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1、 第五章 晶体中电子能带理论 习题晶体常数为的一维晶体中，电子的波函数为（1）,（2）是某一函数，求电子在以上状态中的波矢解 答由固体物理教程（5.14）式可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足由此得 (1) 于是 因此得 若只取布里渊区内的值： ，则有 (2) 令 得 .由上式知 =1所以有 因此得在布里渊区内的值为2.一维周期势场为其中，为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值解 答图5.1一维周期势场如图5.1所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得 = = =.3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度解 答根据教科书（5.35）式知

2、禁带宽度的表示式为 ， 其中是周期势场傅里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程（5.22）式 = 求得，第一禁带宽度为=2=2 =2 =.第二禁带宽度为 =2 =2 =2 =4.已知一维晶格中电子的能带可写成 ，式中是晶格常数是电子的质量，求（1）能带宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量解 答（1）能带宽度为 由极值条件 得上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为 .当取极小值，且有 =当，E(k)取极大值,且有 由以上可得能带宽度为（2）由固体物理教程（5.81）式，得电子的平均速度为 （3）由固体物理教程（5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为 对简

3、立方结构晶体，其晶格常数为（1）用紧束缚方法求出对应非简并态电子的能带；（2）分别画出第一布里渊区110方向的能带电子的平均速度、有效质量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线解 答（1）非简并态电子的能带 式中是晶体参考格点最近邻格矢对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻取参考格点的坐标为（0,0,0）,则6个最近邻点的坐标为 简单立方体非简并s态电子的能带则为（2）在110方向上 能带变为 其中 在110方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图5.2所示. 图5.2110方向电子的能带电子的平均速度 平均速度曲线如图5.3所示. 图5.3 平均速度曲线电子的有效质量 有效质量曲线如图5.

4、4所示. 图5.4 有效质量曲线 在110方向有恒定电场情况下,电子的受力 电子的加速度 .设电场方向与110方向相反,加速度曲线则如图5.5所示. 图5.5加速度曲线6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s态电子,试导出其能带,并求出能带底的有效质量. 解 答 用紧束缚方法处理晶格的s态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据固体物理教程（5.60）式,其能带表示式为 ,是最近邻格矢.对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则12个最近邻格点的坐标为(,0),( ,0, ),(0, ,).将上述12组坐标带入能带的表示式,得 .能带底即的最小值对应的为(0,0,0),有固体物理教程(

5、5.87)可得在能带底处电子的有效质量为.同理可得,其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出（1） s态电子的能带为 ;（2） 画出第一布里渊区111方向的能带曲线;（3） 求出带顶和带底电子的有效质量.【解 答】（1）用紧束缚方法处理晶格的s态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为是最近邻格矢.对体心立方晶格,取参考格点的坐标为（0,0,0）,则8个最近邻格点的坐标为 （）.将上述8组坐标代入能带的表示式,的 .（2）在111方向上 ,且第一布里渊区边界在 ,于是能带化成 ,其中.图5.6为第一布里渊区111方向的能带曲线. 图5.6 111方向的能带曲

6、线（3）由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当时,取最小值,即是能带底,电子的有效质量为 同理可得 ,其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的 处是能带顶,电子的有效质量为 .其它交叉项的倒数也全为零.8.某晶体电子的等能面是椭球面 ,坐标轴1，2，3相互垂.（1） 求能态密度;（2） 今加一磁场, 与坐标轴的夹角的方向余弦分别为,写出电子的运动方程;（3） 证明电子在磁场中的回旋频率 ,其中 .【解 答】（1） 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为 .将上式与椭球公式 比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面.与椭球的体积 比较可得到,能量为的等能面围成的椭球体积 由上式可

7、得 .能量区间内电子的状态数目 是晶体体积.电子的能态密度 （2） 根据固体物理教程中（5.86）式得 , , .将 代入上述三式得运动方程为 .即 . （1）当存在磁场时,电子受到洛仑兹力 .其分量形式为 , , 式中 ,.将上述结果代入运动方程（1）得 （2）(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一：对(2)式两边作拉普拉斯变换，并采用如下初始条件 ,得 +-=, -+=, -+=.由此解出 .其中.,., .因此得 .上式两边取逆拉普拉斯变换得 .同理可得 . , .及 . .可见电子回旋频率为.解法二：由于电子作周期运动，将试探解 , （这里一般为复数，电子的真实速度应为的实部或虚部.

8、）代入（2）式得 +-=0, +-=0, -+=0.有不全为零的解的充要条件是 .由此得 .于是 .这样，两种方法均给出电子回旋频率为 .再将 ,代入上式即得,其中.9.求出一维、二维金属中自由的能态密度.解 答（1）一维情况自由电子的色散关系为 .由此得 ,即 .对应同一个，在方向各有一个，因此空间中之间的区间为 ,在该范围内的状态数为 , 其中L是晶格长度.于是，态密度 .（2）二维情况参照固体物理教程（5.102）式可知，二维情况下态密度的一般表示式为 .其中S是晶格的面积，积分沿能量为E的等能线进行.由 得 .于是有 .10.二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数,，原子为单价的.(1) 试画出第一、二布里渊区； (2) 计算自由电子费密半径；(3) 画出费密面在第一、二布里渊区的形状. 【解 答】（1） 倒格子原胞基矢 .选定一倒格点为原点,原点的最近邻倒格矢有4个,它们是 这4个倒格矢的中垂线围成的区间即是第一布里渊区.即图5.7中所示区间.原点的次近邻倒格矢有4个,它们是 这4个倒格矢的中垂线围成的区间与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区.即图5.7中