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1、全国高考文科数学试题分类汇编8 解析几何全国高考文科数学试题分类汇编8 解析几何2014年全国高考文科数学试题分类汇编8 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程6，2014福建卷 已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是( )Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy306D 解析 由直线l与直线xy10垂直，可设直线l的方程为xym0.又直线l过圆x2(y3)24的圆心(0，3)，则m3，所以直线l的方程为xy30，故选D.20、2014全国新课标卷 已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为

2、坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积20解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y)由题设知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.1因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为， 318故l的方程为y. 33410又|OM|OP|2

3、2，O到直线l的距离为， 541016故|PM|POM. 55x2y221、2014重庆卷 如图1-5，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，ab|FF|2F2，点D在椭圆上，DF1F1F222，DF1F2的面积为|DF1|2(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由 221解：(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中ca2b2.|FF|FF|2由2 2得|DF1|. |DF1|2 221从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1. 2

4、22293 2从而|DF1|.由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|， 222所以2a|DF1|DF2|2 2，故a2，b2a2c21.x22因此，所求椭圆的标准方程为y1. 2x22(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两2个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2. 由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由F1P12F2P2得(x11)2y10. x24由椭圆方程得1

5、(x11)2，即3x214x10，解得x1或x10. 23当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在4当x1P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，3y1y0y由CP1F1P1，得1. x1x1115而y1|x11|，故y0. 3342 1524 2 圆C的半径|CP1| 3 33. 3综上，存在满足题设条件的圆，其方程为5 2322 x y3 . 9 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离6，2014福建卷 已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是( )Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy306D 解析 由直线l

6、与直线xy10垂直，可设直线l的方程为xym0. 又直线l过圆x2(y3)24的圆心(0，3)，则m3，所以直线l的方程为xy30，故选D.18、2014江苏卷 如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan4BCO3(1)求新桥BC的长(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 图1-618解： 方法一：(1)如图所示， 以O为坐标

7、原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A(0, 60), C(170，0)，4直线 BC 的斜率kBCtanBCO33又因为 ABBC, 所以直线AB的斜率kAB4设点 B 的坐标为(a，b)，b0b6034则kBC， kAB 3a170a04解得a80, b120，所以BC（17080）（0120）150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OMd m (0d60)4由条件知， 直线BC的方程为y(x170)， 3即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，|3d 680|680

8、3d即r. 543 rd80，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以 r（60d）80， 即 680 3d 560d）80，解得10d35.680 3d故当d10时， r 即圆面积最大， 5所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F . 6803dd80，54因为 tanFCO， 343所以sinFCO， cosFCO55因为OA60，OC170，680OC850500所以OFOC tanFCO， CF， 从而AFOFOA33cosFCO34因为OAOC, 所以cosAFB sinFCO. 5400又因为 ABBC，所以B

9、FAFcosAFB， 从而BCCFBF150. 3因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MDr m，OMd m (0d60)因为OAOC, 所以sinCFOcosFCO.6803dMDMDr3故由(1)知sinCFO 所以rMFOFOM68055d3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， rd80，所以 r（60d）80， 即 6803d 5（60d）80，解得10d35.680 3d故当d10时， r最大，即圆面积最大， 5所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大22、2014全国卷 已知抛物

10、线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与 y轴的交5点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|. 4(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程822解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0 p8pp8所以|PQ|，|QF|x0. p22pp858由题设得，解得p2(舍去)或p2， 2p4p所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0) 代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段A

11、B的中点为D(2m21，2m)，|AB|m1|y1y2|4(m21)1又直线l的斜率为m，所以l的方程为x2m23. m4将上式代入y24x，并整理得y2 y4(2m23)0. m4设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4y3y44(2m23) m22 22m3故线段MN的中点为E m ， m|MN|4（m21）2m11y3y4|. mm6803dd80，51由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，2从而11|AB|2|DE|2|MN|2，即 44222m 2 4(m1) m m 22224（m21）2（2m21）， m化简得m210，解

12、得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.x2y221、2014重庆卷 如图1-5，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，ab|FF|2F2，点D在椭圆上，DF1F1F222，DF1F2的面积为|DF1|2(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由 221解：(1)设F1(c，0)，F2(c，0)，其中ca2b2.|F1F2|F1F2|2由2 2得|DF1|. |DF1|2 221从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1. 22

13、2293 2从而|DF1|.由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|， 222所以2a|DF1|DF2|2 2，故a2，b2a2c21.x22因此，所求椭圆的标准方程为y1. 2x22(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两2个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2. 由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2(x11，y1)再由F1P12F2P2得(x11)2y10.x24由椭圆方程得1(x

14、11)2，即3x214x10，解得x1或x10. 23当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在4当x1P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，3y1y0y由CP1F1P1，得1. x1x1115而y1|x11|，故y0. 3342 1524 圆C的半径|CP1| 3 33. 3综上，存在满足题设条件的圆，其方程为5 2322 x y3 . 9 H3 圆的方程6，2014福建卷 已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是( )Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy306D 解析 由直线l与直线xy10垂直，可设直线l的

15、方程为xym0. 又直线l过圆x2(y3)24的圆心(0，3)，则m3，所以直线l的方程为xy30，故选D.172014湖北卷 已知圆O：x2y21和点A(2，0)，若定点B(b，0)(b2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，则(1)b_；(2)_1117(1)(2) 解析 设点M(cos ，sin )，则由|MB|MA|得(cos b)22222sin22（cos 2）sin，即2bcos b2142cos 52对任意的都1b，2 2 2b4，成立，所以 2 2又由|MB|MA|，得0，且b2，解得1 b15.218、2014江苏卷 如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划

16、建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan 4BCO3(1)求新桥BC的长(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 图1-618解： 方法一：(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170，0)，4直线 BC 的斜率kBCtanBCO33又因为 ABBC, 所以直线AB的斜率kAB4设

17、点 B 的坐标为(a，b)，b0b6034则kBC， kAB 3a170a04解得a80, b120，所以BC（17080）（0120）150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OMd m (0d60)4由条件知， 直线BC的方程为y(x170)， 3即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，|3d 680|6803d即r. 543 rd80，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以 r（60d）80， 3dd80， 6805即 680 3d 560d）80，解得10d35.680 3d故当d10

18、时， r 即圆面积最大， 5所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F. 4因为 tanFCO， 343所以sinFCO， cosFCO55因为OA60，OC170，680OC850500所以OFOC tanFCO， CF， 从而AFOFOA33cosFCO34因为OAOC, 所以cosAFB sinFCO. 5400又因为 ABBC，所以BFAFcosAFB， 从而BCCFBF150. 3因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MDr m，OMd m (0

19、d60)因为OAOC, 所以sinCFOcosFCO.6803dMDMDr3故由(1)知sinCFO 所以rMFOFOM68055d3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， rd80，所以 r（60d）80， 3dd80， 6805即 6803d 5（60d）80，解得10d35.680 3d故当d10时， r最大，即圆面积最大， 5所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大20、2014辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-5所示) (1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx3交于A

20、，B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程x20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0y04x xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为 x00 ，y02 0，4，其围成的三角形的面积S1448由x2y42x0y0知当且仅当x0y000 y02x0y0x0y02时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为2，2)x2y22(2)设C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在C上知aba22xy ab1，21，并由 得b2x243x62b20. b yx3，3x1x2b又x1，x2是

21、方程的根，所以 62b2x1x2b由y1x13，y2x23，得4824b8b4 6|AB|x1x2|23b134 6由点P到直线l的距离为SPAB|AB|2，得|AB|，即b49b21823220，x2y222222解得b6或3，因此b6，a3(舍)或b3，a6，从而所求C631.20、2014全国新课标卷 已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积20解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM

22、(x，y4)，MP(2x，2y)由题设知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.1因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为， 318故l的方程为y. 33410又|OM|OP|2 2，O到直线l的距离为， 541016故|PM|POM. 55 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系52014浙江卷 已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的

23、值是( )A2 B4C6 D85B 解析 圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，r22a，则圆心(1，1)到直|112|线xy20的距离为2.由22(22a，得a4, 故选B.62014安徽卷 过点P(3，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. 0， B. 0， 6 3 C. 0， D. 0， 6 3 6D 解析 易知直线l的斜率存在，所以可设l：y1k(x3)，即kxy3k|3k1|210.因为直线l圆x2y21有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离1，即k1k3k0，解得0k3，故直线l的倾斜角的取值范围是 0，. 3 72014北京卷 已知圆C：

24、(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为( )A7 B6C5 D47B 解析 由图可知，圆C上存在点P使APB90，即圆C与以AB为直径的341m341，即4m 6.xy70， 11，2014福建卷 已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域： xy30，若圆 y0.心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为( )A5 B29C37 D49xy70， 11C 解析 作出不等式组 xy30，表示的平面区域(如下图阴影部分所示， y0含边界)，圆C：(xa)2(yb)21的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得

25、xy70， x6，b1.解方程组 得 即直线xy70与直线y1的交点坐标为(6，1)， y1，y1， 设此点为P. 又点C，则当点C与P重合时，a取得最大值，所以，a2b2的最大值为621237，故选 C.212014福建卷 已知曲线上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论21解：方法一：(1)设S(x，y)为曲线上任意一点依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0，1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y .(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：1由(1)知抛物线的方程为yx2. 41设P(x0，y0)(x00)，则y02， 4011由yx，得切线l的斜率ky|xx00， 22111所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx2. 224011 y20x420，10，0 . 由 得A 2 y