1、新教材学年11集合的概念 112集合的表示 教案第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.1.2 集合的表示目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法);2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合重点 集合的两种表示方法及其运用难点 对描述法表示集合的理解知识点一列举法填一填把集合的所有元素 出来,并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;书写时不需要考虑元素的顺序答一答1实数集也可以写成实数,那么能写成实数集或全体实数吗?提示:不能,因为花括号“”表示“所有、全部”的意思2列举法能表示元素个数很少的有限集,
2、那么可以用列举法表示无限集吗?提示:对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示,如正自然数集可以用列举法表示为1,2,3,4,5,3集合(1,2)与(2,1)是否为相等集合?提示:不是知识点二描述法填一填1一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征 P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x),这种表示集合的方法称为描述法2具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.答一答3集合x|x3与集合t|t3表示同一个集合吗?提示:是同一个集合虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均
3、表示大于3的所有实数,故表示同一个集合类型一用列举法表示集合例1(1)若集合A(1,2),(3,4),则集合A中元素的个数是( B )A1 B2C3 D4(2)用列举法表示下列集合不大于10的非负偶数组成的集合;方程x2x的所有实数解组成的集合;直线y2x1与y轴的交点所组成的集合;方程组的解解析(1)集合A(1,2),(3,4)中有两个元素(1,2)和(3,4)(2)解:因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是0,2,4,6,8,10方程x2x的解是x0或x1,所以方程的解组成的集合为0,1将x0代入y2x1,得y1,即交点是(0,1),故两直
4、线的交点组成的集合是(0,1)解方程组得用列举法表示方程组的解集为(0,1)用列举法表示集合应注意的三点:(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;(3)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.变式训练1用列举法表示下列集合:(1)15的正约数组成的集合;(2)所有正整数组成的集合;(3)直线yx与y2x1的交点组成的集合解:(1)1,3,5,15(2)正整数有1,2,3,所求集合用列举法表示为1,2,3,(3)方程组的解是所求集合用列举法表示为(1,1)类型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)
5、不等式2x-73的解集A;(2)二次函数yx21的函数值组成的集合B;(3)被3除余2的正整数的集合C;(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D.分析先确定集合元素的符号,再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面解(1)解2x73得x5,所以Ax|x3(4)先统一形式,找出规律,集合表示为.类型三两种方法的灵活应用例3用适当的方法表示下列集合:(1)方程组的解组成的集合;(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线yx2上的所有点组成的集合分析(1)中的元素个数很少,用列举法表示;(2)是有限集,但个数较多,用描述法;(3)(4)是无限
6、集,用描述法表示解(1)解方程组得故该集合用列举法可表示为(4,2)(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为x|x3k2,kN,且k332(3)集合用描述法表示为x|x是正方形或正方形(4)集合用描述法表示为(x,y)|yx2当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为1,3,5,7,9,.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)变式训练3用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的
7、所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合解:(1)用描述法表示为x|2x5,且xQ(2)用列举法表示为1,2,3,4,6,8,12,24(3)在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为(x,y)|y|x|1集合xN|x5的另一种表示方法是(A)A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5解析:xN,且x5,x的值为0,1,2,3,4,用列举法表示为0,1,2,3,42.方程组的解集是(C)Ax1,y1 B1C(1,1) D(x,y)|(1,1)解析:方程组的解集中元素
8、应是有序数对形式,排除A,B,而D中的条件是点(1,1),不含x,y,排除D.3.集合x|x,a36,xN,用列举法表示为0,1,2,3,4,5.解析:由a36,可得6,即x6,又xN,故x只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为x|x2n,nN解析:正整数中所有的偶数均能被2整除5.用适当的方法表示下列集合:(1)已知集合Px|x2n,0n2,且nN;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)x24的一次因式组成的集合;(4)由方程组的解所组成的集合解:(1)用列举法表示为P0,2,4(2)可用列举法表示为6,9,12;也可用描述法表示为x
9、|x3n,4x0,且1A,则实数a的取值范围是_a2_.解析因为1A,则应有21a0,所以a2.三、解答题10用列举法表示下列集合:(1);(2)(x,y)|y3x,xN且1x5解析(1)因为Z,所以|2x|是6的因数,则|2x|1,2,3,6,即x1,3,4,0,1,5,4,8.所以原集合可用列举法表示为4,1,0,1,3,4,5,8(2)因为xN且1x5,所以x1,2,3,4,其对应的y的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)11用描述法表示下列集合(1)2,4,6,8,10,12;(2),;(3)被5除余1的正整数集合;(4)
10、平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合;(5)方程组的解组成的集合解析(1)x|x2n,nN*,n6(2)x|x,nN*,n5(3)x|x5n1,nN(4)(x,y)|xy0(5)或.B组素养提升一、选择题1方程组的解集是(C)Ax1,y1 B1C(1,1) D(x,y)|(1,1)解析方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D的集合表示方法有误,排除D2用列举法可将集合(x,y)|x1,2,y1,2表示为(D)A1,2B(1,2)C(1,1),(2,2)D(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)解析x1,y1;x1,y2;x2,y1;x2,y2.集合(x,y)|x1,2,y
11、1,2表示为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),故选D3(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(BD)Ax|x2k1,kNBx|x2k1,kN,k2Cx|x2k3,kNDx|x2k5,kN解析选项A,C中,集合内的最小奇数不大于4.4(多选题)下列各组中M,P表示不同集合的是(ABD)AM3,1,P(3,1)BM(3,1),P(1,3)CMy|yx21,xR,Px|xt21,tRDMy|yx21,xR,P(x,y)|yx21,xR解析选项A中,M是由3,1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故MP;选项
12、D中,M是二次函数yx21,xR的所有因变量组成的集合,而集合P是二次函数yx21,xR图象上所有点组成的集合故选ABD二、填空题5若集合Ax|ax22x10,aR中只有一个元素,则实数a的值是_0或1_.解析集合A中只有一个元素,有两种情况:当a0时,由0,解得a1,此时A1,满足题意;当a0时,x,此时A,满足题意故集合A中只有一个元素时,a的值是0或1.6用列举法写出集合_3,1,1,3_.解析Z,xZ,3x为3的因数3x1,或3x3.3,或1.3,1,1,3满足题意7设A,B为两个实数集,定义集合ABx|xx1x2,x1A,x2B,若A1,2,3,B2,3,则集合AB中元素的个数为_4
13、_.解析当x11时,x1x2123或x1x2134;当x12时,x1x2224或x1x2235;当x13时,x1x2325或x1x2336.AB3,4,5,6,共4个元素三、解答题8集合Ax|kx28x160,若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A解析(1)当k0时,原方程为168x0,所以x2,此时A2(2)当k0时,因为集合A中只有一个元素,所以方程kx28x160有两个相等的实根则6464k0,即k1.从而x1x24,所以集合A4,综上所述,实数k的值为0或1.当k0时,A2;当k1时,A49已知集合Ax|ax23x20(1)若A中只有一个元素,求集合A;(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围解析(1)因为集合A是方程ax23x20的解集,则当a0时,A,符合题意;当a0时,方程ax23x20应有两个相等的实数根,则98a0,解得a,此时A,符合题意综上所述,当a0时,A,当a时,A(2)由(1)可知,当a0时,A符合题意;当a0时,要使方程ax23x20有实数根,则98a0,解得a且a0.综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a.
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