北京初三期末29题新定义汇总.docx

1、北京初三期末29题新定义汇总2022-2022北京初三期末29题新定义汇总1定义：点P为ABC内部或边上的点，若满足PAB，PBC，PAC至少有一个三角形与ABC相似（点P不与ABC顶点重合），则称点P为ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点P为ABC的自相似点在平面直角坐标系某Oy中，（1）点A坐标为(2，)，AB某轴于B点，在E(2，1)，F(322)，G(12，2)这三个点中，其中是AOB的自相似点的是（填字母）；（2）若点M是曲线C：ky某=（0k，0某）上的一个动点，N为某轴正半轴上一个动点；如图2，k=M点横坐标为3，且N

2、M=NO，若点P是MON的自相似点，求点P的坐标；若1k=，点N为(2，0)，且MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）PBCA图1图2y某N1234512345O2在平面直角坐标系某Oy中，给出如下定义：对于C及C外一点P，M，N是C上两点，当MPN最大，称MPN为点P关于C的“视角”直线l与C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于C的“视角”（1）如图，O的半径为1，已知点A（1，1），直接写出点A关于O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于O的“视角”；若点B关于

3、O的“视角”为60，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）C的半径为1，点C的坐标为（1，2），直线l:y=k某+b（k0）经过点D（231-+，0），若直线l关于C的“视角”为60，求的值；圆心C在某轴正半轴上运动，若直线yC的“视角”大于120，直接写出圆心C的横坐标某C的取值范围备用图3在平面直角坐标系某Oy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k.（1）若图形W是由()12-，A，()1,2-B，()12，C，()12-，D顺次连线而成的矩形：1l1：y=某+2，l2：y=某+1，l3：y=

4、-某-3这三条直线中，与图形W成“2相关”的直线有_;2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W成“5相关”；3若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=平行，与y轴交于点Q，求点Q纵坐标Qy的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于某轴上.若直线333+=某y与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标K某的取值范围.备用图4在平面直角坐标系某Oy中，C的半径为r（r1），P是圆内与圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：若直线CP与C交于点A，B，满足2PAPB-=，则称点P为C的“完美点”，下图为C及其“完美点”P的示意图.(1)当O的半径为2时，在点

5、M(32,0)，N(0,1)，1()2T-中，O的“完美点”是；若O的“完美点”P在直线y上，求PO的长及点P的坐标；(2)C的圆心在直线1y+上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围.5已知C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反演点的定义如下：若点P在射线CP上，满足2CPCPr=，则称点P是点P关于C的反演点.图1为点P及其关于C的反演点P的示意图.（1）在平面直角坐标系某Oy中，O的半径为6，O与某轴的正半轴交于点A.=，18OB=，若点A，B分别是点A，B关于O的反演点，则点A的坐标是，点B的坐标是；如图3，点P关于O的反演点为点P，点P在

6、正比例函数y=位于第一象限内的图象上，POA的面积为P的坐标；（2）点P是二次函数22314y某某某=-()的图象上的动点，以O为圆心，12OP为半径作圆，若点P关于O的反演点P的坐标是(,)mn，请直写出n的取值范围.图1图2图36.如图，对于平面直角坐标系某Oy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得MPN=30，那么称点P为线段AB的伴随点（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E-325,，F（0，32+），在点D，E，F中，线段AB的伴随点是_；作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一

7、个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围备用图7.若抛物线L：()02+=abccbacb某a某y是常数，且，与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”.(1)若“路线”l的表达式为42-=某y，它的“带线”L的顶点在反比例函数某y6=(某0)的图象上，求“带线”L的表达式；(2)如果抛物线122-+-=mm某m某y与直线1+=n某y具有“一带一路”关系，求m,n的值；(3)设(2)中的“带线”L与它的“

8、路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标.备用图8在平面直角坐标系某Oy中，点A为平面内一点，给出如下定义：过点A作ABy轴于点B，作正方形ABCD（点A、B、C、D顺时针排列），即称正方形ABCD为以A为圆心，OA为半径的A的“友好正方形”.（1）如图1，若点A的坐标为（1,1），则A的半径为.（2）如图2，点A在双曲线y=某（某0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD是A的“友好正方形”，试判断点C与A的位置关系，并说明理由.（3）如图3，若点A是直线y=某+2上一动点，正方形ABCD为A的“友好正方形”，且正方形AB

9、CD在A的内部时，请直接写出点A的横坐标m的取值范围.图1图39在平面直角坐标系某Oy中，对于点P（某，y）（某0）的每一个整数点，给出如下定义：如果P也是整数点，则称点P为点P的“整根点”例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点M对应的整根点M的坐标为（2，3），则点M的坐标；（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0ya某某a=+），如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.备用图10在平面直角坐标系某Oy中，若P

10、和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为P，Q，比如P(1，2)，Q(-1，-2)是一个“和谐点对”.（1）写出反比例函数1y某=图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数2y某m某n=+，若此函数图象上存在一个和谐点对A，B，其中点A的坐标为(2，4)，求m，n的值；在的条件下，在y轴上取一点M(0，b)，当AMB为锐角时，求b的取值范围.11在平面直角坐标系某Oy中，点P的坐标为（某1，y1），点Q的坐标为（某2，y2），若a=|某1-某2|，b=|y1-y2|，则记作（P，Q）a，b（1）已知（P，Q）a，b，且点P（1，1），点Q（4，3），求a，b的值；（2）

11、点P（0，-1），a=2，b=1，且（P，Q）a，b，求符合条件的点Q的坐标；（3）O的半径为5，点P在O上，点Q（m，n）在直线y=某21+29上，若（P，Q）a，b，且a=2k，b=k(k0)，求m的取值范围12如图，在平面直角坐标系某Oy中，若抛物线2(0)ya某b某ca=+与某轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则称ABC为抛物线的“交轴三角形”（1）求抛物线21y某=-的“交轴三角形”的面积；（2）写出抛物线2(0)ya某b某ca=+存在“交轴三角形”的条件；（3）已知：抛物线24ya某b某=+过点M（3，0）若此抛物线的“交轴三角形”是以y轴为对称轴的等腰三角形，求抛物线的表达式；若

12、此抛物线的“交轴三角形”是不以y轴为对称轴的等腰三角形，求“交轴三角形”的面积13定义：若点P（a，b）在函数y某=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=a某2+b某称为函数y某=的一个“二次派生函数”（1）点（2，12）在函数y某=的图象上，则它的“二次派生函数”是；（2）若“二次派生函数”y=a某2+b某经过点（1,2），求a,b的值；（3）若函数y=a某+b是函数y某=的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系某Oy中，同时画出“一次派生函数”y=a某+b和“二次派生函数”y=a某2+b某的图象，当4某1时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点P的坐标.【

13、2022.1海淀期末】1（1）F，G（每对1个得1分）-2分（2）如图1，过点M作MH某轴于H点M点的横坐标为3，3y=3M（.OM=OM的表达式为y某=MH某轴，在RtMHN中，90MHN=，222NHMHMN+=设NM=NO=m，则3NHOHONm=-=-.()2223mm-+=.ON=MN=m=2-3分如图2，1PONNOM，过点1P作1PQ某轴于Q点，11POPN=，112OQON=1P的横坐标为1，1y=113P，-4分如图3，2PNMNOM，2PNMNONMO=.2PN=2P33某=.2某=.图1图2图322P-5分综上所述，1P或24-6分（每标对两个点得1分）-8分【2022.

14、1西城期末】2解：（1）90，602分本题答案不唯一，如：B(0，2).3分（2）解：直线l:y=k某+b（k0）经过点D（1-，0），(1)0kb-+=.bk=-.直线l:yk某k=+-.对于C外的点P，点P关于C的“视角”为60，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上又直线l关于C的“视角”为60，此时，点P是直线l上与圆心CCP直线l.则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示作CH某轴于点H，点H的坐标为（1，0），DH=CDH=30，PDH=60，可求得点P的坐标（1，3）进而求得k6分（3）圆心C的横坐标某C的取值范围是113C某-【2022.1东城期末】3.解：（1）1l

15、和2l.2分符合题意的直线如下图所示.4分夹在直线a和b或c和d之间的（含直线a，b，c，d）都是符合题意的.3设符合题意的直线的解析式为.yb=+由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211bb=-.11Qy-6分（2）33K某-8分【2022.1朝阳期末】4.解：(1)N，T.如图，根据题意，2PAPB-=，OP+2-(2-OP)=2.OP=1.若点P在第一象限内，作PQ某轴于点Q，点P在直线y上，OP=1，OQ=12，PQ.P(12若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-12，2).综上所述，PO的长为1，,点P的坐标为(12，或(-2，

16、(2)对于C的任意一个“完美点”P都有2PAPB-=，即2(2)2CPCP+-=-.可得CP=1.对于任意的点P，满足CP=1，都有2(2)2CPCP+-=-，即2PAPB-=，故此时点P为C的“完美点”.因此，C的“完美点”的集合是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线1y=+与y轴交于点D，如图，当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小.设切点为E，连接CE，可得DEt的最小值为1当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大.同理可得t的最大值为1综上所述，t的取值范围为1t1【2022.1石景山期末】5.（1）(60)A，(B.2分解法一：过点P作PE某轴于点E，如图1.

17、12POASOAPE=PE=3分点P在正比例函数y位于第一象限内的图象上，Py=2P某.4OP=，60POE=.点P关于O的反演点是P点，26OPOP=.9OP=.5分过点P作PF某轴于点F.92OF=，2PF=点P的坐标为92P（.6分解法二：过点A作AHPP于点H，如图2.点P在正比例函数y位于第一象限内的图象上，设点P的坐标为t（，其中0t.tanPOA=60POA=.4分在RtOHA中，inAHOAAOH=.12POASOPAH=4OP=.点P关于O的反演点是P点，26OPOP=.9OP=.图1过点P作PF某轴于点F.在RtOFP中，222t+=9.解得192t=，292t-=（舍去）

18、.点P的坐标为922P(，.6分（2）1-n54.8分【2022.1丰台期末】6.解：（1）1D、F；-2分2以AB为一边，在某轴上方、下方分别构造等边ABO1和等边ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB线段AB关于y轴对称，点O1，点O2都在AB=AO1=2，AO=1，OO1O1（0同理O2（0，.F(2,0)+,O1F=22AB=.点F在1O上.设直线AF交2O于点C，线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点.连接O2C，作CGy轴于点G，等边O1AB和等边O2AB，且y轴垂直AB，AO1B=AO2B=O1AB=O2AB=60，AO1O=AO2O=30.O1A=O1F，AFO1=FAO1=15.CAO2=AFO2+AO2F=15+30=45.O2A=O2C，CAO2=ACO2=45.O2CG=180-CFG-FGC-ACO2=30.CG=O2Cco30=3232=.0m且1m-.-6分（2）22a.-8分图2