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1、图像处理1.3 图像压缩编码的必要性和可能性图像压缩编码的目的是以尽量少的比特数表征图像，同时保持复原图像的质量，使它符合预定应用场合的要求。压缩数据量、提高有效性是图像压缩编码的首要目的。图像编码是一种信源编码，其信源是各种类型的图像信息。研究表明，在人类所接受到的全部信息中，有70%以上是通过视觉得到的。和其他信息相比，图像包含的信息量更大、更直观、更确切，因此具有很高的使用效率和更广泛的适应性。因此在多媒体通信中，数字图像通信占有很重要的地位。但是由于数字图像的数据量非常巨大，若不经压缩，数字图像传输所需的高传输速率和数字图像存贮所需的巨大容量阻碍了图像通信的发展。所以有必要对图像进行压

2、缩编码。图像数据可以进行压缩有以下几方面的原因。首先，原始图像数据是高度相关的，存在很大的冗余度。如图像内相邻象素之间的空间冗余度。序列图像前后帧之间的时间冗余度。多光谱遥感图像各谱间的频率域冗余度。数据冗余造成比特数浪费，消除这些冗余就可以节约码字，也就达到了数据压缩的目的。其次，基用相同码长表示不同出现概率的符号也会造成符号冗余度。如果采用可变长编码技术，对出现概率高的符号用短码字、对出现概率低的符号用长码字表示，就可消除符号冗余度，从而节约码字。允许图像编码有一定的失真也是图像可以压缩的一个重要原因。在许多应用场合，并不要求压缩及复原以后的图像和原图像完全相同，可以允许有少量失真。只要这

3、些失真并不被人眼所察觉，这就给压缩比的提高提供了十分有利的条件。图像质量允许的损失愈多，可以实现的压缩比就愈大。这种有失真的编码称为限失真编码，在多数应用中，人眼往往是图像信息的最终接收者（信宿）。如果能充分利用人眼的视觉特性，就可以在保证所要求的图像主观质量的前提下实现较高的压缩比。这就是利用了视觉冗余度。其实人类的视觉系统（HVS）是有缺陷的。其对某些失真不敏感，难以觉察。1.4 图像压缩编码的方法1.4.1 图像压缩编码方法的简介图像压缩算法就是要在保证图像一定的重建质量的同时，通过去除冗余数据可以节约文件所占的码字从而极大地降低原始图像数据量，解决图像数据量巨大的问题，以达到对图像压缩

4、的目的。图像数据压缩技术就是研究如何利用图像数据的冗余性来减少图像数据量的方法。因此，进行图像压缩研究的起点是研究图像数据的冗余性。图像压缩方法主要分成两种类型：一种是基于空间线性预测技术，即差分脉冲编码调制的无失真压缩算法，另一种是基于DCT的有失真压缩算法，并进一步应用熵编码。a. 无失真预测编码压缩算法无失真预测编码压缩算法能准确无误地恢复原信息，它只是去掉了信源的冗余部分，却不能提供较高的压缩比。b. 基于DCT的有失真压缩编码算法基于DCT的有失真压缩编码算法包括基本系统和增强系统两种不同层次的系统。并定义了顺序工作方式和累进工作方式。基本系统只采用顺序工作方式，熵编码时只能采用Hu

5、ffman编码，且只能存储两套码表。增强系统是基本系统的扩充，可采用累进工作方式，熵编码时可选用Huffman码或算术编码。有失真压缩能提供较高的压缩比，但由于损失了信源的熵，压缩后的数据是无法准确无误地恢复，而是利用人的视觉特性使解压缩后的图像看起来与原始图像一样。主要方法有预测编码、变换编码、模型编码、基于重要性的编码以及混合编码方法等。压缩比随着编码方法的不同差别较大。二维图像块经过各种正交变换后比较它们的优越性： DCT、DST、KL斜坡变换哈达码变换、哈尔变换（随图像块尺寸增大而饱和）。虽然DCT变换在处理过程中需要用乘法电路，但由于LSI技术发展已使乘法器较为容易实现，所以DCT是

6、正交变换编码的主要方式。基于DCT编码的过程为先进行DCT正变换，再对DCT系数进行量化，并对量化后的直流系数和交流系数分别进行差分编码或行程编码，最后再进行熵编码。2 离散余弦变换DCT2.1 DCT的基本原理DCT变换在图像压缩中有很多应用，它是JPEG，MPEG 等数据压缩标准的重要数学基础。在压缩算法中，先将输入图像划分为88 或1616,的图像块，对每个图像块作DCT变换；然后舍弃高频的系数，并对余下的系数进行量化以进一步减少数据量；最后使用无失真编码来完成压缩任务。解压缩时首先对每个图像块做DCT反变换，然后将图像拼接成一副完整的图像。2.2 DCT的定义DCT变换利用傅立叶变换的

7、性质，采用图像边界褶翻将图像变换为偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变换。二维离散余弦变换DCT(Discrete Cosine Transform)的定义为,假设矩阵A的大小为MN。 公式(2-1) 其中，称为矩阵A的DCT系数。在MATLAB中，矩阵的下标从1开始而不是从0开始的，所以MATLAB中的矩阵元素A(1,1)和B(1,1)分别对应于上面定义中的值A00和B00，依此类推。DCT是一种可逆变换，离散反余弦变换定义如下： 公式(2-2)上式的含义是任何MN的矩阵A都可以表示为一系列具有下面形式的函数的和： 这些函数称为DCT变换的基函数

8、。这样，就可以看成是应用于每个基函数的加权。2.3 DCT的算法离散余弦变换可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便。所以需要寻求一种快速算法。以一维离散余弦变换为列，对快速算法进行推导。首先，从定义出发,作如下推导:= = = （Re是取实部的意思） 公式(2-3)对时域数据向量做如下列延拓：当x=0,1,2,N-1时 =当x=N,N+1,2N-1时 =0 则Fe(x)的离散余弦变换可写成下列：= 公式(2-4)= = = 公式(2-5)由上式可见：是2N点的离散傅立叶变换。所以在做离散余弦变换时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅立叶变换，产生的结果取其实部即

9、可得到余弦变换。同理对于离散余弦反变换IDCT，可首先在变换空间将F(u)作如下延拓:当u=0,1,2,3,N-1时 =当u=N,N+1,N+2,2N-1时 =0 那么，反变换可表示： = = = = 公式(2-6)由上式可见，IDCT可以由 的2N点的IDFT的快速算法实现。在计算二维的DCT变换时，可使用下面的计算公式把二维的DCT变换变成一维的DCT变换： 公式(2-7) 公式(2-8)3 DCT图像压缩3.1 DCT图像压缩的原理图像数据压缩的目的是在满足一定图像质量的条件下，用尽可能少的比特数来表示原始图像，以提高图像传输的效率和减少图像存储的容量，在信息论中称为信源编码。图像压缩是

10、通过删除图像数据中冗余的或者不必要的部分来减小图像数据量的技术，压缩过程就是编码过程，解压缩过程就是解码过程。假设有一个无记忆的信源,它产生的消息为,其出现的概率是已知的,记为。则其信息量定义为: 公式（3-1）由此可见一个消息出现的可能性越小，其信息量就越多，其出现对信息的贡献量越大，反之亦然。信源的平均信息量称为“熵”（entropy），可以表示为： 公式(3-2)对上式取以2为底的对数时，单位为比特（bits）： 公式(3-3)在图像压缩中，压缩比是一个重要的衡量指标。可以定义压缩比为：C=原始数据的平均比特率（B）/压缩数据的平均比特率（H） 公式(3-4) DCT变换后系数的量化是引

11、起失真的主要原因,压缩效果与图像内容本身有较大的关系。图像编码包括两个阶段，前一个阶段就是利用预测模型或正交模型对图像信号进行变换；后一个阶段是利用已变换信号的统计特性，对其分配适当的代码来进行编码传输。在发送端，输入的原始图像首先经过DCT变换后，其低频分量都集中在左上角，高频分量分布在右下角（DCT变换实际上是空间域的低通滤波器）。由于该低频分量包含了图像的主要信息，而高频分量与之相比就不那么重要了，所以可以忽略高频分量，从而达到压缩的目的。将高频分量去掉就要用到量化，这是产生信息损失的根源。“量化”的主要任务是用有限个离散电平来近似表达已抽取出的信息。在此采用均匀量化，通过改变程序中的量

12、化因子Q的值以得到不同压缩比的图像。Huffman编码时，首先对经DCT变换及量化后的图像收据扫描一遍，计算出各种象素出现的概率；然后按概率的大小指定不同长度的唯一码字，由此得到一张Huffman表。编码后的图像记录的是每个象素的码字，而码字与量化后象素值的对应关系记录在码表中。生成的一维字符矩阵即为实际中要传输的序列，压缩后的图像数据在信道中进行传输。 在接收端，接收到的压缩图像数据首先经过Huffman译码，通过搜索已生成的Huffman表，根据码字与量化后象素值的对应关系，搜索出与码字对应的象素值，并转换为二维矩阵。反量化时将以上二维矩阵中的每一个象素值乘以量化因子Q。最后通过DCT反变

13、换得到重建图像。3.2 DCT图像压缩的模型图3-1 DCT图像压缩的模型在编码过程中,将图像分解为88的象素块,对这个88块进行二维离散余弦变换,每个块就产生了64个DCT系数,其中一个DC系数位于左上角，是直流(DC)系数,它表示了88 输入矩阵全部值的平均数,其余63个系数为交流(AC)系数。接下来对DCT系数进行量化, 相邻的88块之间的DC系数有较强的相关性。63个AC系数在88矩阵中按照Z字形的次序进行，这样可增加零的连续次数，系数编码后都采用统一的格式表示。最后将量化的DCT系数进行编码和传送,就形成了压缩后的图像格式。在解码过程中,先对已编码的量化的系数进行解码,然后求逆量化并

14、利用二维DCT反变换把DCT系数转化为88样本像块,最后将反变换后的块组合成一幅图像。这样就完成了图像的压缩和解压过程。3.3 DCT图像压缩的方法DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。DCT是经典谱分析常采用的工具，考察整个时域过程的频域特征或整个频域过程的时域特征，特别适合静止图像的压缩。图像数据中存在大量的冗余信息

15、，若去掉这些冗余信息，则使数字化的图像数据量大大减少。这是通过 DCT 变换来实现的，通过离散余弦的数字运算，将空间域的图像编码信号变换到频率域。由于绝大部分在空间和时间上变化的复杂信号，能量主要集中在频率较低的频谱分量中，而对视觉不太敏感的高频分量携带的能量较低，一般可删去或压缩，所以在频域上的编码数据总是相对简单。经过大量图像信号在频域的统计分析发现，图像数据经DCT变换后，频谱系数主要成分集中在此较小的范围，且主要位于低频部分。矩阵左上角数值较大，它代表图像信息的低频分量，是图像信息的主体,即图像高度变化的主体部分；矩阵右下角部分数值小，它表示图像信息的高频分量，幅值较小,它主要反映图像

16、的细节部分。所以,对大多数自然图像DCT 能将最多的信息放到最少的系数上去。因此,DCT变换并不对数据压缩，它只是为压缩过程的“量化”阶段做准备。输入图像被分成88或1616的小块，然后对每一小块进行二维DCT变换，变换后的系数量化、编码并传输；解码量化了的DCT系数，对每一块计算二维逆DCT变换，最后把结果块拼接成一个完整的图像。在DCT变换后舍弃那些不严重影响图像重构的接近0的系数。DCT变换的特点是变换后图像大部分能量集中在左上角，因为左上放映原图像低频部分数据，右下反映原图像高频部分数据。而图像的能量通常集中在低频部分。图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性已经很小，而且大部分能

17、量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为88或1616的块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者通过对量化的DCT系数进行解码，并对每个图像块进行的二维DCT反变换，最后将操作完成后所有的块拼接起来构成一幅单一的图像。对于一般的图像而言，大多数DCT系数值都接近于0，可以去掉这些系数而不会对重建图像的质量产生重大影响。因此，利用DCT进行图像压缩确实可以

18、节约大量的存储空间。由输入的象素值矩阵及输出的DCT矩阵可已经看出DCT所建立的频谱压缩特性。“直流系数”位于矩阵左上角的位置，这个表示的是输入矩阵的所有幅度的一个平均，它代表了X和Y坐标轴上的DC分量，而且直流系数要比DCT矩阵中任意值都打至少一个数量级。另外，在DCT矩阵中有一个通常的趋势，随着元素离直流系数越来越远，这些元素的幅度上也变的越来越小。这意味着，通过在输入数据中执行DCT，我们已经将图像的表达集中在输出矩阵的左上角的系数上，而DCT矩阵的右下角部分所包含的是没有用的信息，也很有利于数据的压缩。压缩过程的关键是DCT的数学变换，要求输入数据是一个88的矩阵，且每个矩阵元素具有8

19、bit精度，分为从128到127，故DCT变换前，象素值要先减去128。所谓88的二维DCT是指将88的象素值矩阵变换成88系数矩阵。88象素值矩阵是由输入图像分块得到的，若图像的高或宽不是8的整数倍，必须扩展其下边或右边到8的整数倍。下面一式给出了二维DCT的实用公式，二式是反离散余弦变化（IDCT）公式。式中表示的是88个象素值的矩阵进行计算，产生出88频率系数的矩阵。 公式(3-5) 公式(3-6)其中： 象素值;-128127测验DCT算法时所表现出的首要问题是计算DCT中每个元素所需要的时间，它紧紧地依赖于矩阵的大小。由于使用双层嵌套循环，所以计算量为：随着N的增长，处理DCT输出数

20、组中每个元素所要的时间也将增长。DCT的实现将图像分成更小、更有利于处理的块，JPEG小组选用88的块大小进行DCT计算。虽然DCT大小的增加可能得到更好的压缩，但是，达到减弱返回点的时间也不会很长。研究表明，象素之间的练习很快趋于减弱，因此，原点15或20个象素位以外的象素对于预言器来说用处不大，这意味着6464的DCT块比分成四个1616块不会有更好的压缩。并且，越是不重要，花费的计算时间反而越多。虽然，使用1616的块作为DCT计算的基础的确是一个好的选择，但是我们选择的是88的块。这主要是为了允许那些使用今天技术所建立起的使用实现。这类压缩称作“块压缩”。在MATLAB 仿真实现中,

21、主要是采用二维DCT变换的矩阵式定义来实现的,矩阵式定义可以表示为: 公式(3-7) 公式(3-8)其中是空间数据阵列,是变换系数阵列,是变换矩阵,是的转置。在实验中，先将输入的原始图像分为88的块，然后再对每个块进行二维DCT变换。MATLAB图像处理工具箱中提供的二维DCT变换及DCT反变换函数如下。a. dct2dct2实现图像的二维离散余弦变换，其语法格式为：（1） （1）B=dct2(A)返回图像A的二维离散余弦变换值，其大小与A相同，且各元素为离散余弦变换的系数B(k1,k2)。（2） （2）B=dct2(A,m,n)或B=dct2(A,m,n)如果m和n比图像A大，在对图像进行二

22、维离散余弦变换之前，先将图像A补零至mn。如果m和n比图像A小，则进行变换之前，将图像A剪切。b.idct2idct2可以实现图像的二维离散余弦反变换，其语法格式为：B=idct2(A)；B=idct2(A,m,n)或B=idct2(A,m,n)3.4 DCT系数的量化为了达到压缩数据的目的，DCT系数需作量化，量化表需针对性地设计。例如，利用人眼的视觉特性，对在图像中占有较大能量的低频成分，赋予较小的量化间隔和较少的比特表示，以获得较高的压缩比。是DCT变换是一个无损压缩变换，它实际上并不实现压缩，是“有损”的准备，即为“量化”处理阶段做准备。DCT输出矩阵比原始象素矩阵占有更多的存贮空间，

23、DCT函数的输入包括8位象素值，但输出值的范围从1024到1023，占用11位，因此，为使DCT矩阵占用较少空间，减少DCT矩阵存贮位数的行为称为“量化”（Quantization）。量化只不过是通过减少整数单精度来减少存贮整数值所需要的位数第一个过程。一旦DCT图像压缩，我们可以随着远离原点处的直流系数越来越多地减少系数的精度：离（0，0）点越远，这个元素对于图形图像的贡献就越小，所有我们就越不用去维持这个值的精确精度。DCT系数量化是一个十分重要的过程,是造成DCT编解码信息损失(或失真) 的根源。量化过程即经过DCT变换图像的每个系数根据量化表除以各自对应的量化步长,得到量化系数。在压缩

24、算法中采用均匀量化器,量化定义可以表述为:对64个DCT系数除以其量化步长,四舍五入取整,即 公式(3-9)式中为量化的系数幅度,为量化步长,它是量化表的元素,通常随DCT系数的位置不同而取不同的值,量化表的尺寸为88与64个DCT系数(一般将图像分解为88图像字块进行处理)一一对应。量化的作用是在一定的主观保真度图像质量的前提下,丢掉那些对视觉影响不大的信息,以获得较高的压缩比. 由于DCT 系数包含了空间频率信息,可充分利用人眼对不同频率敏感程度不同这一特性来选择量化表中的元素值的大小。对视觉重要的系数采用细量化(量化步长较小) ,如低频系数被细量化,对高频系数采用粗量化(量化步长较大)。

25、对于上述这一点,从MATLAB 仿真得到的DCT 变换谱中得到证明。在整个MATLAB 仿真实现中,由于处理的对象是黑白图像,所以只设置了亮度量化表。数组是JPEG建议的亮度量化数组，对这个数组进行尺度变换以得到不同的压缩率。在本次实验中，为了提高图像的压缩质量，我采用量化矩阵是全1矩阵。表3-1 亮度量化表1611101624405161121214192658605514131624405769561417222951878062182237566810910377243555648110411392496478871031211201017292959811210010399对于通常的图

26、像来说,88 矩阵中大多数量化后的DCT 系数(分数值) 都被截取为零值。因此矩阵中的DCT 值为零,并有一些非零的DCT 值。如果舍弃这些为零的DCT 系数值,在重构图像时并不会带来画面质量的显著下降。所以,利用DCT 进行图像压缩可以节约大量的存储空间。压缩应该在最合理的近似原图像的情况下使用最少的系数,使用系数的多少也决定了压缩比的大小。系数量化的作用是在一定的主观保真图像质量的前提下，丢掉那些对视觉影响不大的信息，以获得较高的压缩比。然而，量化也是致使图像质量下降的最主要原因。这里使用量化矩阵来实现量化。量化公式如下：量化值=/量化矩阵 公式(3-10)在DCT变换时使用量化矩阵很容易

27、对图像的压缩质量进行控制，用户可根据具体的硬件存储容量和所需要的图像质量，选择合适的量化值。对于DCT矩阵中的每个元素位置，两个矩阵中的相应位置给出了一个量子值（Quantum Value），量子值指出图像压缩时元素的步长大小是多少，其范围是从1到255。与图像关系最密切的元素用小步长编码，大小为1表示最高精度。随着我们从原点移开，值将变得较高。大于25或50的量化值可以保证高频分量实际上将近似到0，只有高频系数达到不寻常大时，才会编码成非0。译码时，逆量化公式为：DCT 量化后的值量子 公式(3-11)显然有许多方法可以用来定义两个矩阵中的值，至少有两个试验途径可以测试不同的量化方案。一个是

28、在图像还原以后，测量输入输出图像之间的数学误差;第二个途径试图用人眼来判断还原的结果，它与误差方面的数学差别不可能总是绝对一致。要确定量子步长大小的值，用户输入一个单个的“质量因子”（quality factor），它的范围为1到25。大于25的值是可以工作的，但是值为25时，图像质量已经退化得很厉害，所以任何进一步的实验都是无意义的。质量等级设置了彼此相邻的相同量化水平带的不同，这些量化水平带是面向横贯矩阵的对角线。所以，一个值的量化水平都与原点有大约相同的距离。由配置的结果看，位置（7，7）处的DCT系数值为16，编码成非零值，在元素值为图像提供任何有意义的信息之前，它为该元素值设定了界限

29、，任何此界限以下的贡献都被扔掉。这就是算法中发生“有损”效果的地方。DCT的第一个步骤中除了数学精度损失外没有任何损失，并且量化之后的步骤也是无所的编码过程，所以我们有机会丢掉数据的唯一地方就在这儿。由将DCT矩阵量化后的量化结果来看，量化/逆量化周期有明显的压缩效果，矩阵的高频部分已大部分截成0，消除了在被还原图像中的影响，矩阵中接近直流系数的系数可能被修改，但与原系数相比修改不大。下图即为量化前和逆量化后的DCT矩阵的结果。3.5 Zig-Zag 扫描为了保证低频分量先出现，高频分量后出现,以增加行程中连续”0”的个数，这63个元素采用了”Z”形(ZigZag)的排列方法，可使大多出现在右

30、下角的“0”值能够连续起来。然后再对直流(DC)系数进行差分编码DPCM，交流(AC)系数采用行程编码。在量化过程中，DCT图像的大量系数截断成了0值。使用霍夫曼压缩0值，将系数序列重新排序成ZigZag序列。首先选择最大的元素值，并向可能是最小的值方向走。在将每个DCT结果送到压缩器的代码中，并没有直接查寻每个结果，而是通过查寻ZigZag结构来确定要使用的下一个行与列，之后再对通过ZigZag结构中得到的行和列所确定的元素进行编码。图3-2 Zig-Zag 扫描次序4 仿真及分析4.1 DCT图像压缩根据上面所述的压缩编码算法，要将一幅灰度图像进行压缩编码，首先把图像分成88的象素块，分块

31、进行DCT变换后，根据量化表对变换系数进行量化后，再对直流系数（DC）、交流系数（AC）进行Zig-Zag 扫描和Huffman 编码，输出压缩图像的比特序列，实现了图像压缩。在接收端，刚进行反变换得到重建图像。对一幅图像进行DCT压缩编解码的MATLAB 程序流程图如下所示。图4-1 MATLAB程序流程图5 小结本文首先介绍了图像压缩编码算法，接着使用MATLAB6.5编程实现图像压缩算法，并对实验数据进行分析。实验结果表明，DCT压缩算法实现简单，在很大的压缩范围内，都能得到很好的重建图像质量。用MATLAB做仿真实验，方法简单而且误差小，大大地提高了图像的效率和精度。DCT变换是最小均方误差准则下得出的次最佳正交变换，并且有快速得法，因此它在硬件中也很容易实现，正是同于具有这些优点，DCT图像压缩编码算法在图像压缩领域得到了越来越广泛的应用。在整个运用MATLAB 影像处理工具箱中的相关函数和命令来实现基于DCT 的图像压缩编码理论算法的仿真这程中，清晰了D