1、四年级下册数学试题奥数专题讲练第九讲 图形的剪拼一含答案第九讲图形的剪拼(一)把一个几何图形剪成几块形状相同的图形,或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形,完成这样的图形剪拼,需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系.例1 如右图所示是由三个正方形组成的图形,请把它分成大小、形状都相同的四个图形?分析如果我们不考虑分成的四个图形的形状,只考虑它的面积,就要求把原来三个正方形分成四个面积相等的部分.每部分面积应是正方形面积的图形,于是我们就有了如图(2)的分法.仿照例1的分法我们把如右图这样由五个正方形组成的图形,分成四块正方形,则可把每个正方形分成四个面积相等的
2、小正方形,每块图形应有五个这样的小正方形,如右图所示.例2 把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是:先取各边的中点并把它们连接起来,得到4个大小、形状相同 的三角形,然后再把每一个三角形分成一半,得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是:先把每边三等分,然后再把分点彼此连接起来,得到加上右图所 示的符合条件的图形.例3 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米,要把它剪成大小、形状都相同的两块,并使它们拼成一个正方形.分析已知长方形面积94=36(平方厘米),所以正方形的边长应为6厘米,因此可以 把长方形上半部剪下6厘米,下半部剪下3厘米,分成相等的两块,合起
3、来正好拼成一个边长为6厘米的正方形,如下右图.例4 把一个正方形分成8块,再把它们拼成一个正方形和一个长方形,使这个正方形和长方形的面积相等.分析连接正方形的对角线,把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形,再连接各腰 中点,又把它们分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形.(如下页图(1)所示)出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑:分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形,就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图(2)、(3)所示).除这种方法外,还有多种拼接方法.例5 在下左图中画5条线,把小圆圈分开,并使每块大小、形状都相等.分析因为图中有8个小圆圈,画5条线把图形应分成8块,根据小圆圈
4、的分布特点,分 法如下图(右)所示.例6 把下图中两个图形中的某一个分成三块,最后都拼在一起,使它们成为一个正方形.分析不管分其中的哪一块,最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等,甲面积=105=50平方厘米;乙面积=107-(7-2)4=70-20=50平方厘米.所以甲面积+乙面积=50+50=100平方厘米,也就是最后拼得正方形的边长为10厘米. 甲、乙两图形各有一边是10厘米,可视为正方形的一条边,然后把乙剪成三块(如下图所 示)拼成的正方形,即可.当然,除这种拼凑的方法之外,还有其他多种方法,同学们可自行构思、设计. 例7 如下左图将其切成3块,使之拼成一个正方形.分析原图形面积是3
5、2,所以拼成正方形的面积也应是32,即正方形边长,如下右图所示,切成甲、乙、丙3块,甲拼到甲位置,乙拼到乙位置,这样 甲、乙、丙便构成一个正方形.例8 如下左图所示,这是一张十字形纸片,它是由五个全等正方形组成,试沿一直线将它剪成两片,然后再沿另一直线将其中一片剪成两片,使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形.分析实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形,其长是宽的2倍,设所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个对角顶点的连线. 剪拼方法如下图右所示,甲拼在甲位置,乙拼在乙位置,就可得符合题意的图形.本题小结:假若沿第二条线把另一片也剪成两片,那么共剪成的4片是4个全
6、等多边形,这时两条直线都经过十字形的中心,并且互相垂直.剪开的这4个图形其中一个绕中心 旋转90也和另一个重合.由此我们便得到一个示.例9 把如下图(1)所示的图形切成两块,然后拼成一个正方形.分析原图形面积为16(平方单位),所以拼成的正方形面积也应为16(平方单位), 边长为4(长度单位).切开后,须将右片向左平移2个单位,然后再向上平移1个单位.(如 下图(2)所示)恰拼成一个正方形.例10 如右图两个正方形的边长分别是a和b(ab),将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形, 与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.分析拼成大正方形的面积应是a2+a2设边长c,则有等式c2=a2
7、+b2,又因为将边长为a的 正方形切成四个全等形,那么分割线一定经过正方形中心,假设切割线MN为大正方形边 长,如下图(1),一定有MN2=a2+b2,而MH=a,将MN绕中心O旋转90到EF位置,即可把正方形切成符合要求的4块.如下图(2)及下图(3).这种分法同时确保图(3)的中间部分就是边长为b的小正方形.这是因为:中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角,A,B,C,D,又因为各边长度相等.因此中心四边形是正方形.a-(a-b)b.因此,中间部分是边长为b的正方形.习题九1.如右图,将一个底角为60,上底和腰相等的等腰梯形切割成4块大小、形状都相同 的图形.2.如右图,方框外面边长为5
8、,里面边长为3,把方框锯成4块,拼成一个正方形,问怎 样拼法?3.如右图,分别将两图形,分成8个大小、形状相同,面积相等的图形.4.如右图,把它锯成3块再拼成一个正方形.5.把一个正方形分成20个大小形状完全一样的三角形.6.长方形长24厘米,宽15厘米.把它剪成两块,使它们拼成一个长20厘米,宽18厘米的 长方形.7.将下列各图均切成三块,每三块拼成一个正方形.习题九解答1.2.面积为16(平方单位). 3.4.5.6.长方形面积=2415=360平方厘米,拼成的长方形面积=2018=360平方厘米,面积 相等,只是长、宽不等,但它们都可以分成30个43的小长方形,拼成的长方形的一半应 有15个43的小长方形,即54+3+2l=15.所以才有如下的剪切方法:7.
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