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1、最新五年级数学培优教材综合版五年级数学培优教材（一） 1.0版主编：刘志国汇优秀试题之精粹集思想方法之大成建创新能力之平台筑方法习惯之新路版权由株洲市东方金子塔儿童潜能培训学校所有 任何人未经允许不得翻印 违者必究 2012年6月编者的话随着教育改革的不断深入与发展，广大学生与家长迫切需要一本能指导变革时期小学数学培优的新读本。本套教材是本人结合多年的教学经验，及同行之间多年互相的交流和学习的成果，精心编写而成。本教材力求以全日制义务教育数学课程标准为依据，为广大教育工作者提供全面的系统的各类小学培优竞赛试题的分析和解答，突出素质教育的新思维，既注重知识的系统性、连续性，又注重有关知识的链接和

2、引申，强调问题背景的揭示、解题思路的探求、解题方法的概括，关注问题的开放性与应用性，在培养能力的同时拓展数学知识方法与思想。本书立足于尝试数学教育教学的“新方法”，里面的每一讲的前面都会对本讲的知识进行总结归纳，并建设性的提出一些解决问题的方法和设想，对学生更进一步的解决一些数学方面的困惑有一些帮助。欢迎广大小读者和广大教师、家长在使用过程中把你们的批评、建议告诉我们，以便我们今后把本书修改得更精更好，更加适应学生的需要。 编者 2012年6月数学教学与学习须知1、 为了达到更好的教学和学习效果，我校特阐述如下几点教学与学习的建议，与大家分享。当然在教学和学习过程中永远以实际情况为准。2、 一

3、期15次课，12次新课，第13次结合义务教育教本教材复习，第14次自主出试卷考试，内容一个方面为教本教材，另一个方面为奥数内容。3、 教学宗旨：让学生觉得数学学习轻松、简单、有效、快乐。尽最大努力改正学习习惯，培养数学学习兴趣，最大限度提高成绩。A、 培养良好的学习习惯听课要求：学生听课以及跟老师一起思考和解决问题是最重要的，所以我们要求老师在讲课过程中，绝对不允许学生开小差，哪怕是在做笔记也不行。做笔记要求：让学生了解不是笔记做得越多越好，而是只要把书本上没有的公式、定理、法则、性质等做好笔记就行了，而且是要求做在教科书上。书写要求：计算题，前后步骤之间逻辑关系要严谨，清晰。应用题，尽量分步

4、写过程，且每个过程要写出意义；如果列方程解应用题就一定要先写等量关系。草稿要求：要准备专门的草稿本，打草稿时要把题序号写在前面，书写工整，要便于自己检查。错题收集：每个学生都准备一个错题本，把在练习中、考试中、作业中的错题都抄在里面，过一个星期再来解决。B、 作业评定量化标准方式：画五角星。如果答案正确，书写工整，完整，调理清晰就画7颗星；如果涂改一个地方就少画一颗星，涂改两个地方就少画两颗星，以此类推；当然，如果是更正过的答案，就只能以5颗星为起点去量化了。C、综合学生教本教材的重点、难点，适当适时来强化教学。我们一定要结合学生学校脚本教材来教学，特别是学生的难点，知识中的重点。D、每一讲、

5、每一章如何突破重点、难点请老师们开拓创新、多反思、多总结。E、布置作业，题量大一点，一般一张A4双面，并要求学生当天回家就及时完成，以达到巩固知识的最大效果。F、电话回访，发现问题，解决问题，与家长当面交流 第一讲 速算与巧算知识要点：速算与巧算一直是数学竞赛中的一个重要重要环节，就要注意观察题目中数字构成的特点和变化规律，善于运用运算定律；或者把题目中的各个数进行适当的转化，从而运用巧妙的方法，使复杂的计算题能很快计算出结果。1、观察数字之间的关系：数字的和或差为整数、整十、整百数字之间的积或商为整数、整十、整百4、 特别注意数字中相等的或近似相等的，或成倍数关系的。鉴于此关系，一般我们把不

6、相等的数字化成相等的关系。例1、计算2000-1997+1994-1991+1988-1985+1982-1979+14-11+8-5+2 分析：这道题很长，数很多，但仔细观察，不难发现从2000到2，相邻两个数相差3，加号和减号交替出现，根据这个特点，可以运用分组的方法，即两个数一组（因为每组数的得数都是3），从而很快计算出结果。 练习、计算1-2+3-4+5-6+-2004+2005例2、0.790.46+7.90.24+11.40.079 分析：（1）发现0.79、7.9、0.079三个数成倍数关系，我们可以根据等积变形，化为同一个数；（2）运用乘法分配率练习、计算7.240.1+0.5

7、72.4+0.049724例3、计算7.523+312.5分析：发现7.5与2.5成倍数关系，故我们可根据等积变形，将7.5化为2.53，然后用乘法分配率。练习、计算0.99990.7+0.11112.7例4、计算（3.60.751.2）（1.5240.18） 分析：观察前后两个括号数字之间的关系，去括号，交换数字位置，最后添括号，就可以解决问题。练习、计算（3.44.89.5）（1.91.72.4）例5、计算34.86.3+135.25+4730.37分析：拆分4730.37，使它与34.86.3有公因数，其后是135.25的变形，并通过观察得到另一个公因数。练习、计算3.715+214.5

8、例6、计算0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9 分析：运用凑整的方法可以使计算简便。例7、计算（0.1+0.12+0.123+0.1234）（0.12+0.123+0.1234+0.12345）-（0.1+0.12+0.123+0.1234+0.12345）（0.12+0.123+0.1234）分析：根据四个括号内的特点我们可以将它们分为两类，第一个与最后一个为一类，第二个与第三个为另一类，且我们设第一类中的0.12+0.123+0.1234为字母a,第二类中的0.12+0.123+0.1234+0.12345为字母b,再将算式化简，这样就使部分

9、抵消。练习、计算（1+0.23+0.34）（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）（0.23+0.34）作业1、 计算98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-4-3+2+1 100个1 100个2 100个32、 计算 1 1 1 2 2 2 3 3 33、 计算199819991999-1999199819984、 计算392.6192-392600.925、计算0.99990.7+0.11112.76、计算1.2567.875+1256.7875+1.2553.3757、计算3.642.33.75-12.50.423288、计算1+0.99

10、-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+0.08+0.07-0.06-0.05+0.04+0.03-0.02-0.01第二讲 小数运算技巧知识要点：数学是把多彩的钥匙，在小数运算方法中，等差数列求和的巧算更是独树一帜。我们把按从小到大，或从大到小排列的，并且相邻两数的差都相等的一列数叫做等差数列，其中等差数列的第一项叫首相，最后一项叫末项，相邻两数的差叫做公差。等差数列的和（首相+末项）项数2等差数列的项数=（末项-首相）公差+1第n项=首项+(n-1) 公差例1、 计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.97+0.99分析：前面5

11、个数的公差为0.2，后面的一串数公差为0.02，所以分为两组，运用求和及求项数公式即可求出。练习、计算：0.1+0.4+0.7+0.10+0.13+0.16+0.19+1.00例2、 在124.68与924.68之间插入3个数，使这样5个数成等差数列，问从小到大排列的第四个数是几？分析：求出公差，便可求出第四个数，联想植树问题中“棵树与段数” 的关系，它不正好反映了首尾两数与公差的关系吗？练习、计算蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第1小时蜗牛爬了多少米？例3、 一个物体从空中落下来，经过4秒落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，

12、这个物体在下落前距离地面多少米？分析：每秒的路程刚好形成等差数列，首项为4.9米，公差为9.8米，求第4项。练习、一物体从空中落下来，第一秒钟下落4.9米，以后每秒多下落9.8米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？例4、 计算：20 -19+18-17+16-15+2-1分析：平方差公式a-b=(a-b)(a+b)，通过平方差公式可化简，使之转化为一个简单的等差数列。练习、计算：9.1+9.2+9.3+10.7+10.8+10.9例5、 计算：（1+1.2）+（2+1.22）+（3+1.23）+（99+1.299）+（100+1.2100）分析：分类计算。练习、计算：（1.0-0.1

13、）+（2.0-0.2）+（3.0-0.3）+（9.0-0.9）+（10.0-1.0）作业1、 计算：12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.232、 小王和小胡两人比赛赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始自终每秒跑1.5米，谁能取胜？3、 蜗牛每小时都比前一小时多跑0.1米，第10小时蜗牛跑了1.9米，第1小时蜗牛跑了多少米？4、 梯子最高的一级宽3.2分米，最低一级宽11分米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少分米？5、 三个数成等差数列，它们的和

14、是2.1，其积是0.091，求这三个数。6、 已知等差数列第一项是1.5，第6项是3.5，求公差。7、 有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是1.2，求这12个数的和。第三讲 归一与归总知识要点：很多数学问题，常常要根据已知条件先求一个单位的数值，然后再求其它的数值，这种解题方法叫做归一法。有些数学题，又要根据已知条件先求出总量，再求其它的数量，这种解题方法叫做归总法。归一与归总是两个相反的过程，有密切的关系，解题时要做出判断，先归一还是先归总。例1、 一个养猪场有猪180头，每20头猪5天要喂精饲料25千克。现库存2700千克饲料，这些饲料可以喂多少天？ 分析：现库存2700千克精饲料

15、，有猪180头，要求出可以喂多少天，关键要先求出一头猪一天吃多少精饲料：180头猪1天吃多少精饲料：2700千克精饲料可以喂的天数：练习：4台吊车7小时缷煤1414吨，如果增加同样的5台吊车，8小时共可缷煤多少吨？例2、 平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5小时，6天可以完成。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人，每天要工作几小时？ 分析：现在要求5天完成，并且增加1人，求每天要工作几小时，关键需要先求出平整的土地的总量是多少，以每人每天平整量为“1”，根据“原计划8人平整，每天工作7.5小时，6天可以完成”可以求出这块土地的总量：增加1人后每天工作1小时，5天的平整总量：每天工作

16、的小时数：练习、修一条公路，原计划60名工人用80天完成，现在这批工人工作20天后又增加了30人，剩下的部分再做多少天可以完成？作业1、 一段水渠预计由40名民工用14天挖完，挖了2天后又增加了10名民工，每个民工的工作效率相同，问可以提前几天完工？2、 原来3台搅拌机8小时可以搅拌混泥土24吨。现因工期紧，又增加了两台同类型的搅拌机，24小时可以比原来多搅拌出多少吨混泥土？3、5辆大卡车7次运煤140吨，4两小卡车8次运煤48吨，现有煤77吨，用一辆大卡车和2两小卡车同时运，几次可以运完？4、“神六”载人航天飞船进入轨道后，以每秒7.8千米的速度飞行，航天员费俊龙在返回舱3分钟翻了4个筋斗，

17、费俊龙一个筋斗行了多少米？5、4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨，现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？6、食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？8、 锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？第四讲 行程问题（一）知识要点：一个物体的移动离不开速度、时间、路程这三个数量。行程问题在我们的教科书中占有一定的比重，它有各种各样的类型。主要有相遇问题，相遇问题的基本

18、数量关系式是：路程速度和=相遇时间。解决相遇问题，一定要学会画线段图，这是分析数量关系的基础。例1、 张华和李强同时从两地相对出发，张华步行每分钟走80米，李强骑自行车的速度是张华步行的3倍，经过5分钟后两人相遇。问这两地相距多少米？ 分析：先画图理解距离和路程的意义。已知相遇时间是5分钟，若能求出两人的速度和，即可解决问题。练习、甲、乙两人同时从相距5千米的两地背向而行，甲每小时行5.5千米，乙每小时行70千米，求乙车每小时行多少千米？例2、甲、乙两地相距15千米，小聪和小明分别从甲、乙两地同时相向而行，2小时后在距中点0.5千米处相遇，求小聪和小明的速度。分析：画图：方法一：按题意，先分别

19、求出两人的速度和与速度差，而后由和差问题的计算公式求出他们的速度。方法二：根据图示，先求出甲、乙各自的路程，然后根据求速度公式就轻松求出他们的速度。练习、甲、乙两人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行18千米，两人相遇处距中点3千米，问两地相距多少千米？例3、两列对开的火车途中相遇，甲车上的乘客从看到乙车到乙车从旁边开过去，共用6秒钟。已知甲车每小时行54千米，乙车每小时行36千米，求乙车多少米？分析：根据题意画线段图。求乙车车长有多少米，其实这个6秒钟的过程就是乘客与乙车车尾相遇的过程，他们同时出发相向运动，则相遇路程就是乙车的长度。例4、甲、乙两人同时从相距50千米的

20、两地同时出发相向而行。甲每小时行3千米，乙每小时行2千米，与甲同时同向而行的一条小狗，每小时行5千米，小狗在甲、乙之间不停地往返，直到两人相遇为止。问：小狗跑了多少米？分析：此题的关键是要求出小狗的奔跑时间，而甲、乙两人相遇时间与小狗奔跑时间相同。所有问题就很简单了。练习、两个游泳队同时从相距2040米的A、B两地相向出发，甲队从A地下水，每分钟游40米，乙队从B地下水，每分钟游45米，一只汽艇负责两队安全，同时从B地出发，每分钟行驶1200米，遇到甲队就立即返回，返回时遇到乙队又向甲队开去，这样不断地往返下去。问汽艇行了多少千米两队才能相遇？作业1、甲、乙两辆汽车同时从相距675千米的两地相

21、对开出，5小时后相遇，甲车每小时行70千米，求乙车的速度。2、甲、乙两车从相距360千米的两地同时相向而行，甲车时速70千米，乙车时速50千米，几小时后两车相距120千米？3、小刚和小强同时从两地相对出发，经过30分钟相遇。小刚骑摩托车每小时行36千米，小刚骑摩托车的速度是小强步行速度的8倍，求两地的距离。4、两城相隔477千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时38千米的速度先后从两城出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米，问乙车比甲车早出发几小时？5、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行54千米。问A、B两地相距多少千米？

22、6、甲、乙两辆汽车早上8时分别从A、B两城同时相向出发，到10时两车相距112.5千米；继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。问A、B两地距离是多少千米？第五讲 行程问题（二）例1、A、B两地相距1200米，甲从A地，乙从B地同时出发，相向而行，甲每分钟行50米，乙每分钟行70米，第一次在C出相遇，AC之间距离是多少米？相遇后继续前进，分别到达A、B两地后立即返回，第二次相遇于D处，CD之间的距离是多少米？分析：先画图。算出每次相遇时他们两人共走的路程是解决本题的关键。例2、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40千米的地方，两人仍以原速度前进，各自到达终点后立即返

23、回，又在离B地20千米处相遇，问A、B两地距离是多少千米？分析：我们先画示意图：从图上可以看出，甲、乙第一次相遇，共走了 个全程，其中甲走了 千米；甲、乙第二次相遇，共走了 个全程，则甲走了 千米；从图上知：甲比全程多走20千米，就可以求出A、B两地距离了。练习：甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相向而行，途中相遇，相遇点距A地60千米。相遇后两车以原速度前进，到达目的地后，两车立即返回，在途中又第二次相遇，这时距A地40千米，问第一次相遇点距B地多少千米？例3、客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行44千米，货车每小时行52千米，两车相遇后继续以原速度前进，到达乙、甲两

24、地后立即返回，第二次相遇时，货车比客车多行60千米。问甲、乙两地之间的距离多少千米？分析：先画线段图：两车同时出发后，货车比客车多行60千米的时间，就是第二次相遇时的时间。例4、已知等边三角形ABC的周长为360米，甲从A点出发，按逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从BC边上D点（距C点30千米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米，两人同时出发，几分钟相遇？当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C地多远？分析：画出示意图：要求甲、乙两人几分钟相遇，就要用A、D之间的距离除以它们的速度和。要求乙到达A点时甲在哪条边上，距C地多远，就要先求出乙到达A点用的时间，再求甲走的路程。练习：甲、乙两人分别从

25、两地同时出发，相向而行，8小时可以相遇。如果每小时都少行1.5千米，那么10小时候相遇，问两地相距多少千米？作业1、甲、乙两地相距260千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，客车到乙地，货车到甲地后，都立即返回，两车又在距甲地多少千米处相遇？2、在一环形跑道上，甲从A点，乙从B点同时反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B地，又过了8分钟两人再次相遇，甲、乙各行一周需多少分钟？3、甲、乙两地相距45千米，张、王二人同时从甲地出发去乙地。张骑自行车每小时行15千米，王每小时行6千米，张到达乙地后停留1小时，返回甲地途中与王相遇。相遇时他

26、们距乙地多少千米?分析：虽然相遇时他们共走了全程的2倍，但是452并不是他们的相遇路程，同时运动的距离才是他们的相遇路程。4、甲、乙两地相距119千米，今有两辆汽车同时从甲、乙两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地。从甲地开出的汽车每小时行驶42千米，从乙地开出的汽车每小时行28千米，从出发到第三次相遇各行多少千米？5、甲、乙两站相距360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站后停留0.5小时，又以原速度返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？6、两辆汽车同时从A、B两城相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速度沿原路返

27、回，又在离A城44千米处相遇。求两城相距多少千米？7、一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米第一次相遇。然后两车继续前进，卡车到达B地、摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇。求A、B两地之间的路程是多少千米？第六讲 行程问题（三）知识要点：有两个同向运动的物体，一个速度快，一个速度慢，当走得慢的在前，走得快的在后，过了一段时间快的就会追上慢的。这就产生了“追及问题”。如果设甲的速度快，乙的速度慢，在相同时间内：甲走的路程乙走的路程=甲的速度时间乙的速度时间=（甲的速度乙的速度）时间即：路程差=速度差时间，并由此可推导出另外两个公式。

28、例1、甲、乙两人分别从相距18千米的西村和东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米。几小时后甲可追上乙？分析：先画线段图，理解路程差的意义。这是一道简单的追及问题，路程差已知，速度差易求，可根据追及问题中的求时间公式解决问题。练习、甲、乙两人同时从相距45千米的A、B两城同向出发，甲每小时行15千米，乙每小时行6千米。问几小时后甲追上乙？例2、军事演习中，“我”海军英雄舰追“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射

29、击敌舰？分析：要求追及时间，根据公式，必须先要知道路程差和速度差，速度差易求，所以求出路程差是解决此题的突破口。练习、我骑兵以每小时24千米的速度追及敌人，当到某站时，得知敌人已于2小时前逃跑，已知我骑兵的速度是敌人逃跑速度的2倍，问我骑兵几小时可追上敌人？例3、甲、乙两地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？分析：要求兵兵追上平平时距乙地的距离，必须先算出他们已经行走过的路程，而兵兵的速度已知，要能知道兵兵行走的时间就容易了。其实兵兵行走的时间就是兵兵出发后追上平平的时间。

30、练习、学校和部队驻地相距16千米。小红和小宇由学校骑车去部队驻地，小红每小时行12千米，小宇每小时行15千米。当小红走了3千米后，小宇才出发。当小宇追上小红时，距部队驻地还有多少千米？例4、甲、乙骑车同时从A地往B地。甲每小时走12千米，乙每小时走8千米，甲走了25分钟后返回A地取东西并停留了10分钟，后来按原来的速度往B地。求甲追到乙时离A地多少千米？分析：本题与例3类似，但本题没有把路程差告诉我们，正确求出甲再次从A地出发时，两人之间的距离即路程差是本题的关键。练习、兄妹两人同时从家出发去1080米远的学校上学，哥哥骑车每分钟走360米，妹妹步行每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即原路返回，问哥哥再次由家出发在离学校多远的地方追上妹妹？作业1、 姐姐步行的速度是每分钟75米，妹妹步行的速度是每分钟65米，在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹？问姐姐多少分钟后追上妹妹？这时离出发地多少米？2、 家离图书馆4.8千米，弟弟从家出发以每分钟60米的速度步行去图书馆，哥哥在15分钟后骑自行车从家出发去追赶弟弟，自行车的速度是每分钟240米，问：（1） 哥哥在离