中位线.docx

1、中位线中位线一、知识要点1.三角形中位线(1)定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形中位线(2)定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半(3)定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长(4)三角形中位线的证明：三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线，证明方法很多，课本上用的是同一法，下面举出几种简单的方法：如图4.11-1，延长DE到F，使EFDE，连CF，(或过C点作CFAB交DE的延长线于F，得BDFC，再证ADECEF. 图4.11-1 图4.11-2 如图4.11-2，延长DE到F，使EFDE，连结CF、AF、DC，可得DCFA和DBCF.2.

2、梯形中位线(1)定义：连结梯形两腰中点的线段(2)中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半(3)梯形中位线定理的作用：证明三条(或两条)直线平行，计算梯形的两底或中位线，证明线段之间的倍分(或相等关系).4.梯形中位线证明：如图4.11-3，连结AF并延长交BC的延长线于H，先证ADFHCF，得DFFC，得EF为EF为ABH的中位线，EFBCAD，EF (BC+CH) (BC+AD) 图4.11-3 图4.11-4 如图4.11-4，过点F作GHAB交BC于H，交AD和延长线于G可得DGFCHF、ABHG、AEFG、EBHF、AGEFBH.二、典型例题例1 (1)若等腰梯形的周长

3、为80cm，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于 cm.(2)如图4.11-5，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，过点O作AB的平行线交CB于点E.若OE3cm，则AD cm.解：(1)周长两底长的和+两腰长的和，而中位线长腰长，两腰长的和2中位线的长又中位线长 两底长的和两底长的和2中位线的长2中位线+2中位线周长4中位线的长80(cm)中位线的长20(cm)(2)ABCD，AC、BD交于O，DOOB(平行四边形对角线互相平分)又OEAB，BEEC(过三角形一边中点而平行于另一边的直线平分第三边)这样OE AB(三角形中位线定理)BCAD(平行四边形对边相等)OE AD从而AD2

4、OE236(cm)例2 如图4.11-6，梯形ABCD中，ADBC，ABDC，AD2cm，中位线长为5cm，高AE3 cm，求这个梯形的腰长.分析 要求腰长AB，必须设法把题给的已知数据集中到RtABE中来.由中位线长为5cm，可知两底长的和为10cm.AD2(cm)，BC8(cm)，BEFC 3(cm)，在RtABE，AE3 cm，BE3cm，故可求得AB的长.解：作DFBC，交BC于FADBC，ABDC，BC又AEBDFC90，ABEDCFBECF中位线5cmAD+BC5210(cm)由AD的长为2cm，得BC10-28(cm)BE 3(cm)在RtABE中，AE3 cm，BE3cm，故由

5、勾股定理得AB 6(cm)答：这个梯形的腰长是6cm例3 如图4.11-7，RtABC，BAC90，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，FDAB.(1)求证：AFDE；(2)若AC6，BC10，求四边形AEDF的周长.分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。(1)要证AFDE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DEAC.又题给条件FDAB，而在RtABC中，因AE是斜边上的中线，故AEEB.从而EABB.于是EABFDA.故得

6、到AEDF.所以四边形为平行四边形.故AFDE得证.(2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE BC5，DE AC3.证明：(1)D、E分别为AB、BC的中点，DEAC即DEAFRtABC中，BAC90，BEECEAEB BC，EABB又FDAB，EABFDAEADF，AEDF为平行四边形AFDE(2)AC6，BC10，DE AC3，AE BC5四边形AEDF的周长2(AE+DE)2(3+5)16例4 如图4.11-14，从ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA、BB、CC、DD，垂足分别为AB，CD.求证：AA+CCBB+DD分析 怎样将结论中的线段联系起

7、来，由平行四边形和梯形的有关知识，连结对角线AC、BD可得中点O，自然想到作出两梯形AADD的中位线OO，这样中位线OO就将结论中的线段联系到了一起.证明：连结对角线AC、BD，它们相交于点O，作OOMN，垂足为O，在ABCD中AOOC(平行四边形对角线互相平分)AAMN，CCMN，OOMN AACCOOAOOC(经过一腰中点且平行于底的直线，必平分另一腰)2OOAA+CC(梯形中位线定理)同理2OOBB+DDAA+CCBB+DD练习一、填空题1.如图4.11-15，EF是ABC的中位线，EF3，则BC . 图4.11-15 图4.11-16 2.已知梯形的中位线长为9，一条底边长是12，那么

8、另一条底边长是 .3.如图4.11-16，把长为8cm的长方形对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则打开后的梯形中位线长为 cm.4.已知梯形的下底长为4cm，中位线长为3cm，则上底长为 cm.5.三角形各边分别是3cm、5cm、6cm，则连结各边中点所围成的三角形的周长是 .6.已知梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是 cm.7.如图4.11-17，ABC中，AD、BE是中线且交于G，那么 . 图4.11-17 图4.11-188.如图4.11-18，梯形ABCD中，ADBC，AD12，BC16，中位线EF与对角线分别相交于

9、H和G，则GH的长是 .9.如果中位线长是5，那么梯形的上底和下底的和是 .10.如图4.11-19，梯形ABCD中，ADBC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果SGEF2 cm2，那么梯形的面积是 cm2.二、选择题1.梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为( )A.12cm B.5cm C.10cm D.20cm2.如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形周长为( )A.9 B.6 C.3 D. 3.在四边形ABCD中，对角线ACBD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( )A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形4.A、B、C、D顺

10、次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形ABCD为正方形的条件是( )A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是等腰梯形 D.四边形ABCD中，ACBD，且ACBD5.已知三角形三边长分别为a、b、c，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( )A. (a+b+c) B. (a+b+c) C. (a+b+c) D. (a+b+c)6.如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为( )A.4 B.7 C.10 D.147.如图4.11-20，梯形ABCD中，

11、ADBC，如果中位线EF的长为4cm，且BC3AD，则梯形下底的长为( )A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 8.如图4.11-21，ABC中，如果AB30cm，BC24cm，AC27cm，AEEFFB，EGDFBC，FMENAC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )A.70cm B.75cm C.80cm D.81mc三、解答题1.如图4.11-22，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于点O，SADOSBOC19，求SDOCSBOC.2.如图4.11-23，等腰梯形ABCD中，ABDC，A60、12，且梯形的周长30cm，求这个梯形的面积.3.如图4.11-24，四边形

12、ABCD为梯形，ADBC，ABCD，E为梯形内D一点，且EBEC，求证：EAED.4.如图4.11-25在ABC中，A+B2ACB，BC8，D为AB的中点，且CD ，求AC的长.5.如图4.11-26，在ABC中，BC，ADBC于D，M为BC的中点，求证：DM AB.四、如图4.11-27，ABC的B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BEAD4，求ABC三边之长.五、如图4.11-28，在四边形ABCD中，A60，AD+BCABDC1，求四边形ABCD的面积S.六、如图4.11-29，梯形ABCD，ADBC，ABDE，AEBD，AD延长线交CE于F.求证：EFFC；若CED S梯形ABCD时，求AD与BC的关系.