知t3,S2对函数yt(t3),知y10,yt在t3,)上单调递增,t,0,0S,即O
13、AB面积的取值范围是第二课时定点、定值、证明问题定点问题典例已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程;(2)若直线OA,OB的斜率之积为,求证:直线AB过x轴上一定点解(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),所以1,即p2所以抛物线C的方程为y24x(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设A,B因为直线OA,OB的斜率之积为,所以,化简得t232所以A(8,t),B(8,t),此时直线AB的方程为x8当直线AB的斜率存在时,设其方程为ykxb,A(xA,yA),B(xB,yB),联立方程组消去x得k
14、y24y4b0由根与系数的关系得yAyB,因为直线OA,OB的斜率之积为,所以,即xAxB2yAyB0即2yAyB0,解得yAyB0(舍去)或yAyB32所以yAyB32,即b8k,所以ykx8k,即yk(x8)综合可知,直线AB过定点(8,0)方法点拨圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关对点演练已知椭圆1(ab0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别
15、交于点M,N,各点均不重合且满足1,2(1)求椭圆的标准方程;(2)若123,试证明:直线l过定点并求此定点解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b1,且(2a)2(2b)22(2c)2,又a2b2c2,所以a23所以椭圆的方程为y21(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为xt(ym),由1 ,知(x1,y1m)1(x0x1,y1),y1my11,由题意y10,11同理由2知21123,113,y1y2m(y1y2)0,联立得(t23)y22mt2yt2m230,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0,且有y1y2,y1y2,代入
16、得t2m232m2t20,(mt)21,由题意mt0,mt1,满足,故直线l的方程为xty1,过定点(1,0),即Q为定点定值问题典例(2017张掖诊断)如图,椭圆E:1(ab0)经过点A(0,1),且离心率为(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值解(1)由题意知,b1,由a2b2c2,得a,所以椭圆E的方程为y21(2)证明:设直线PQ的方程为yk(x1)1(k2),代入y21,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0,由题意知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1x20,则x1x2,x1x2,所以直线AP与AQ的斜率之和kAPkAQ
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