1、专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10 回答下列问题:(1)蚂蚁最后是否回到出发点0;(2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻解:(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0;(2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)2=114粒2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 .解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB
2、即为最短路线AB= 3(2006?茂名)如图,点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm解:由题意得,从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长,即2+2=44如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是( )AA?P?B BA?Q?B CA?R?B DA?S?B解:根据两点之间线段最短可知选A故选A5如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是()解:如图,AB= 故选C6 正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬
3、行到M点的最短距离为()解:展开正方体的点M所在的面,BC的中点为M,所以MC= BC=1,在直角三角形中AM= = 7如图,点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程是 cm。解:将盒子展开,如图所示:AB=CD=DF+FC= EF+ GF=20+20=20cm故选C8. 正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 . 解:将正方体展开,连接M、D1,根据两点之间线段最短,MD=MC+CD=1+2=3,MD1= 9如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm,
4、假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用 2.5秒钟解:因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线(1)展开前面右面由勾股定理得AB= = cm;(2)展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm;所以最短路径长为5cm,用时最少:52=2.5秒10(2009?恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是 。解:将长方体展开,连接A、B,根据两点之间线段最短,AB= =2511. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体
5、的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为 .解:正面和上面沿A1B1展开如图,连接AC1,ABC1是直角三角形,AC1=12如图所示:有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解:由题意得,路径一:AB= = ;路径二:AB= =5;路径三:AB= = ; 5,5米为最短路径13如图,直四棱柱侧棱长为4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B求:(1)蚂蚁经过的最短路程;(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程解:(1)AB的长就为最短路线然
6、后根据若蚂蚁沿侧面爬行,则经过的路程为 (cm);若蚂蚁沿侧面和底面爬行,则经过的路程为 (cm),或 (cm)所以蚂蚁经过的最短路程是 cm(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最长路程是30cm14如图,在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁,它要爬到顶点B处去觅食,最短的路程是多少? 解:图1中, cm图2中, cm图3中, cm采用图3的爬法路程最短,为 cm15如图,长方体的长、宽、高分别为6cm,8cm,4cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解:第一种情况:把我们所看到的前
7、面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,则所走的最短线段是 =6 cm;第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,所以走的最短线段是 = cm;第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是 =2 cm;三种情况比较而言,第二种情况最短16如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cmA和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm解:三级台阶平面展开
8、图为长方形,长为20cm,宽为(2+3)3cm,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,由勾股定理得:x2=202+(2+3)32=252,解得x=25故答案为2517如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是 cm。解:将台阶展开,如下图,因为AC=33+13=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13(cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm
9、答:蚂蚁爬行的最短线路为13cm18(2011?荆州)如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为 cm解:PA=2(4+2)=12,QA=5PQ=13故答案为:1319如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少? 解:如图1,在砖的侧面展开图2上,连接AB,则AB的长即为A处到B处的最短路程 解:在RtABD中,因为AD=AN+ND=5+10=15,BD=8,所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=
10、172所以AB=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为17cm20(2009?佛山)如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;(3)求点B1到最短路径的距离解:(1)如图,木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACC1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C1和AC1(2分)(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1,爬过的路径的长是 (3分)蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1,爬过的路径的长是 (4分)l1
11、l2,故最短路径的长是 (5分)(3)作B1EAC1于E,则 ? ? 为所求(8分)21有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离 .解:AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离C,D分别是BE,AF的中点AF=2?5=10AD=5AC= 16cm故答案为:16cm22有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为 . 解:AB=m23如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为 解:因为圆柱底面圆的周长为2=12,高为5
12、,所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,根据勾股定理,对角线长为 =13故蚂蚁爬行的最短距离为1324如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是 解:如图所示:由于圆柱体的底面周长为24cm,则AD=24=12cm又因为CD=AB=9cm,所以AC= =15cm故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm故答案为:1525(2006?荆州)有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1,BB1为相对的两条母线在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇P,P
13、B1=2cm,蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是 cm(结果用带和根号的式子表示)解:QA=3,PB1=2,即可把PQ放到一个直角边是4和5的直角三角形中,根据勾股定理得:QP= 26同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从A处爬行到对面的中点B处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图 问题:某正方体盒子,如图左边下方A处有一只蚂蚁,从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图 解:如图,将圆柱的侧面展开成一个长方形,如图示,则A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图 如图,将正方体中面ABCD和面CBF
14、G展开成一个长方形,如图示,则A、M分别位于如图所示的位置,连接AM,即是这条最短路线图 第5题27如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是 .解:圆锥的底面周长是4,则4= ,n=180即圆锥侧面展开图的圆心角是180,在圆锥侧面展开图中AP=2,AB=4,BAP=90,在圆锥侧面展开图中BP= ,这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm故答案是: cm28如图,圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm,AB为底面直径,C为底面圆周上一点,COB=150,D为VB上一点,VD= 现有一只蚂蚁
15、,沿圆锥表面从点C爬到D则蚂蚁爬行的最短路程是()解: = = ,设弧BC所对的圆心角的度数为n, = 解得n=90,CVD=90,CD= =4 ,29已知圆锥的母线长为5cm,圆锥的侧面展开图如图所示,且AOA1=120,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A则蚂蚁爬行的最短路程长为 。解:连接AA,作OCAA于C,圆锥的母线长为5cm,AOA1=120,AA=2AC=530 如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是 .解:由题意知,底面圆的直径为2,故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,根
16、据底面周长等于展开后扇形的弧长得,解得n=90,所以展开图中圆心角为90,根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是:31(2006?南充)如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是 。解:由题意知底面圆的直径=2,故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2=,解得n=90,所以展开图中的圆心角为90,根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为32(2009?乐山)如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为 。解
17、:由题意知,底面圆的直径AB=4,故底面周长等于4设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4= ,解得n=120,所以展开图中APD=1202=60,根据勾股定理求得AD= ,所以蚂蚁爬行的最短距离为33如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径解:把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形,则蚂蚁运动的最短路程为AA(线段) 由此知:OA=OA=3r, 的长为2r2r= ,n=120,即AOA=120,OAC=30OC=OA=AC=AA=2AC=r,即蚂
18、蚁运动的最短路程是r34如图,一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发,沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M蚂蚁沿怎样的路径行走最合算?为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究(1)善于表现的银银首先列出了一组数据:圆锥底面半径r=10cm,母线SA长为40cm,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程;(2)一向稳重的慧慧只给出一个数据:圆锥的锥角等于60(如图),请问:蚂蚁如何行走最合算?(3)通过(1)、(2)的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法,可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周,请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周?结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法解:(1)2?10=n?40180n=90,AM= =20 (2)锥角为60,底面半径的长和母线的长相等,但缺少母线的长(3)因为银银的数据不合理,因为慧慧缺少条件(1)展成平面图形(2)知道母线的长,知道扇形的圆心角度数,以及M是SA的中点,根据三角函数或者构造直角三角形来求解
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