构造斜边上的中线与高解决斜边的最小值问题.docx

1、构造斜边上的中线与高解决斜边的最小值问题构造斜边上的中线与高解决斜边的最小值问题中考中常常考察直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，从形状上来讲，直角三角形斜边上的高把直角三角形分得两个小直角三角形，而斜边上的中线那么把它分为两个小等腰三角形；从长度上来讲，直角三角形斜边上的高是直角极点到斜边上所有点当中距离最短的，其长度能够用两直角边乘积除以斜边求得；而斜边上的中线等于斜边的一半。本文从构造的角度，说明当直角三角形斜边上的高与中线相结合时，如何解决斜边的最小值问题。案例一：（XX贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点

2、，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生转变，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在O上是不是存在一点Q，使得以Q、O、A、P为极点的四边形时平行四边形？假设存在，请求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由。【分析】：此题问题（1）中,要求解线段AB的最小值，而A、B点都随切线的改变而改变，不行直接求其最值，而在RtOAB中，线段AB为斜边，取AB的中点C，连结OC，如此就利用斜边上的中线等于斜边的一半取得OC=AB，求出OC的最小值而就能够够解决斜边AB的最小值，又因为O与边相切，连结O与切点P，因此半径OPAB,

3、由图能够知，RtOAB中，斜边上的中线OC 斜边上的高OP, 当OCOP时，OC最短，即AB最短，现在AB4。案例二：（常州市XX年）如图，在中，通过点且与边相切的动圆与别离相交于点，那么线段长度的最小值是（）A B C D【分析】：此题中，由，可知ACB=90，要求解线段PQ的最小值，而P、Q点都随动圆在改变，不行直接求其最值，而在RtPQC中，线段PQ为斜边，取PQ的中点O（O点也是动圆的圆心），连结OC,如此就利用斜边上的中线等于斜边的一半取得OC=QP，又因为O与边相切，连结O与切点E，因此半径OEAB,OE=OC=QP，即OE+OC=QP，求出OE+OC的最小值而就能够够解决斜边PQ

4、的最小值，OE+OC的最小值确实是在RtABC中C点到AB的距离,也确实是RtABC斜边上的高CF。即PQ长度的最小值等于6810=4.8。从上面两个案例咱们发觉，当求直角三角形斜边的最小值问题时，咱们一般是构造出斜边上的中线，然后把求斜边的最值问题转化成求斜边上中线的最小值问题，而往往斜边上中线的最小值又与斜边上的高有关，最后由确信斜边上高来求出斜边的最值问题。中考中常常考察直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，从形状上来讲，直角三角形斜边上的高把直角三角形分得两个小直角三角形，而斜边上的中线那么把它分为两个小等腰三角形；从长度上来讲，直角三角形斜边上的高是直

5、角极点到斜边上所有点当中距离最短的，其长度能够用两直角边乘积除以斜边求得；而斜边上的中线等于斜边的一半。本文从构造的角度，说明当直角三角形斜边上的高与中线相结合时，如何解决斜边的最小值问题。案例一：（XX贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生转变，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在O上是不是存在一点Q，使得以Q、O、A、P为极点的四边形时平行四边形？假设存在，请求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由。【分析】：此题问题（1）中,要

6、求解线段AB的最小值，而A、B点都随切线的改变而改变，不行直接求其最值，而在RtOAB中，线段AB为斜边，取AB的中点C，连结OC，如此就利用斜边上的中线等于斜边的一半取得OC=AB，求出OC的最小值而就能够够解决斜边AB的最小值，又因为O与边相切，连结O与切点P，因此半径OPAB, 由图能够知，RtOAB中，斜边上的中线OC 斜边上的高OP, 当OCOP时，OC最短，即AB最短，现在AB4。案例二：（常州市XX年）如图，在中，通过点且与边相切的动圆与别离相交于点，那么线段长度的最小值是（）A B C D【分析】：此题中，由，可知ACB=90，要求解线段PQ的最小值，而P、Q点都随动圆在改变，

7、不行直接求其最值，而在RtPQC中，线段PQ为斜边，取PQ的中点O（O点也是动圆的圆心），连结OC,如此就利用斜边上的中线等于斜边的一半取得OC=QP，又因为O与边相切，连结O与切点E，因此半径OEAB,OE=OC=QP，即OE+OC=QP，求出OE+OC的最小值而就能够够解决斜边PQ的最小值，OE+OC的最小值确实是在RtABC中C点到AB的距离,也确实是RtABC斜边上的高CF。即PQ长度的最小值等于6810=4.8。从上面两个案例咱们发觉，当求直角三角形斜边的最小值问题时，咱们一般是构造出斜边上的中线，然后把求斜边的最值问题转化成求斜边上中线的最小值问题，而往往斜边上中线的最小值又与斜边

8、上的高有关，最后由确信斜边上高来求出斜边的最值问题。中考中常常考察直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，从形状上来讲，直角三角形斜边上的高把直角三角形分得两个小直角三角形，而斜边上的中线那么把它分为两个小等腰三角形；从长度上来讲，直角三角形斜边上的高是直角极点到斜边上所有点当中距离最短的，其长度能够用两直角边乘积除以斜边求得；而斜边上的中线等于斜边的一半。本文从构造的角度，说明当直角三角形斜边上的高与中线相结合时，如何解决斜边的最小值问题。案例一：（XX贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作

9、O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生转变，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在O上是不是存在一点Q，使得以Q、O、A、P为极点的四边形时平行四边形？假设存在，请求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由。【分析】：此题问题（1）中,要求解线段AB的最小值，而A、B点都随切线的改变而改变，不行直接求其最值，而在RtOAB中，线段AB为斜边，取AB的中点C，连结OC，如此就利用斜边上的中线等于斜边的一半取得OC=AB，求出OC的最小值而就能够够解决斜边AB的最小值，又因为O与边相切，连结O与切点P，因此半径OPAB, 由图能够知，RtOAB中，斜

10、边上的中线OC 斜边上的高OP, 当OCOP时，OC最短，即AB最短，现在AB4。案例二：（常州市XX年）如图，在中，通过点且与边相切的动圆与别离相交于点，那么线段长度的最小值是（）A B C D【分析】：此题中，由，可知ACB=90，要求解线段PQ的最小值，而P、Q点都随动圆在改变，不行直接求其最值，而在RtPQC中，线段PQ为斜边，取PQ的中点O（O点也是动圆的圆心），连结OC,如此就利用斜边上的中线等于斜边的一半取得OC=QP，又因为O与边相切，连结O与切点E，因此半径OEAB,OE=OC=QP，即OE+OC=QP，求出OE+OC的最小值而就能够够解决斜边PQ的最小值，OE+OC的最小值确实是在RtABC中C点到AB的距离,也确实是RtABC斜边上的高CF。即PQ长度的最小值等于6810=4.8。从上面两个案例咱们发觉，当求直角三角形斜边的最小值问题时，咱们一般是构造出斜边上的中线，然后把求斜边的最值问题转化成求斜边上中线的最小值问题，而往往斜边上中线的最小值又与斜边上的高有关，最后由确信斜边上高来求出斜边的最值问题。