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1、人教版八年级上册数学讲义八年级数学讲义第 11 章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2三角形的表示ABC 中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b顶点： A，B，C 内角： A ，B ，C二、 三角形的边1. 三角形的三边关系 : （证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边 : b+ca(2) 三角形任意两边之差小于第三边 : b-ca 时, 就可构成三角形 .1.2 确定三角形第三边的取值范围 : 两边之差 第三边 AE ，CE=ABAB+ACAE D

2、E=ADAE=2AD AB+ACAE AB+AC2AD例 2 如图CB，CD分别是钝角 AEC和锐角 ABC的中线，且A C=A B求证： CE=2CD证明： 延长 CD 至，使 DF=CD ，连接BF，在ADF 和 BDC 中 AD=BDADF= BDCCD=DF ADF BDCAF=BC ，AF BC CAF+ ACB=180， ACB= ABC ， ABC+ CBE=180 CAF= CBE 又因为 AC=BE ， CAF CBECE=CF12例 3、 如图，在 ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点， EF AD 交 CA 的延长线于点 F ，交 EF 于点G

3、 ，若 BG CF ，求证： AD为ABC 的角平分线证明：延长 FE 到点 H ，使 HE FE ，连结BH 在 CEF 和 BEH 中FCE BEA GCEF BEHFE HE CEF BEHBE DC EFC EHB ， CF BH BG EHB BGE ，而 BGE AGFH AFG AGF又 EF AD AFG CAD ， AGF BAD例 4、如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线 ，E 是 AD 上一点，且 BEAC ，延长 BE 交 AC 于点 F求证：AF EF证明：延长 AD 到点 G，使 AD=DG ，连结BG AD 是 BC 边的中线 DC=DB在 ADC 和

4、 GDB 中AAD=DGFADC=GDBEDC=DBADC GDB （SSS）CAD= BGD BG=ACB C D又BE=AC ，BE=BG BED= GBED= AEF，AEF= CAD ，G即：AEF= FAE，AF=EF 13人教版数学八年级上册二 截长补短法截长 :1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短 :1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例1. 如图， ABC 中， ACB 2B， 1 2 求证：ABACCD证法一：（补短法）延长 AC 至点 F，使得 AFAB证法二：（截长法）在 ABD

5、 和 AFD 中 在 AB 上截取 AEAC，连结DE在 AED 和ACD 中 ABD AFD（SAS） BF ACB2B AED ACD（SAS） ACB2F而 ACBF FDC FFDCCDCF而 AFACCFAFACCDABACCD14人教版数学八年级上册例 2、 如图，在 ABC 中， AD为BC 边上的高， B=2C. 求证： CD=AB+BD.证明： 在 DC 上截取 DE=DB ，连接AE ，在 ADB 和 ADE. 中 DE=DB ， ADB= ADE,AD=AD ADE ADB （SAS） AE=AB ， AEB= B， AEB= C+CAE， B=2C，ED=BD ， AE

6、B=2 C. C=CAE，故 CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例 3、 如图， AD/BC ，BE、AE 分别是 ABC 、 BAD 的平分线，点 E 在 CD 上，求证： AB=AD+BC证明： 在 AB 上截取 AF=AD ，连接EF C+D=180AE 平分 BAD ，而 BFE+ AFE= 180 1= 2在 FAE 和DAE 中，AF=AD1=2 C=BFE在 BFE 和 BCE中C=BFE3=4，AE=AE BE=BE FAE DAE BFE BCE AFE=D BF=BC又 AD/BC AD+BC=AB例4、如图， ABC 中， ABAC， AD 是

7、 BAC 的角平分线， P 是线段AD 上任一点除 A、D 外的任意一点。求证： ABAC PBPC证明 ：在 AB 是截取 AE AC在ACP 与 AEP 中，有：AC AE （已知）EAP CAP （已知 AD 是 BAC 角平分线）AP AP （公共边） ACP AEP （ SAS） PCPE （全等三角形对应边相等） BEPB PE （三角形两边差小于第三边） BEPB PC （等量代换） BE AB AEAC AEBE PBPC AB AC PBPC15人教版数学八年级上册三 与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。1 截取构造

8、全等例 1 如图1，在 ABC中， AD 平分 BAC ， AB BD AC，求： B C 的值解法 1：在 AC 上截取 AE 使 AE AB ，连结AE BAD DAE ， AD AD ，AA ABD AED ，B AED ， BD DE E又 AB BD AC ， CE BD DE ，CD B CDBC EDC ， B AED 2 C ，B C 2 1解法 2：延长 AB 到 F ，使 AF AC ，连结DF （图1）（图2）F FAD= CAD ，AD=AD CAD FAD(SAS) AC=AF又 AB BD AC AB+BF=AF BD=BF ABC=2 F=2C2、“角平分线 +

9、垂线”构造全等三角形或等腰三角形例 2 如图3，在四边形 ABCD 中， BC BA， AD DC ， BD 平分 ABC 求证： A C 180 证明： 过点 D 作 DE AB，交 BA延长线于点 E ，作 DF BC，交 BC 于点 F BD 平分 ABC ，E A DE DF 又 AD CD ， RtEAD RtFCD ，EAD C DEAD BAD 180 ，B F C C BAD 180 （图3） 例 3 如图4，已知等腰三角形 ABC中， A 90 ，B 的平分线交 AC 于点 D ，过点 C作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E 求证： BD 2CE 证明： 延长 CE交

10、BA的延长线于点 F ， BE 是ABC 的平分线， BE CF ，BCF F ，AFE FBC 是等腰三角形D CE FE CF 2CE AB AC ，ABD ACF ， BAD CAF 90 ， Rt BAD Rt CAF B C（图4 BD CF 2CE 16人教版数学八年级上册角平分线的性质1、角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边距离相等。例 1，如图， OC 是 AOB 的角平分线，点 P 是 OC 上一点， PDOA 于点 D，PEOB 于 E，求证： PD=PE。证明： PDOA， PEOB（已知）A ODP=OEP=900（垂直的定义）D又 OC 平分 AOB （已知）C AOC= BOC（角的平分线定义）P在 RtDOP 和 Rt EOP 中O E B AOC BOCODP OEPOP OPRtDOP Rt EOP（AAS ）PD=PE（全等三角形的对应边相等）2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。例 2 已知： 如图， 点 P 在 AOB 内部的一条射线 OC 上， 并且 PDOA 于点 D，PEOB 于 E，PD=PE。求证：射线 OC 是 AOB 的平分线。证明： PDO