课时跟踪检测七 高考数学强化训练 小题考法空间点线面的位置关系.docx

1、课时跟踪检测七 高考数学强化训练 小题考法空间点线面的位置关系课时跟踪检测（七）小题考法空间点、线、面的位置关系A组107提速练一、选择题1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()Aml BmnCnl Dmn解析：选Cl，l.n，nl.2若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面平行的棱有()A0条 B1条C2条 D0条或2条解析：选C因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所以该三棱锥中与平面平行的棱有2条，故选C.3已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，且m，n.有下列命题：若，则m，n可能平行，

2、也可能异面；若l，且ml，nl，则；若l，且ml，mn，则.其中真命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B对于，直线m，n可能平行，也可能异面，故是真命题；对于，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，故是假命题；对于，当直线nl时，不能推出两个平面垂直，故是假命题故真命题的个数为1.故选B.4.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B与CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MNAC

3、1OD，EFCB1，那么DOC即直线MN与EF所成的角，设AA1ABa，则AC1CB1a，于是ODOC，又CD，于是OCD为正三角形，DOC60，故直线MN与EF所成角的余弦值为.5设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l解析：选B画出一个长方体ABCD A1B1C1D1.对于A，C1D1平面ABB1A1，C1D1平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1平面ABCD，BB1平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1平面ABCD，CD平面ABB1A1，但CD平面ABC

4、D.6如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ACD平面ABC，若点N是BD上的动点，当线段ON最短时，二面角NACB的余弦值为()A0 B.C. D.解析：选C易知OBOD，所以当N为BD的中点时，线段ON最短，因为ACOB，ACOD，所以AC平面BOD，所以ONAC，所以BON即二面角NACB的平面角因为平面ACD平面ABC，ODAC，所以ODOB，所以BOD为等腰直角三角形，所以BON45，所以二面角NACB的余弦值为.7.(2018温州模拟)在四面体ABCD中，二面角ABCD为60，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成角

5、为，则()A的最大值为60 B的最小值为60C的最大值为30 D的最小值为30解析：选A过A作AMBC，AO平面BCD，垂足为O，连接OM，则AMO为二面角ABCD的平面角，AMO60，在直线BC上任取一点P，连接OP，AP，则APO为直线AP与平面BCD所成的角，即APO，APAM，AMsin 60AO，APsin AO，sin sin 60，即的最大值为60.故选A.8.(2019届高三镇海中学期中)如图，四边形ABCD，ABBDDA2，BCCD，现将ABD沿BD折起，当二面角ABDC的大小在时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B取BD的中点O，连接

6、AO，CO，由ABDA，BCCD，知AOBD，COBD，分别以OB，OC所在直线为x，y轴，过O作平面BCD的垂线，垂线所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1，0,0)，设二面角ABDC的平面角为，则动点A(0，cos ，sin )，从而有(1，cos ，sin )，(1，1,0)，设直线AB与CD所成的角为，则cos ，cos ，|1cos |，故cos ，故选B.9.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P为底面ABCD内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为1，2(1，2均不为0)若12，则动点P的轨

7、迹为()A直线的一部分 B圆的一部分C椭圆的一部分 D抛物线的一部分解析：选B建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的边长为2，则A(2,0,0)，E(2,0,1)，D1(0,0,2)，P(x，y,0)，(0,0,1)，(2x，y，1)，(x，y,2)由12，得cos 1cos 2，即，代入数据，得，整理，得2y2(0x2,0y2)，即动点P的轨迹为圆的一部分10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有()A0个 B1个C2个

8、 D3个解析：选C因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形若P在线段C1D1上时，点Q一定在线段ON上运动，只有当P为线段C1D1的中点时，点Q与点N重合，此时1，符合题意；若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件的点Q；若P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时0符合题意，所以符合条件的值有2个，故选C.二、填空题11，是两平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF.现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与

9、CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_解析：由题意得，ABCD，A，B，C，D四点共面中，AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；不能得到BDEF，故错误；中，由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知平面ABCD，又AB，AB平面ABCD，平面ABCD.平面ABCD，平面ABCD，EF，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；中，由知，若BDEF，则EF平面ABCD，则EFAC，故错误，故填.答案：12.如图，已知平面，且AB，PC，PD，C，D是垂足那么直线AB与平面PCD

10、的位置关系为_，若PCPD1，CD，则平面与平面的位置关系为_解析：因为PC，AB，所以PCAB，同理，PDAB，又PCPDP，所以AB平面PCD，设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH(图略)，因为AB平面PCD，所以ABCH，ABDH，所以CHD为二面角 AB 的平面角，又PCPD1，CD，所以CD2PC2PD22，即CPD90，在平面PCHD中，PCHPDHCPD90，所以CHD90，所以.答案：AB平面PCD13.如图所示的三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC，D是BC的中点，且ADC是边长为2的正三角形，则二面角PABC的大小为_解析：由已知条件，D是BC的中点，CDBD2，

11、又ADC是正三角形，ADCDBD2，D是ABC的外心且又在BC上，ABC是以BAC为直角的三角形，即ABAC，又PC平面ABC，PAAB.PAC即为二面角PABC的平面角，在RtPAC中，tanPAC，PAC30.答案：3014.(2018台州一模)如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB1，ACCDDA2，动点M在边DC上(不同于D点)，P为边AB上任意一点，沿AM将ADM翻折成ADM，当平面ADM平面ABC时，线段PD长度的最小值为_解析：设D在平面ABCD上的射影为H，显然当AMD最小值时，H到直线AB的距离最小，故折痕为AC时，H为AC的中点，此时DHDH，此时，H到直线

12、AB的最小距离为hBC，PD的最小距离为.答案：15.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，BCD90，且BCCD3.将ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于_；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于_解析：当平面ABC平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC上的点M，因为ABAC，所以BMMC，当点A在平面BCD上的射影M在BD上时，因为BCCD3，所以DBC30，所以由BCD90得BMMD，则点M的轨迹的最大长度等于CD.当M位于BD上时，将其补为四棱锥，由已知条件得AM平面B

13、CDE，BMEM，所以ABAE，又因为EBA为直线AB和CD所成的角，所以cosEBA.答案：16(2019届高三浙江名校高三联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC，ABACAA11，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为_解析：如图，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz，则E，G，令D(0，b,0)，F(a,0，0)，0a1,0b1，则，0，ab0，即a12b，而0a1，0b，DF ，当b时，DF取得最小值，又0b，DF1，故DF的取值范围是.答案：17.

14、(2018浙江新高考模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA11，P是棱AB上任一点，若平面B1DP和平面AA1D1D所成的角为，则tan 的最小值为_解析：当P与A或B重合时，易得，tan 1.当P异于A，B时，延长B1P，A1A交于点Q，连接QD，则DQ为平面B1DP与平面AA1D1D的交线由PA平面AA1D1D，得PADQ，过A作AHQD于点H，连接PH，所以DQ平面PHA，所以PHDQ，所以PHA为平面B1DP与平面AA1D1D所成的角，即PHA，设PAx(0x1)，则AQ，DQ，AH，tan tanPHA，当且仅当x，即P为AB的中点时取等号综上，tan 的最小值为.答

15、案：B组能力小题保分练1平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选A如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，即平面就是平面AB2D2，平面AB2D2平面ABB1A1AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，AB2D260，故其正弦值为.2.如图，已知平面，l.A，B是直线l上的

16、两点，C，D是平面内的两点，且DAl，CBl，AD3，AB6，CB6.P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角PBCD的余弦值的最小值是()A B C D1解析：选C，l，DAl，CBl，DA，CB，DA，CB，DAPCBP90.又PD，PC与平面所成角相等，DPACPB.RtDPARtCPB，PB2PA.ABBC，PBA是二面角PBCD的平面角设PAt，则PB2t，在PAB中， 由余弦定理得cosPBA，而t24，当t2时，cosPBA有最小值，故选C.3.(2019届高三杭州七校联考)如图，在RtABC中，BAC60，点F在斜边AB上，且AB4AF，点M在线段BC上运

17、动，D，E是平面ABC同一侧的两点，AD平面ABC，BE平面ABC，AD3，ACBE4.当点M运动到线段BC的中点时，异面直线CF与EM所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A取BF的中点N，连接MN，EN，因为M，N分别为BC，BF的中点，所以MNCF，且MNCF，所以EMN为异面直线CF与EM所成的角因为AC4，BAC60，ACB90，所以BC4，BM2，所以EM2.因为AC4，BAC60，ACB90，所以AB8，所以AFAB2，BFAB 6，所以BN3，所以EN5.在ACF中，由余弦定理得CF2，所以MN.在EMN中，由余弦定理可得cosEMN，所以异面直线CF与EM所成角的余

18、弦值为.4.在三棱锥P-ABC中，ABCPBC，ACBC，AB2BC.设PB与平面ABC所成的角为，PC与平面PAB所成的角为，则()A且sin B且sin C且D且解析：选B依题可设AB2BC2a，由题意，可得ABPB2a，ACCPa.过点C作CH平面PAB，连接HB，HP，如图，则PC与平面PAB所成的角CPH，且CHCBa，sin .由BCAC，BCCP，ACCPC，得BC平面PAC，可设二面角P-BC-A的大小为，即ACP，点P到平面ABC的距离为d，由VB-ACPVP-ABC，即BCSACPdSABC，即aaasin daa，解得dasin ，则sin ，所以.故选B.5在长方体AB

19、CD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1所成角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围为_解析：如图所示，过点A作AOBD，连接A1O，则BDA1O，则AOA1为二面角，所以AOA1，因为CC1AA1，取角A1AO的角平分线AM，此时AM即为直线l，过点A做APA1O，即AP平面A1BD，此时直线l与平面A1BD所成角的最大角是AMA1MAOMOA，另外一种情况是A1AN，ANOPN，此时直线AN为直线l，则直线AN与平面A1BD所成最小角为ANPPA1AA1AN，所以直线l与平面A1BD所成角的取值范围是.答案：6(2018温州模拟)如图，在四

20、面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是_对于任意的平面，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；存在一个平面0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；对于任意的平面，都有SEFGSEFH；对于任意的平面，当G，H在线段BC，AD上时，几何体ACEGFH的体积是一个定值解析：对，G，H分别为相应线段中点时，三线平行，故错对，三线相交时，交点会在BD上，作图可知错对，如图1，取BD，AC的中点I，J，则BC，AD都与平面EIFJ平行，故A，H到平面EIFJ的距离相等，B，G到平面EIFJ的距离相等，而E为AB的中点，故A，B到平面EIFJ的距离相等，从而G，H到平面EIFJ的距离相等连接GH交EF于K，则K为GH的中点，从而G，H到EF的距离相等，故两三角形的面积相等，正确图1图2对，如图2，当H为D时，G为C，此时几何体的体积为三棱锥ACDE的体积，为四面体体积的一半当如图2所示时，只需证VCEFGVDEFH，由可得，只需证C，D到截面的距离相等，因为F为CD的中点，所以C，D到截面的距离相等，故正确答案：