三角形的五心.docx

1、三角形的五心三角形的五心一 定理重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍上述交点叫做三角形的重心.外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点这点叫做三角形的外心.垂心定理 三角形的三条高交于一点这点叫做三角形的垂心.内心定理 三角形的三内角平分线交于一点这点叫做三角形的内心.旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心它们都是三角形的重要相关点上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的几何原本里，但

2、后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是几何原本作者的一个疏忽二 定理的证明1首先证明重心定理证法1 如图1，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G、得GB2GE，GC=2GF设AD、BE交于G，同理可证GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G、G重合即三条中线AD、BE、CF相交于一点G证法2 设BE、CF交于G（图2），BG、CG中点为H、I连所以 EFHI为平行四边形所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF即 AG=2GD定理证毕定理知AD、BE、CF共点后半部分同证法1（略）2证明外

3、心定理证明 如图3，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ABC外接圆的圆心因而称为外心3证明垂心定理在塞瓦定理一章，我们曾给出过它的一个证明，但垂心定理还有下面一个巧妙的证明证明 如图4，AD、BE、CF为ABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ABC，ewcAD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证4证明内心定理关于内心定理，我们也曾在塞瓦定理一章给出过一个证明，下面是它的另一个证明证明 如图5设A、C的平分线相交于I、过I作IDBC，IEAC，IFAB

4、，则有IE=IF=ID因此I也在C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点上述定理的证法完全适用于旁心定理，如图6，我们不再另行论证三 引伸与推广1重要性质及其相互间的联系三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角

5、形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心上述性质读者可自行证明，下面我们给出几个推广2重心定理的推广定理1 设D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的点，证明 如图7，直线CKF截ABD，由梅涅劳斯定理，有虽然当n=2时，有SGHK=0，G、H、K重合于重心.如果我们称n（3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：定理2 n边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）1的两条线段，这点叫n边形的重心证

6、明 当n=3时为重心定理，结论成立，假设n=k-1，（k4）时，命题成立，则当n=k时，在k边形A1A2Ak中，如图8，若S是k-2边形A1A2Ak-2的重心，则Ak-1S、AkS分别是k-1边形A1A2Ak-2Ak-1和A1A2Ak-2Ak的中线设Ok-1和Ok-1分别是k-1边形A1A2Ak-2Ak-1和A1A2Ak-2Ak的重心，则根据假设有连接AkOk-1、Ak-1Ok-1，则它们是k边形的两条中线，且交于一点，设交点为O，连接Ok-1Ok-1，则有Ok-1Ok-1Ak-1Ak，所以 OOk-1Ok-1OAk-1Ak因此，k边形A1A2Ak的相邻两条中线Ak-1Ok-1，AkOk-1交

7、于O点，且被O点内分为（k-1）1同理可证k边形A1A2Ak的任意相邻两条中线的交点内分每条中线为（k-1）1，由此推得，k边形的所有中线过一点，且被这点内分为（k-1）1综上所述，定理得证3外心定理的推广定理3 过ABC三边中点D、E、F分别作与三边倾斜角均为的斜线且顺序一致，三斜线相交得GHK，则SGHK=cos2SABC证明 如图9，首先我们证KGHABC，因为 KFA=KEA，因为 A、K、F、E四点共圆，所以 GKH=BAC同理可证 G=B，H=C，故KGHABC又由正弦定理，有同理，B、G、D、F共圆，有+得显然，当=90，即SKGH=0时正是外心定理对外心定理，还有下面的推广定理

8、4 在ABC中，三边分别为a、b、c，设三边的垂线交得GHK，则证明略4垂心定理的推广定理5 从ABC三顶点分别作对边的斜线，与对边的交角为，且顺序一致，三斜线相交成GHK则SGHK=4cos2SABC证明 如图10，过A、B、C分别作对边的平行线交得ABC，则A、B、C分别为ABC三边的中点，由定理3有SGHK=cos2SABC=4cos2SABC显然，=90时为垂心定理垂心定理还可理解为三角形一顶点与另两条高交点的连线垂直于对边，那么对五边形，我们有定理6 在一五边形中，若有四个顶点向对边所作的高交于一点，则第五个顶点与其交点的边线也垂直于对边证明 如图11，设在五边形ABCDE中，AFC

9、D、BGDE、CHAE，DIAB；且AF、BG、CH、DI交于O点，连接EO并延长交BC于K，连HG，则四边形AHFC、AIFD、BIGD、OHEG各内接于圆所以 OAOF=OHOC，OAOF=OIODOIOD=OBOG，1=2所以 OHOC=OBOG，故C、B、H、G内接于圆所以 2=3，则1=3所以四边形BEGK内接于圆而BGDE，故EKBC，命题得证此结论可推广到2n+1边形四定理的应用例1 设G为ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN和GAB的面积相等证明 如图12，连GC，则例2 三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍证明 如图13，O为A

10、BC的外心，H为垂心，连CO交ABC外接圆于D，连DA、DB，则DAAC，BDBC，又AHBC，BHAC又 DB=2OM，所以AH=2OM同理可证 BH=2ON，CH=2OK证毕例3 AD是ABC的一条高；以AB、AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连BG、EC，求证：AD、BG、CE相交于一点证明 如图14，延长DA至K，使AK=BC，连FK、KH；则KAHBCA，KAFCBA，连KC、KB，则可得KACBCG，KABCBE于是 ACK=CGB，KBA=BEC，且它们分别为KCG及KBE的余角所以 BGKC，CEKB，从而AD、BG、CE为KBC的三条高线，故它们相交于一点例4 在ABC

11、中，AB=AC，圆O内切ABC的外接圆于D，且与边AB、AC分别相切于P、Q，证明：线段PQ的中点是ABC的内心证明 如图15，连接AD、PD、QD，易知AD平分PDQ及A，因为 PQBC，所以 APQ=ABC 又 AB切O于P，则APQ=PDQ=2PDM 再连BD、BM，由于PBD=PMD=90，故P、B、D、M四点共圆所以PBM=PDM 由、可得：PBM=MBC即BM是ABC的平分线，而AM是A的平分线，所以交点M是ABC的内心这是第20届国际数学奥林匹克竞赛试题，其实当ABAC时，结论也成立，这个问题留给有兴趣的读者进一步探究练习与思考1证明本章“引伸与推广部分命题（1）（8）2G为ABC的重心，A=90，求证：GB2+GC2=5GA23ABC的外心和垂心分别为O、H，A=60，求证：AO=AH4ABC中，BC=14cm，BC边上的高AD=12cm，内接圆半径r=4cm，求AB、AC之长