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1、整理数学奥林匹克初中训练题10数学奥林匹克初中训练题10姓名 第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.给出如下4个命题:若m、n为已知数,单项式2x5yn-2与(m+5)x|m-n+4|y的和为单项式,则m+n的值为-3或7.若M、N都是只含有一个字母x的多项式,M、N的次数分别为6次、3次,则M-N2是次数不超过6的多项式.若m为自然数,则关于x的方程(-x)m+1(-x)2m-2(-x)3m+1=xx+1x6m-1的解是x=-1,0,1.已知AM、DN分别是ABC、DEF的高,AB=DE,AC=DF,AM=DN.若BAC=40,ABC=35,则DFE=105.其中,错误命题的个数是(

2、)个.(A)0 (B)1或2 (C)3 (D)42.如图,ABCD是边长为1的正方形,对角线AC所在的直线上有两点M、N,使MBN=135.则MN的最小值是( ). (A)1+ (B)2+ (C)3+ (D)2 3.已知实数a、b、c满足.则代数式ab+ac的值是( ).(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)24.如图,在ABC中,BAC=60,BC=18,D是AB上一点,AC=BD,E是CD的中点.则AE的长是( ). (A)12 (B)9 (C)9 (D)以上都不对5.已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3,则a-1+b-1+c-1+d-

3、1的值为( ).(A)1 (B)0 (C)-1 (D)16.已知在平面直角坐标系xOy中,直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B,P是线段AB上一点,PMx轴于点M,PNy轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为( ).(A)3 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题(每小题7分,共28分)1.如图,AD是ABC的角平分线,C=2B,AB=a2-4b+4,AC=8c-27-2b2,CD=9+4a-c2.则BC= . 2.已知实数a、b、c满足a-b+c=7,ab+bc+b+c2+16=0.则(a-1-b-1)abc(a+b+c)a+b+c的值为 .3.如图,四边形A

4、BCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F、G分别是AB、OC、OD的中点,OA=AD,OB=BC,CD= AB.则FEG的度数是 . 4.如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图,点A、B在x轴上,E(2,6),F(3,4).折线OFE是流过这片沙漠的水渠,水渠东边的沙漠由甲承包绿化,水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直,并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB上找一点P,使得水渠取直为EP,则点P的坐标为 .第二试一、(20分)现有三个圆柱型的容器M、N、P,其轴截面如图(a)、(b)、(c)所示,内底面积分别为S1cm2、S

5、2cm2、S3cm2,内高分别为h1cm、h2cm、h3cm,容积分别为V1cm3、V2cm3、V3cm3(V1V2V3).这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器(将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP),其容积为M、N、P的容积之和.现向这6个容器均匀注水,注水速度相同,直至注满为止.其中有三个容器的水深h(cm)与注水时间t(s)的变化规律如图7、8、9所示. (1)图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?(2)求h1、h2、h3的值及S1S2S3的比值;(3)若V3=cm3,注水速度为cm3s,其中m、n为常数,求M、P、N这

6、三个容器的容积之和.二、(25分)如图10,两条平行线l1、l2之间的距离为6,l1、l2间有一半径为1的定圆O切直线l2于点A,P是直线l1上一动点.过P作O的两条切线PB、PC,切点分别为B、C,分别交直线l2于点M、N.试问AMAN是一个定值吗?若是,求出该定值;若不是,说明理由.三、(25分)已知k为常数,关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值.数学奥林匹克初中训练题10参考答案第一试 一、1.D.(1)当m=-5,n2时,单项式2x5yn-2与0的和2x5yn-2还是单项式.此时,m+n可为大于-3的所有整数,故命题错.(2)当M=x6+

7、1,N=x3+1时,M-N2=-2x3.而-2x3是三次单项式,故命题错.(3)当m=0时,x=0使得(-x)2m-2和x6m-1无意义,此时,x=0不是原方程的解,故命题错.(4)当DN在DEF的内部时(如图11).易证RtAMCRtDNF.所以,DFE=ACM=BAC+ABC=75.故命题错.2.B.设AM=x.易证ABMCNB.所以,AB/CN=AM/CB,即1/CN=x/1,亦即CN=1/x.故MN=AM+AC+CN=3.A.题设等式化为4(ab+1)(ac+1)+(ab-ac)2=0,即 (ab+ac)2+4(ab+ac)+4=0,亦即(ab+ac)+22=0.故ab+ac=-2.4

8、.B.如图,延长AC至点F,使CF=AD.联结BF,过点C作CGAB交BF于点G,联结DG、AG.因为AC=DB,CF=AD,所以,AC+CF=DB+AD,即AF=AB又BAC=60,所以,ABF为等边三角形.故AF=BF,F=60.因为CGAB,所以,CFG为等边三角形.故CF=FG=CG.易知AGFBCF,有AG=BC=18.又CG平行且相等 AD,故四边形ACGD是平行四边形.因此,CD与AG互相平分,即E为AG的中点.故AE= AG= 18=9.5.D.设x=1/a+1/b+1/c+1/d,2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3=k3.显然,a、b、c、d、k同

9、号且不为零,则由已知的第二个等式得于是,有=x.所以,x=0,x=-1,x=1.因a、b、c、d同号,则x0.故x=a-1+b-1+c-1+d-1=1.6.C.设点P的坐标为(x0,y0),矩形OMPN的面积为S.则x00,y00,S=x0y0.因为点P(x0,y0)在y=2kx+3-4k上,所以,y0=2kx0+3-4k.故S=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.因此,S最大=,即16k2-(24-8S最大)k+9=0.因为k为实数,则有=-(24-8S最大)2-41690.故|24-8S最大|24.解得S最大6或S最大0(舍去).当S最大=6时,k=-3/4.二、1.

10、7/3.延长AC至点E,使CE=CD,联结DE.则有E=CDE=ACD=B.因为AD是BAC的平分线,则BAD=EAD,AB/BD=AC/CD.所以,ABDAED.故AB=AE=AC+CE=AC+CD.因为AB=a2-4b+4,AC=8c-27-2b2,CD=9+4a-c2,则a2-4b+4=(8c-27-2b2)+(9+4a-c2),即 (a-2)2+2(b-1)2+(c-4)2=0.所以,a=2,b=1,c=4.从而,AB=4,AC=3,CD=1.易知BD=4/3,因此,BC=BD+CD=7/3.2.-1.由式得(-b)+(a+c+1)=8.由式得(a+c+1)(-b)=c2+16.所以,

11、a+c+1、-b是方程x2-8x+c2+16=0的两个根.于是,有=(-8)2-4(c2+16)0.从而,c20.易知c=0.进而x1=x2=4,即a+c+1=4,-b=4,亦即a=3,b=-4.故(a-1-b-1)abc(a+b+c)a+b+c=(3-1+4-1)03+(-4)+03-4+0=-1.3.120.如图,联结AG、BF、FG,过点E作EPFG于点P.设AB=2a,则CD= AB=2 a.因为OA=AD,G是OD的中点,于是,AGOD.所以,AGB=90.同理,AFB=90.因此,A、B、F、G四点共圆,其直径为AB、圆心为E.又F、G分别是OC、OD的中点,所以,FG=CD= 3

12、a=2asinFEG.故FEG=60,FEG=120.4.(5/3,0) .如图,联结OE,过点F作FPOE交AB于点P,联结EP交OF于点G.因OEPF,则SOEF=SOEP.故SOEF-SOEG=SOEP-SOEG,即 SEFG=SOGP.所以,EP为水渠取直路线,点P即为所求.易求直线OE的解析式为y=3x.因为OEPF,于是,直线PF的解析式可设为y=3x+b.又F(3,4),则有4=33+b,即b=-5.所以,直线PF的解析式为y=3x-5.当y=0时,3x-5=0,x=5/3.因此,点P的坐标为(5/3,0) .第二试一、(1)从图7知注满M、N、P三个容器共需60 s,从图8知注

13、满M、N、P三个容器中的两个容器需要54 s,于是,注满图8所示的容器的最上面一个容器需要60-54=6(s).同理,注满图9所示的容器的最上面一个容器需要60-24=36(s).由此可知,注满第三个容器需要60-6-36=18(s).因为注水速度一定,且V1V2V3,所以,注满M、N、P三个容器分别需要36 s、18 s、6 s.因此,图7、8、9所反映的规律分别是NPM、PMN、MNP三种形式的容器.(2)设注水速度为Vcm3s.由图7、8、9及第(1)问的结果知h1+h3=24,h2+h1=30,h2+h3=18;V1+V2+V3=60V,V2+V1=54V,V3+V2=24V.解得h1

14、=18,h2=12,h3=6;V1=36V,V2=18V,V3=6V.所以,S1=V1/h1=36V/18=2V,S2=V2h2=18V/12=32V,S3=V3h3=6V/6=V.故S1S2S3=2V32VV=432.(3)因为m2+4m+4.125=(m+2)2+0.125,所以,当m= -2时,m2+4m+4.125的最小值为0.125.因此,V372.因注水速度V=,即n2+(6-V)n+(45-3V)=0,故=(6-V)2-41(45-3V)0.从而,V12或V-12(舍去).当n=3时,V的最小值为12.由(2)知,V3=6V.又V372,6V72,则V3=6V=72.此时,m=-

15、2,n=3.于是,V=12.故V1+V2+V3=60V=6012=720(cm3).因此,所求的容积之和为720 cm3.二、如图,过点P作PDl2于点D,联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6,OA=OB=OC=1.设AM=m,AN=n,PC=p,DN=x,则DM=m+n-x.由题意知,O是PMN的内切圆,所以,BM=AM=m,CN=AN=n,PB=PC=p;OAMN,OBPM,OCPN.又SPMN=SOMN+SONP+SOPM=MNOA+PNOC+PMOB= (MN+PN+PM)=m+n+p,SPMN=MNPD=3(m+n),则m+n+p=3(m+n).故p=2m+2n.在Rt

16、PDN和RtPDM中,由勾股定理得PD2+DN2=PN2,PD2+MD2=PM2,即 62+x2=(p+n)2, 62+(m+n-x)2=(m+p)2. -得(m+n)(2x-m-n)=(n-m)(m+n+2p)=5(n-m)(m+n),即 x=3n-2m.把式代入式得36+(3n-2m)2=(2m+3n)2,即 36=24mn.从而,mn=1.5,即AMAN=1.5.因此,AMAN为定值,且定值为1.5.三、当k=0时,原方程化为4x+8=0,解得x=-2.故当k=0时,原方程的解都是整数.当k=2时,原方程化为-8x+8=0,解得x=1.故当k=2时,原方程的解都是整数.当k0或2时,原方程化为(kx-2)(k-2)x-4=0.解得x1=2/k,x2=.由x1=2/k,得k=2/x1.把k=2/x1代入x2=中,得x1x2+2x1-x2=0.故(x1-1)(x2+2)=-2=1(-2)=2(-1).因为x1、x2为整数,所以,x1-1、x2+2也均为整数.于是,有x1-1=1,x2+2=-2 或x1-1=-2,x2+2=1或x1-1=2,x2+2=-1 或x1-1=-1,x2+2=2.分别解得x1=2,x2=-4或x1=-1,x2=-1或x1=3,x2=-3或x1=0,x2=0(舍去).故k=1,-2,2/3.综上,k的值为-2,0,1,2或2/3.