等腰三角形三线合一专题练习.docx

1、等腰三角形三线合一专题练习等腰三角形三线合一例1如图，四边形 ABCD中，AB/ DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。变 1 如图，AB / CD, / A = 90 AB= 2, BC= 3, CD = 1 , E是 AD 边中点。求证： CE丄 BE。变2:如图，四边形ABCD 中，AD / BC, E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE;(2)求证：E是CD的中点;(3)求证：AD+BC=AB变3: ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.若D为BC的中点，过D作

2、DM丄DN分别交AB、AC 于 M、N，求证：(1) DM = DN。A若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于 M、N。问DM和DN有数量关系。 已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF, EF交BC于点D.求证：DE=DF.已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF.利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中，AB=AC, P为底边BC上的一点，PD丄AB于D, PE丄AC于E,?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？根据等腰三角形的性质寻求规律1 1

3、例 1 .在 ABC 中，AB=AC，/ 1= 2 / ABC, / 2= y / ACB, BD 与 CE相交于点 0,如图，/ BOC的大小与/ A的大小有什么关系？若/ 1= - / ABC, / 2= - / ACB，则/ B0C 与/ A 大小关系如?3 31 1若/ 1= / ABC,/ 2= / ACB，则/ BOC与/ A大小关系如?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明分，求这个三角形的腰长及底边长.例2 .如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC , 一腰上的中线 BD?将这个等腰三角形长分成 15和6两部利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC的

4、一点，连结 PA、PB、PC, ?以BP为边作/ PBQ=60 ，且BQ=BP , 连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.PB: PC=3 : 4: 5，连结PQ，试判断厶PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形长分为差是 3cm的两部分，则腰长为( )A、2cm B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定例2、已知 AD ABC的高，AB=AC , ABC长为20cm , ADC的长为14cm，求AD的长。例3、如图，已知 BC=3，/ ABC和/ ACB的平分线相交于点 O, 0E/ AB, 0F/人6求厶OEF的长

5、。例4、如图，已知等边厶ABC中，D为AC上中点，延长BC到E,使CE=CD,连接DE,试说明DB=DE。例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形例6、（ 1）等腰三角形的腰长为 10,底边上的高为6,则底边的长为 。（2） 直角三角形的长为 12cm，斜边的长为5cm，则其面积为 （3） 若直角三角形三边为 1，2，c，则c= 。2 2 2 例7、下列说法：若在 ABC中a+b丰c ,则厶ABC不是直角三角形；0 2 2 22若 ABC是直角三角形，/ C=90，贝U a +b =c ;03若在 A

6、BC 中，a +b =c，则/ C=90 ;4若两直角边的平和等于斜边的平，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上） 。例8正三角形ABC所在平面有一点 P,使得 PAB、A PBC、A PCA都是等腰三角形，则这样的 P点 有（ ）（A） 1 个（B） 4 个（C） 7 个（D） 10 个例9.四边形 ABCD中，AB=BC, / ABC= / CDA=90 , BEX AD于点E,且四边形 ABCD的面积为8, 则 BE=( )B. 3h例10.已知 ABC为正三角形，P为其一点，且 AP=4 , BP= 2,3 , CP=2，则 ABC的边长为 （）(A

7、) 2.5(B) 2.7(C) 4(D) 4 2三巩固练习1、2、3、4、5、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于9,求它的长。在厶 ABC 中，AB=AC , / B=40，则/ A= 等腰三角形的一个角是 700，则它的顶角为 有一个角为40的等腰三角形的另外两个角的度数为.1406、如图，在 RtAABC中，/ C= 105o，直线BD交AC于D,把直角三角形沿着直线 BD翻折,如果 ABD是等腰三角形，那么/（C）25o(A)400(B) 30点C恰好落在斜边 AB上,A等于o(D )15呢o若厶ABC三边分别为a、（A）等腰三角形 （B）判定两个等腰三角形全等的条件可以是7、A、

8、有一腰和一角对应相等b、c，且满足 a+b 2+50=6a+8b+10c直角三角形 （C）等腰直角三角形 （ ）。有两边对应相等，则 ABC的形状为（D）等边三角形8、9、B、C、有顶角和一个底角对应相等 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（A、顶角 B、底角 C、顶角的一半在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为A、100 B、75 C、150 有两角对应相等 ）D、底角的一半5 : 2，则/ A的度数是（D、75 或00 10、如图，P、Q 是厶 ABC 边 BC 上的两点，且 QC= AP= AQ = BP= PQ,则/ BAC=-（0 0 0B、 130 C、 90D、12

9、0A、12511、11题图0 一 .10题图AB= AC, AE= EC,/ ACE= 28“，则/ B 的度数是012、如图,12题图0A、600B、70C、7645A、C除外），设 甲虫P到13、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P在边框AC上（端点另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC的高为h, 则d与h的大小关系是（ ）【解题法指导】例1.已知，如图，AB= AC= CD,求证：/ B= 2/ D例2.已知，如图， ABC是等边三角形,AD/BC , AD 丄 BD, BC= 6，求 AD 的长。【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30。角的直角三角形是应用非常广泛的图形 【典型

10、例题分析】例1.如图，等腰三角形 ABC的顶角为120 ，腰长为10，则底边上的高 AD = A例2.已知，如图， ABC中，/ C= 90, AB的垂直平分线交 30 ,求CD的长。AB于 E,交 AC 于 D, AD = 8,/ A =B例3.已知，如图， ABC是等边三角形,E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE= CD，又BD与CE交于点F,试求/ BFE的度数。【综合测试】1.已知，如图,CAB = AC，/ ABD=/ ACD，求证：DB= DC2.已知，如图,3.已知，如图， ABC 中，DE/BC , AB = AC,求证：AD = AED、E是 BC 上两点，AB= AC,

11、 AD = AE,求证：BD= CEA4.已知，如图， ABC中，AB = AC, D是AB上一点，E是AC延长线上一点， DE交BC于F,又BD=CE,求证：DF = EF，E5.已知，如图，D是BC上一点， ABC、A BDE都是等边三角形，求证： AD = CE6.已知，如图， ABC中，/ B= 90 ,AC的垂直平分线交 AC于D，交BC于E,又/ C= 15, EC =10,求AB的长。例6、如图11，在 ABC中，/ A= 90, AB = AC, D为BC边中点，E、F分别在 AB、AC上，且 DE丄DF,求证：AE+ AF是一个定值.证明：连接AD ,A/ AB = AC,

12、D 为 BC 中点， AD 丄BC,/ BAC= 90 AB= AC, /-Z B=Z C= 45/ BAD= 45 Z CAD = 45 / AD = BD= CD ,vZ EDF= 90 /.Z EDA+Z ADF= 90 又由 AD丄 BC 得Z BDE+Z ADE= 90 BDE=Z ADF ,在厶 BDE和厶 ADF 中，Z B=Z DAF , BD= AD , Z BDE=Z ADF , BDEA ADF , BE= AF , AE+ AF= AE+ BE= AB (定值).思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9，已知AD ABC的高，E为AC上一点,BE

13、交AD于F ,且有BF= AC , FD= CD ,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系 ？你能证明它吗？证明：线段BE丄AC ,理由如下：/ AD 丄 BC , ./Z ADB =Z ADC = 90 ,Z FBD+Z BFD= 90 在 Rt BDF 和 RtA ADC 中，BF= AC , FD= CD ,RtA BDFB Rt ADC ,Z BFD=Z C, ./Z FBD+Z C= 90 例5、如图10 ,在厶ABC中，Z ACB= 90 , AC = BC, M是AB上一点，求证:AM 2BM 222CM .Z BEC= -(Z FBD+Z C)=。一 90 = 90 即 BE 丄

14、 AC.图102 22(DM 2 CD2) 2CM证明：过 C作CD丄AB于点D ,vZ ACB= 90 , AC= BC , CD丄 AB ,Z A=Z B= 45 , Z ACD=Z BCD= 45 ,Z A=Z ACD , Z B=Z BCD ,/ AD = BD , BD= CD ,即 AD = BD= CD ,2 2 2v CD丄 AB , DM CD CM ,2 2 2 2AM 2 BM 2 (AD DM)2 (BD DM)2思考：请同学们试试用另外的法来证明本题 例1、如图5,在厶ABC中，AB = AC ,点O在厶ABC , OB=图5OC ,求证：AO 丄 BC.证明：延长A

15、O交BC于点D,/ AB = AC, OB = OC, OA = OA，： ABOA ACO ,/ BAO=Z CAO，即/ BAD=Z CAD, AD 丄 BC,即卩 AO 丄 BC.例2、如图6，在等边厶ABC中，D、E分别在边 BC、BA的延长线上，且 AE= BD,求证：CE= DE.证明：过 E作EF丄CD于点F,/ ABC是等边三角形，/ B= 60 BEF= 30BE= 2BF,即卩 BA+ AE= BC+ BD= 2BC+ CD = 2 ( BC+ CF),CD= 2CF, CF= DF ,在厶 CEF和厶 DEF 中，CF= DF , / CFE=Z DFE= 90 , EF

16、= EF, CEFA DEF, CE= DE.PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,例3、如图7,已知在 ABC中，AB = AC, P为底边BC上任意一点,求证：PD+ PE是一个定值.解：连接AP,过点C作CF丄AB于点F,11由SABC-ABCF ,S PABAB PD ,22SPAC1AC2PE1AB2PE ,S ABC S PAB S PAC ,得:1 ABCF1 ABPD-ABPE ,222图7即，PD PE CF (定值)说明：本例的结论可用文字语言叙述为： 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高拓展：如果点P不是在边 BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那

17、么PD与PE之间又有解：连接AP,过点C作CF丄AB于点F,（如图8）由 S ABC1-AB CF ,S PAB1AB PD ,22S PAC1-AC PE1 ABPE ,22怎样的关系呢?PS ABC S pab S pac ,1-AB PE ,2PD与PE之差为一定值1 1得：一AB CF AB PD2 2即，PD PE CF （定值）.即，当点P在BC延长线上时, 基础训练：1、填空题：（1） 等腰三角形中，如果底边长为 6，一腰长为8，那么长是 。（2） 如果等腰三角形有一边长是 6，另一边长是8，那么它的长是 ;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的长是 。（3） 等腰三角形的

18、对称轴最多有 条。2、 填空题：（1） 如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长（或长）可以是（ ）A、三条边长分别是 5，5，11 B、三条边长分别是 4，4，8C、长为14，其中两边长分别是 4，5 D、长为24，其中两边长分别是 6， 12（2） 等腰三角形一边长为 2,长为5，那么它的腰长为（ ）A、3 B、2 C、1.5 D、2 或 1.53、 已知等腰三角形的腰长是底边的 3倍，长为35cm，求等腰三角形各边的长。4、 已知：如图，AD平分/ BAC，AB=AC，请你说明 DBC是等腰三角形。5、已知等腰三角形的底边和一腰长是程组 求这个三角形的各边长。x+2y=4 3x+y=7 的

19、解,（1） 等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。（2） 等腰三角形有一个角是 120。，那么其他两个角的度数是 和 。（3） ABC 中，/ A= / B=2 / C，那么/ C= 。（4） 在等腰三角形中，设底角为 x，顶角为y，则用含x的代数式表示y，得y=_ ;用含y的代数式表示X，得x= 。2、 选择题：（1） 等腰三角形的一个外角为 140。，那么底角等于（ ）A、40 B、100 C、70 D、40 或70（2） 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半（3） 在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5 : 2，则/

20、 A的度数是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75。或 00 （4） 等腰三角形 ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“AD丄BC，BD=DC，/ B= / C，/ BAD= / CAD”中，结论正确的个数是（ ）A、4 B、3 C、2 D、13、 如图，已知 ABC 中，D 在 BC 上, AB=AD=DC，/ C=20 ，求/BAD。4、如图，已知 ABC中，点D、E在BC上,AB=AC , AD=AE。请说明BD=CE的理由。1、填空题:(1 )在厶ABC中，/ A的相邻外角是110。，要使厶ABC是等腰三角形，则/ B=(2)在一个三角形中，等角对 ;等边对 (3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各角的度数是(4)如图，AB=AC , BD 平分/ ABC，且/ C=2 / A, 则图中等腰三角形共有 个。2、选择题：B CDE平分/ ADB，则图中等腰三角形的个数是(B、4C、5如图，在 ABC 中，AB=AC，/ BAC=108 ,ZADB=723、如图，在 ABC中，/ B和/ C的平分线相交于点 0,且0B=0C，请说明AB=AC的理由。4、如图，已知/ EAC是厶ABC的外角，/ 1= / 2, AD / BC,请说明 AB=AC的理由。5、如图，AB=AC ,Z ABD= / ACD，请你说明 AD是BC的中垂线。