秋季学期新版新人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程导学案1.docx

1、秋季学期新版新人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程导学案1第9课时 一元二次方程的应用（2）一、学习目标1会利用一元二次方程解答数字问题2会利用一元二次方程解答营销问题；3会利用一元二次方程解答动态几何问题.二、知识回顾1. 用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：（1）审题找等量关系；（2）设元列方程；（3）求解并检验；（4）写出答案2. 数字问题中常用的数量关系有：两位数表示为：十位数字10+个位数字；三位数表示为：百位数字100+十位数字10+个位数字；三个连续整数可表示为：x-1,x,x+1;三个连续奇数可表示为：2x-1,2x+1,2x+3;三个连续偶数可

2、表示为：2x-2,2x,2x+2.三、新知讲解一元二次方程的应用营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解四、典例探究1一元二次方程的应用数字问题【例1】（2014秋冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数总结： 对于数字问题，首先要明确数的表示方法：（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，

3、百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2练1 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.练2（2015河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b1，例如：把（3，2）放入其中，就会得到32+（2）1=6现将实数对（m，2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（ ）A3 B1 C3或1 D3或12一元二次方程的

4、应用营销问题【例2】（2015乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？总结：用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润销售量=总利润.用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润销售量=总利润.每

5、每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.练3（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？3一元二次方程的应用动态几何问题【例3】（2015春寿县校级月考）如图ABC，B=90，AB=6，BC=8点P从A开始沿边

6、AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，PBQ的面积等于8cm2？（2）PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由总结：动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题. 解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.练4（2015春慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙A

7、C上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=0.4=2而A1B1=2.5，在RtA1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程，解方程得x1=，x2=，点B将向外移动米（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题五、课后小测一、选择题1已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（ ）A5和9 B9和5 C5和5或

8、9和9 D5和9或9和52（2014鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克为了促销，该经营户决定降价销售经调查发现，这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元A0.2或0.3 B0.4 C0.3 D0.23. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（ ）A44 B45 C46 D47二

9、、填空题4（2014秋娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是_5（2015东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件据此规律计算：每件商品降价_元时，商场日盈利可达到2100元三、解答题6（2015谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由7（2015春江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新

10、型商品第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8（2014江西模拟）等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D

11、设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论9.（2015春汕头校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是

12、等腰三角形（直接写出答案）典例探究答案：【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x3），则这个两位数为10（x3）+x，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x3），根据题意得10（x3）+x=x2原方程可化为：x211x+30=0，x1=5，x2=6，当x=5时，x3=2，两位数为25；当x=6时，x3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解练1【解析】设这个两位数字的个位数字为

13、x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=，x2=4.因为x为整数，所以x=不符合题意，x=4.10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为

14、2，列式求值即可解：由题意得：m2+（2m）1=2，m22m3=0，（m3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=1故选：D点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可解：降价x元，则售价为（60x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60x40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键此题要注意判断所求的

15、解是否符合题意，舍去不合题意的解练3【解析】（1）销售量=原来销售量下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量每斤利润=总利润列出方程求解即可解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+20=100+200x斤；（2）根据题意得：（42x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，每天至少售出260斤，x=1答：张阿姨需将每斤的售价降低1元点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解【例3】【解析】（1）设经过x秒，PBQ的面积等于8cm2先用含x的代数式分别表示BP和B

16、Q的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，PBQ的面积等于10cm2根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据=b24ac进行判断解：（1）设经过x秒，PBQ的面积等于8cm2AP=1x=x，BQ=2x，BP=ABAP=6x，SPBQ=BPBQ=（6x）2x=8，x26x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，PBQ的面积等于10cm2，则SPBQ=（6y）2y=10，即y26y+10=0，因为=b24ac=36410=40，所以PBQ的面积不会等于10cm2点评：本题考查了一元二次方程的应用关键是用含

17、时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断练4【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=ACAA1=0.4=2在RtA1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4x）2=2.52，再解即可解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=0.4=2而A1B1=2.5，在RtA1B1C中

18、，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=2.2（不合题意舍去），点B将向外移动0.8m故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题

19、的关键课后小测答案：一、选择题1【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=7，解得 x1=5，x2=9则x+4=9或x+4=5故这两个数是5、9或9、5故选：D点评：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解2【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元那么每千克的利润为：（32x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克本题的等量关系为：每千

20、克的利润每天售出数量固定成本=200解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得（32x）（200+）24=200解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3200+200+，应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元故选：C点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+24=11个正方形组成，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n1）4=4n1

21、故组成第12个“”的正方形个数是：4121=47故选：D点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键二、填空题4【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=16则x+2=16或x+2=14即这两个数为14，16或14，16所以这两个数的和是30或30点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键5【解析】根据等量关系为：每件

22、商品的盈利可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可解：降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50x，由题意得：（50x）（30+2x）=2100，化简得：x235x+300=0，解得：x1=15，x2=20，该商场为了尽快减少库存，降的越多，越吸引顾客，选x=20，故答案为：20点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键三、解答题6【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20x）=96或x（20x）=102，得出根据根的判别式

23、的符号，进而得出答案解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20x）cm，（1）依题意，得 x（20x）=96，化简，得x220x+96=0解，得x1=8，x2=12 当x=8时，20x=12；当x=12时，20x=8所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2（2）依题意，得 x（20x）=102化简，得x220x+102=0=b24ac=（20）24102=400408=80，方程无实数根所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键7【解析】（1）根据利润=每个的利润销售量列式

24、计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可解：（1）第一周获利：300（3520）=4500（元）；第二周获利：（300+50）（35120）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15x）（300+50x）5（90030030050x）=9500，即：x214x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）答：第二周每个商品的销售价格应降价4元点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解8 【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿B

25、C向上运动，且速度都为1cm/s，S=QCPB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答解：（1）当t10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10t当t10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t10（4分）（2）SABC=（5分）当t10秒时，SPCQ=整理得t210t+100=0无解（6分）当t10秒时，SPCQ=整理得t210t100=0解得t=55（舍去负值）（7分）当点P运动秒时，SPCQ=SABC（8分）（3）当点P、Q

26、运动时，线段DE的长度不会改变证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M易证APEQCM，AE=PE=CM=QM=t，四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半又EM=AC=10DE=5当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=62=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QEAB于E，在RtPEQ中，

27、由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PECD于E，在RtPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论解：（1）如图1，四边形ABCD是矩形，AB=CD=6，AD=BC=2，A=B=C=D=90CQ=1cm，AP=2cm，AB=62=4cmS=5cm2答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QEAB于E，PEQ=90，B=C=90，四边形BCQE是矩形，QE=BC=2cm，BE=CQ=tAP=2t，PE=62tt=63t在RtPQE中，由勾股定

28、理，得（63t）2+4=9，解得：t=如图2，作PECD于E，PEQ=90B=C=90，四边形BCQE是矩形，PE=BC=2cm，BP=CE=62tCQ=t，QE=t（62t）=3t6在RtPEQ中，由勾股定理，得（3t6）2+4=9，解得：t=综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QEAB于E，PEQ=90，B=C=90，四边形BCQE是矩形，QE=BC=2cm，BE=CQ=tAP=2t，PE=62tt=63tDQ=6tPQ=DQ，PQ=6t在RtPQE中，由勾股定理，得（63t）2+4=（6t）2，解得：t=如图4，当PD=PQ时，作PEDQ于E，DE=QE=DQ，PED=90B=C=90，四边形BCQE是矩形，PE=BC=2cmDQ=6t，DE=2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，AP=2t，CQ=t，DQ=6t，PD=6t在RtAPD中，由勾股定理，得4+4t2=（6t）2，解得t1=，t2=（舍去）综上所述：t=，故答案为：，点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键