奥数四年级行程问题97015.docx

1、奥数四年级行程问题97015第三部分 行程问题 第一讲 行程基础 【专题知识点概述】行程问题就是一类常见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括:相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大,辐射面广,但根本在于距离、速度与时间三个基本量之间的关系,即:距离速度时间,时间距离速度,速度距离时间。在这三个量中,已知两个量,即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式,就是解决行程问题的关键。在解答行程问题时,经常采取画图分析的方法,根据题意画出线段图,来帮助我们分析、理解题意,从而解决问题。一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系

2、的一类问题,总称为行程问题、我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)与路程(s)这三个基本量,它们之间的关系如下:(1)速度时间=路程 可简记为:s = vt(2)路程速度=时间 可简记为:t = sv(3)路程时间=速度 可简记为:v = st显然,知道其中的两个量就可以求出第三个量、 二、平均速度平均速度的基本关系式为:平均速度总路程总时间;总时间总路程平均速度;总路程平均速度总时间。【重点难点解析】1. 行程三要素之间的关系2.平均速度的概念3.注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1、注意观察运动过程中的不变量【习题精讲】【例1】(难度等级 )邮递

3、员早晨7时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路。她上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【分析与解】 法一:先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间:124+85=4、6(小时);邮递员返回到邮局共用时间:84+125+1+4、6 =2+2、4+1+4、6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻就是:7+10-12=5(时)、邮递员就是下午5时回到邮局的。法二:从整体上考虑,邮递员走了(12+8)千米的上坡路,走了(12+8)千米的下坡路,所以共用时间为:

4、(12+8)4+(12+8)5+1=10(小时),邮递员就是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。.【例2】(难度等级 )甲、乙两地相距100千米。下午3点,一辆马车从甲地出发前往乙地,每小时走10千米;晚上9点,一辆汽车从甲地出发驶向乙地,为了使汽车不比马车晚到达乙地,汽车每小时最少要行驶多少千米？、【分析与解】 马车从甲地到乙地需要10010=10小时,在汽车出发时,马车已经走了9-3=6(小时)。依题意,汽车必须在10-6=4小时内到达乙地,其每小时最少要行驶1004=25(千米).【例3】(难度等级 )小明每天早晨6:50从家出发,7:20到校,老师要求她明天提早6分钟到校。如果小

5、明明天早晨还就是6:50从家出发,那么,每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问:小明家到学校多远？(第六届小数报数学竞赛初赛题第1题)【分析与解】原来花时间就是30分钟,后来提前6分钟,就就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米,所以总共多走了2425=600米,而这与30分钟时间里,后6分钟走的路程就是一样的,所以原来每分钟走6006=100米。总路程就就是=10030=3000米。【例4】(难度等级 )韩雪的家距离学校480米,原计划7点40从家出发8点可到校,现在还就是按原时间离开家,不过每分钟比原来多走16米,那么韩雪几点就可到校？【分析与解】原来韩雪到校所

6、用的时间为20分钟,速度为:48020=24(米/分),现在每分钟比原来多走16米,即现在的速度为24+16=40(米/分),那么现在上学所用的时间为:48040=12(分钟),7点40分从家出发,12分钟后,即7点52分可到学校.【例5】(难度等级 )王师傅驾车从甲地开往乙地交货、如果她往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地、可就是,当到达乙地时,她发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米、如果她想按时返回甲地,她应以多大的速度往回开?【分析与解】 假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300602=10(小时),现在从甲到乙花费了时间30050=6(小时),

7、所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能就是10-6=4(小时)、即如果她想按时返回甲地,她应以3004=75(千米/时)的速度往回开.【例6】(难度等级 )刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以10千米/时的速度行进,下午1点到;以15千米/时的速度行进,上午11点到、如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进？【分析与解】 这道题没有出发时间,没有学校到韩丁家的距离,也就就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度、这就需要通过已知条件,求出时间与路程、假设有A,B两人同时从学校出发到韩丁家,A每小时行10千米,下午1点到;B每小时行15千米,上午11点到、B到韩丁家时,A距韩丁家还有102=2

8、0(千米),这20千米就是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程、因为B比A每小时多行15-10=5(千米),所以B从学校到韩丁家所用的时间就是20(15-10)=4(时)、由此知,A,B就是上午7点出发的,学校离韩丁家的距离就是154=60(千米)、刘老师要想中午12点到,即想(12-7=)5时行60千米,刘老师骑车的速度应为60(12-7)=12(千米/时).【例7】(难度等级 )小红上山时每走30分钟休息10分钟,下山时每走30分钟休息5分钟、已知小红下山的速度就是上山速度的2倍,如果上山用了3时50分,那么下山用了多少时间？【分析与解】上山用了3时50分,即603+50=230(分)

9、,由230(30+10)=530,得到上山休息了5次,走了230-105=180(分)、因为下山的速度就是上山的2倍,所以下山走了1802=90(分)、由9030=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用90+52=100(分)=1时40分、【例8】(难度等级 )老王开汽车从A到B为平地(见右图),车速就是30千米时;从B到C为上山路,车速就是22、5千米时;从C到D为下山路,车速就是36千米时、 已知下山路就是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间？【分析与解】设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度就是:(x+2x)(x22、5+2x36)=30(

10、千米/时),正好就是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就就是30千米/时,与平地路程的长短无关、因此共需要72302、4(时).【例9】(难度等级 )汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。【分析与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程总时间 ,在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程,进而就能求出总时间,那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法,这就是奥数里面非常重要的一种思想,在很多题目中都有应用。把甲、乙两地的距离视为1千米,总时间为:172+148,平均速度=2(172+148)=57、6千米/时。 我们发现中的取值在

11、计算过程中不太方便,我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为72,48=144千米,这样计算时间时就好计算一些,平均速度=1442(14472+14448)=57、6千米/时。【例10】(难度等级 )如图,从A到B就是12千米下坡路,从B到C就是8千米平路,从C到D就是4千米上坡路、小张步行,下坡的速度都就是6千米/小时,平路速度都就是4千米/小时,上坡速度都就是2千米/小时、问小张从A到D的平均速度就是多少?【分析与解】 从A到B的时间为:126=2(小时),从B到C的时间为:84=2(小时),从C到D的时间为:42=2(小时),从A到D的总时间为:2+2+2

12、=6(小时),总路程为:12+8+4=24(千米),那么从A到D 的平均速度为:246=4(千米/时).【例11】(难度等级 )有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时,上坡、走平路与下坡的速度分别为米/秒、米/秒与米/秒,求她过桥的平均速度。【分析与解】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米,那么总时间为:244+246+248=13(秒),过桥的平均速度为 (米/秒). 【例12】(难度等级 )汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米时,要想来回的平均速度为48千米时,回来时的速度应为多少？【分析与解】 假设AB两地之间的距离为

13、4802=240千米,那么总时间=48048=10(小时),回来时的速度=240(10-24040)=60(千米/时).【例13】(难度等级 )有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等、某人骑电动车过桥时,上坡、走平路与下坡的速度分别为11米秒、22米秒与33米秒,求她过桥的平均速度、【分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米,那么总时间=6611+6622+6633=6+3+2=11(秒),过桥的平均速度=66311=18(米/秒)【例14】(难度等级 )一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周、 在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20c

14、m,40cm(如右图)、它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？【分析与解】假设每条边长为200厘米,则总时间=20050+20020+20040=4+10+5=19(分钟),爬行一周的平均速度=200319=(厘米/分钟)、【例15】(难度等级 )甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米、问她走后一半路程用了多少分钟？【分析与解】全程的平均速度就是每分钟(80+70)2=75米,走完全程的时间就是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定就是80米,时间就是300080=37、5分钟,后一半路程时间就是80-37、5=42、5分钟.

15、第二讲 相遇与追及 【专题知识点概述】在今天这节课中,我们来研究行程问题中的相遇与追及问题.这一讲就就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解,使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题,其中最常见的就是相遇问题与追及问题、一、相遇甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上就是甲与乙一起走了A,B之间这段路程,如果两人同时出发,那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间=(甲的速度+乙的速度)相遇时间=速度与相遇时间、一般地,相遇问题的关系式为:速度与相遇时间=路程与,即二、追及有两个人同时行走,一个走得快

16、,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上她、这就产生了“追及问题”、实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就就是要计算两人走的路程之差(追及路程)、如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内:追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度追及时间-乙的速度追及时间=(甲的速度-乙的速度)追及时间=速度差追及时间、 一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差追及时间,即【重点难点解析】1.直线上的相遇与追及2.环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1、 多人多次相遇与追及【习题精讲】【例1】(难度等级 )一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市

17、相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。3、5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程就是多少千米？【分析与解】 (46+48)3、5=943、5=329(千米).【例2】(难度等级 )两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米？【分析与解】 255(45+40)=25585=3(小时)。453=135(千米)。403=120(千米)。.【例3】(难度等级 )两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇？【分析与解

18、】3300-(82+83)15(82+83)=3300-16515165=3300-2475165=825165=5(分钟)【例4】(难度等级 )甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始出发,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问:乙经过多长时间能追上甲？【分析与解】 出发时甲、乙二人相距10千米,以后两人的距离每小时都缩短15-105(千米),即两人的速度的差(简称速度差),所以10千米里有几个5千米就就是几小时能追上、10(15-10)1052(小时).【例5】(难度等级 )南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词,于就是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南

19、与往北驶去,二人的速度分别为50千米/时,60千米/时,那么北辙先生出发5小时她们相距多少千米?.【分析与解】 两人虽然不就是相对而行,但就是仍合力完成了路程,(50+60)5=550(千米).【例6】(难度等级 )军事演习中,“我”海军英雄舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?【分析与解】 “我”舰追到A岛时,“敌”舰已逃离10分钟了,因此,在A岛时,“我”舰与“敌”舰的距离为10000米(=100010)、又因为“我

20、”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击,即“我”舰只要追上“敌”舰9400(=10000米-600米)即可开炮射击、所以,在这个问题中,不妨把9400当作路程差,根据公式求得追及时间、即(100010-600)(1470-1000)=(10000-600)470=9400470=20(分钟),所以,经过20分钟可开炮射击“敌”舰.【例7】(难度等级 )小红与小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝;若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝、小红、小蓝二人的速度各就是多少？【分析与解】小红让小蓝先跑20米,则20米就就是小红、小蓝二人的路程差,小红跑5秒钟追上

21、小蓝,5秒就就是追及时间,据此可求出她们的速度差为205=4(米/秒);若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,在这个过程中,追及时间为6秒,根据上一个条件,由追及差与追及时间可求出在这个过程中的路程差,这个路程差即就是小蓝4秒钟所行的路程,路程差就等于46=24(米),也即小蓝在4秒内跑了24米,所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度、综合列式计算如下:小蓝的速度为:20564=6(米/秒),小红的速度为:6+4=10(米/秒)【例8】(难度等级 )小明步行上学,每分钟行70米、离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明、问

22、爸爸出发几分钟后追上小明？【分析与解】爸爸要追及的路程:7012=840(米),爸爸与小明的速度差:280-70=210(米/分),爸爸追及的时间:840210=4(分钟).【例9】(难度等级 )上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追她,在离家4千米的地方追上了她、然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好就是8千米,这时就是几点几分？【分析与解】画一张简单的示意图:图上可以瞧出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了8-44(千米)、而爸爸骑的距离就是 4 8 12(千米)、这就知道,爸爸骑摩托车的速度就是小明骑自行车速度的 1243(倍

23、)、按照这个倍数计算,小明骑8千米,爸爸可以骑行8324(千米)、但事实上,爸爸少用了8分钟,骑行了41216(千米)、少骑行24-168(千米)、摩托车的速度就是88=1(千米/分),爸爸骑行16千米需要16分钟、881632、所以这时就是8点32分。【例10】(难度等级 )甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米。两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,相遇后3时,甲车到达B地。求A,B两地的距离。【分析与解】 相遇后甲行驶了403=120千米,即相遇前乙行驶了120千米,说明甲乙二人的相遇时间就是12060=2小时,则两地相距(40+60)2=200千米.【例11】(难度等级 )小红与

24、小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米,小强每分钟走70米,二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发,但速度不变,小强每分钟走90米,则两人仍在A处相遇。小红与小强的家相距多远? 【分析与解】 因为小红的速度不变,相遇地点不变,所以小红两次走的时间相同,推知小强第二次比第一次少走4分。由(704)(90-70)=14(分),推知小强第二次走了14分,第一次走了18分,两人的家相距(52+70)18=2196(米).【例12】(难度等级 )甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自继续行驶3小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米.问:甲车到达B地时,乙车

25、还要经过多少时间才能到达A地?【分析与解】 由4时两车相遇知,4时两车共行A,B间的一个单程.相遇后又行3时,剩下的路程之与108090(千米)应就是两车共行431(时)的路程.所以A,B两地的距离就是(1080)(43)4360(千米)。因为7时甲车比乙车共多行801070(千米),所以甲车每时比乙车多行 70710(千米),又因为两车每时共行90千米,所以每时甲车行 50千米,乙车行40千米.行一个单程,乙车比甲车多用360403605097.21.8(时)1时48分.【例13】(难度等级 )甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,6分钟可

26、相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离、【分析与解】若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟、而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:(26-6)=20(分)。同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD、即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之与,为50(266)=1600(米)、所以,甲的速度为16002080(米/分),由此可求出A、B间的距离。50(26+6)(26-6)=50322080(米/分)(80+50)61306=780(米)【例14】(难度等级 )小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,

27、小王从乙地到甲地,每小时步行4千米、两人同时出发,然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇,求甲、乙两地间的距离？【分析与解】画一张示意图(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧,为什么？)离中点1千米的地方就是A点,从图上可以瞧出,小张走了两地距离的一半多1千米,小王走了两地距离的一半少1千米、从出发到相遇,小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走(5-4)千米,从出发到相遇所用的时间就是2(5-4)2(小时)、因此,甲、乙两地的距离就是(5 4)218(千米)、【例15】(难度等级 )甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离？【分析与解】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A、B两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即953=285(千米),而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米,可得:953-25=285-25=260(千米).