新高考数学复习资料84直线平面垂直的判定与性质试题及参考答案.docx

1、新高考数学复习资料84直线平面垂直的判定与性质试题及参考答案8.4直线、平面垂直的判定与性质基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一直线与平面垂直的判定与性质1.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且mB.且mC.mn且nD.mn且n【参考答案】C2.下列命题中错误的是()A.如果平面外的直线a不平行于平面,则平面内不存在与a平行的直线B.如果平面平面,平面平面,l,那么直线l平面C.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交【参考答案】C3.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆

2、O的直径,C是圆O上一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确命题的序号是.【参考答案】4.九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PDCD,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.【试题解析】因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD为长方形,得BCCD,

3、因为PDCDD,所以BC平面PCD,因为DE平面PCD,所以BCDE.又因为PDCD,点E是PC的中点,所以DEPC.因为PCBCC,所以DE平面PBC.因为PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEFE,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.考点二平面与平面垂直的判定与性质5.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为正方形,给出下列结论:AD平面PBC;平面PAC平面PBD;平面PAB平面PAC;平面PAD平面PDC.其中正确结论

4、的序号是.【参考答案】6.如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PAABBC2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【试题解析】(1)证明:因为PAAB,PABC,ABBCB,所以PA平面ABC.因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为ABBC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,又ACPAA,所以BD平面PAC.因为BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDEDE,所以PADE.因为D为AC的

5、中点,所以DEPA1,BDDC.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积VBDDCDE.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.证明(1)因为PAPD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,PAAB

6、A,所以PD平面PAB.因为PD平面PCD,所以平面PAB平面PCD.(3)取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FGBC,FGBC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DEBC,DEBC.所以DEFG,DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.综合篇知能转换【综合集训】考法一证明直线与平面垂直的方法1.(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC【参考答案】C2.(20

7、18课标全国,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC2MB,求点C到平面POM的距离.【试题解析】(1)证明:因为APCPAC4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP2.连接OB,因为ABBCAC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2.由OP2+OB2PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC且OBACO知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OCAC2,CMBC,ACB45.所

8、以OM,CH.所以点C到平面POM的距离为.3.(2019 53原创题)如图,在以P为顶点,母线长为的圆锥中,底面圆O的直径AB长为2,点C在圆O所在平面内,且AC是圆O的切线,BC交圆O于点D,连接PD,OD.(1)求证:PB平面PAC;(2)若AC,求点O到平面PBD的距离.【试题解析】(1)证明:因为AB是圆O的直径,AC与圆O切于点A,所以ACAB.又在圆锥中,PO垂直于底面圆O,所以POAC,而POABO,所以AC平面PAB,从而ACPB.在三角形PAB中,PAPB,AB2,故有PA2+PB2AB2,所以PAPB,又PAACA,所以PB平面PAC.(2)解法一:作OEBD于E,连接P

9、E.又POBD,POOEO,所以BD平面POE.又BD平面PBD,所以平面PBD平面POE,作OFPE于F,因为平面PBD平面POEPE,所以OF平面PBD,故OF的长为点O到平面PBD的距离.连接AD.在RtPOE中,PO1,OEAD,所以OF.即点O到平面PBD的距离为.解法二:因为AB2,AC,ACAB,所以在直角ABC中,ABC.又ODOB1,则OBD是等腰三角形,所以BD,SOBD11sin.又PBPD,所以SPBD,设点O到平面PBD的距离为d,由VP-OBDVO-PBD,即SOBDPOSPBDd,可得d.解法三:因为AB2,AC,ACAB,所以SABC2.又由(1)可知,AC平面

10、PAB,则ACPA,所以PC.又PB平面PAC,所以PBPC,则SPBC.设点O到平面PBD的距离为d,则A到平面PBC的距离为2d,由VP-ACBVA-PBC,即SABCPOSPBC2d,可得d.考法二平面与平面垂直的判定与性质问题4.(2018广东六校4月联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,ABBC1,BAD120,PBPC,PA2,E,F分别是AD,PD的中点.(1)证明:平面EFC平面PBC;(2)求二面角A-BC-P的余弦值.【试题解析】(1)证明:取BC的中点G,连接PG,AG,AC,PBPC,PGBC,四边形ABCD是平行四边形,BAD120,A

11、BC60.又ABBC1,ABC是等边三角形,AGBC.AGPGG,BC平面PAG,BCPA.(3分)E,F分别是AD,PD的中点,EFPA,易知四边形EAGC为平行四边形,ECAG,BCEF,BCEC,EFECE,BC平面EFC,(5分)BC平面PBC,平面EFC平面PBC.(6分)(2)由(1)知PGBC,AGBC,PGA是二面角A-BC-P的平面角.(7分)PG,AG,PA2,在PAG中,cosPGA-,(11分)二面角A-BC-P的余弦值为-.(12分)5.(2019北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平

12、面PAC;(2)若ABC60,求证:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE?说明理由.【试题解析】(1)因为PA平面ABCD,所以PABD.又因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F,使得CF平面PAE.取F为PB的中点,取G为PA的中点,连接CF,FG,EG.则FGAB,且FGAB.因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CEAB,

13、且CEAB.所以FGCE,且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.【5年高考】考点一直线与平面垂直的判定与性质1.(2019北京,13,5分)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.【参考答案】若lm,l,则m(答案不唯一)2.(2019课标全国,17,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AEA1E,AB3,求四棱锥E-B

14、B1C1C的体积.【试题解析】本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积,考查了空间想象能力,主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.(1)由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEBA1EB145,故AEAB3,AA12AE6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EFAB3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V36318.思路分析(1)由长方体的性质易得B1C1BE,再利用直线与平面垂直的判定定理求证;(2)求该四棱锥的体积的关键是求高,利用